litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 3

Глава 1 История развития вычислительной техники и программирования

    1. Первые приспособления, помогающие вычислениям и их
      эволюция


    2. Поколения ЭВМ и Эволюция программирования

    3. Мини- и микрокомпьютеры, ПЭВМ

    4. Математическое обеспечение ЭВМ

    5. Пакеты прикладных программ

Глава 2 Математическое моделирование

2.1 Физическое и математическое моделирование

2.2 Построение математической модели объекта

2.3 Исследование адекватности математической модели
изучаемому объекту

2.4 Уточнение математической модели

Глава 3 Вычислительные алгоритмы

3.1 Понятие алгоритма

3.2 Блок-схема алгоритма

3.3 Основные требования, предъявляемые к алгоритмам

3.4 О погрешности вычислений

Глава 4 Вычислительный эксперимент

4.1 Основные этапы вычислительного эксперимента

4.2 Отладка программ

4.3 Вычислительный эксперимент в задачах строительного
профиля

4.4 Вычислительный эксперимент в задачах экологии

4.5 Автоматизация проектирования ЭВМ


Введение

Вычислительная техника имеет огромное значение для развития современной науки и для прогресса всех отраслей промышленности. На электронные вычислительные машины (ЭВМ) теперь возложено производство сложнейших вычислительных работ, крайне необходимых для нормального функционирования экономики, управления производством, проектирования новых технических систем, а также решении множества весьма важных логических проблем. Вычислительная техника превратилась в один из основных элементов всего научно-технического прогресса. Успехи в космических исследованиях не возможны были бы без современной вычислительной техники. Сейчас трудно назвать область знаний, где бы ни применялись ЭВМ. Создание в середине ХХ века ЭВМ можно сравнить по своей значительности с любым из самых выдающихся технических достижений человечества. Так же, как без электричества и пара не могла совершиться первая промышленная революция, без ЭВМ не могла бы наступить и эпоха научно-технической революции наших дней. Широкое применение математических методов на базе ЭВМ привело к появлению новых эффективных методов познания законов физического мира и их использованию в практической деятельности.


Процесс математизации науки, техники, экономики потребовал подготовки высоко квалифицированных специалистов, в совершенстве владеющих технологией применения ЭВМ, способных реализовать их огромные и пока еще не исчерпанные возможности. ЭВМ не работает без направляющего воздействия человека. Их использование связано с построением математических моделей и созданием вычислительных алгоритмов. Машина также должна пройти соответствующее «обучение», т.е. получить программное обеспечение как общего, так и проблемно-ориентированного характера. Весь этот широкий комплекс проблем, связанных с применением математических методов на базе ЭВМ к решению технических, экономических, управленческих и других задач, является полем деятельности специалистов по прикладной математике, для постановки которых в 70-е годы ХХ столетия во многих университетах и институтах страны были созданы новые факультеты, отделения, кафедры, но программистов в университетах стали готовить еще с конца 50-х годов прошлого века.

В пособии на простейших примерах дается общее представление о прикладной математике и ее основных элементах – математических моделях, вычислительных алгоритмах, ЭВМ, программировании и математическом обеспечении ЭВМ.

Глава 1. История развития вычислительной техники и программирования

1.1 Первые приспособления, помогающие вычислениям и их
эволюция


Устройство, помогающее счету – палочки или «кости» Нэпера, которые позволяли проводить умножения, появились в 1617 году. В то же время были созданы устройства типа логарифмической линейки.

Первая, по настоящему счетная машина – это машина Паскаля, была создана в 1642 году. В последствии Лейбниц и другие усовершенствовали это механическое устройство и создали прообраз современной настольной вычислительной машины механического типа, основанной на колесах Однера, таких как «Феликс», ВК-2, «REINMETALL» и другие.

Идея создания вычислительных машин с программным управлением была высказана Чарльзом Беббиджем (1797 – 1871 г.), профессором математики Кембриджского университета, примерно в 1850 году. Он разработал проект механического вычислительного автомата, названного им аналитической машиной, у которой были все основные узлы ЭВМ, включая принцип управления с помощью запоминаемой программы. Была создана только небольшая «разностная машина» со сравнительно простой и жестко заданной программой. Труды Ч.Беббиджа были опубликованы в 1888 году после его смерти, и о них забыли. По достоинству его идеи были оценены значительно позже.


В 1911 году была создана в США фирма, названная позже IBM, которая стала изобретением и созданием ЭМВ в США. В 1944 году был разработан Г.Айткеном (Гарвардский университет) первый прямой последователь «аналитической машины Ч.Беббиджа» - последовательный автоматический управляемый вычислитель на лампах, названный Марк – 1. Эта машина еще не имела гибко изменяющейся программы.

В 1945 году по заказам военно-морского флота США сотрудниками Пенсильванского университета П.Эккерт и Дж.Моучли была разработана и построена первая в мире ЭВМ, названная ENIAK. Это была ламповая машина, содержащая блоки на электронных реле. В отличие от Марк-1, ее можно назвать машиной с автоматическим программным управлением, хотя она еще не имела внутренней памяти.

В 1949 году в Великобритании была создана машина EDSAC, которая уже обладала всеми необходимыми компонентами современных ЭВМ.

В 1951 году была разработана и построена под руководством академика С.А. Лебедева первая советская ЭВМ, названная МЭСМ. Начались эра ЭВМ и бурный процесс их совершенствования. В зависимости от элементной базы центрального процессора и оперативной памяти, технических характеристик (быстродействие, объем памяти, системы команд) и сложности архитектуры принято делить ЭВМ на поколения.

В настоящее время наступила эра 5-го поколения ЭВМ.


1.2 Поколения ЭВМ и эволюция программирования

Первые ЭВМ в нашей стране появились в начале 50-х годов ХХ века. Это были такие ЭВМ как Стрела (1953 г.), Урал (1954 г.), М-20 (1959г.), Минск-1 (1960 г.), БЭСМ-1. В качестве элементной базы центрального процессора ЭВМ первого поколения использовали электронные лампы, общее число которых доходило до нескольких десятков тысяч. Оперативная память строилась на блоках ферритовых сердечников. Эти машины были значительных размеров и потребляли большую мощность (100 киловатт и более). Чтобы не перегревались электронные лампы, необходима была мощная вентиляция. Быстродействие таких ЭВМ как Урал-1, Минск-1 не превышало 2-3 тысячи операций в секунду, М-20 – порядка 20 тысяч операций в секунду. Объем оперативной памяти 2К - 4К (килобайта), где 1К=1024 байтам, 1 байт – 8 бит, 1 бит – 1 двоичный разряд. Для обозначения одного алфавитного знака или двух десятичных цифр требовалось 8 бит, т.е. 1 байт информации.


Все операции внутри ЭВМ проводились в двоичной системе счислений.

Схематично блок-схему ЭВМ можно изобразить так (рис. 1.1)


УВв


Рис. 1.1


Здесь ОЗУ – оперативное запоминающее устройство, об объеме памяти которого уже говорилось; ДЗУ – долгосрочное запоминающее устройство (например, М-20 имела внешнюю память в виде 3 магнитных барабанов по 4 К слов и 4 магнитофона с емкостью магнитных лент по 75 К слов); УУ – устройство управления, через которое осуществлялось с помощью программы управление процессом вычислений; АУ – арифметическое устройство (сумматор), в котором производились арифметические действия с числами; УВв и УВыв – устройство ввода и устройство вывода информации.

При работе на машинах первого поколения программист писал программу непосредственно на языке машины, самостоятельно распределяя ячейки оперативной памяти под программу, исходные данные, результаты счета. Каждая операция была закодирована определенным символом. Причем каждая машина имела свою систему команд, т.е. программа, написанная для одной машины, не годилась при использовании на другой.

Пусть, например, нужно составить программу для сложения двух чисел А и В, где А и В номера ячеек где хранятся эти числа, с записью результата в ячейку С. Если машина одноадресная (а ЭВМ были одноадресные,
(Урал-1), двухадресные (Минск-1) и трехадресные (БЭСМ-1), то нужно составить такие команды

α 10 <А> - выбор в АУ числа А;

α+1 01 <В> - сложение в АУ выбранного числа с числом,
хранящемся в ячейке В;

α+2 16 <С> - запись результата в ячейку С;


Здесь 10, 01, 16 коды операций; α, α+1, α+2 – номера ячеек, где храниться программа.

Для каждой ЭВМ была не только своя система кодирования арифметических и других операций, но и своя особенность организации программ (например, организации цикла). Сама программа записывалась в восьмеричной системе счисления.


Первые учебники по программированию для ЭВМ, кроме описания самой технологии программирования и алгоритмизации задач, большое внимание уделяли описанию конкретных ЭВМ, структуры их команд и особенностям организации циклических операций, организации условных и безусловных переходов в программе и т.д. Кроме того, обязательно давались сведения о системах счисления и переводе чисел из одной системы счисления в другую.

Разобраться в чужой программе без подробных пояснений автора об ее структуре и распределении памяти было практически не возможно. Перед составлением программы обязательно разрабатывалась блок-схема алгоритма.

Для машин первого поколения характерен открытый режим их использования: программист приходил в отведенное ему время в машинный зал, садился за пульт ЭВМ и сам «пропускал» свою программу. Большое неудобство доставлял ввод исходной программы и информации в ЭВМ. Так на ЭВМ Урал-1 для ввода информации использовалась фотопленка, на которой путем пробивки отверстий кодировалась информация. Для замены информации нужно было вырезать ненужные куски и подклеивать новые. Выходная информация в виде чисел выдавалась сплошным потоком на узкую бумажную ленту. Для ввода информации в М-20 использовались перфокарты. На ЭВМ типа Минск входная информация кодировалась путем пробивки дырочек на бумажной телеграфной ленте.

Таким образом, чтобы написать программу для какой-то ЭВМ, нужно было знать ее структуру, систему команд и тонкости эксплуатации ЭВМ. Поэтому первыми программистами были не математики, а инженеры, которые настраивали и обслуживали ЭВМ. И только в конце 50-х годов ХХ века на математических факультетах университетов стали готовить специалистов по программированию для ЭВМ.

В эпоху машин первого поколения началась разработка стандартных и типовых программ, составление библиотек программ (программ вычисления элементарных функций, подпрограмм (ПП) решения некоторых видов уравнений), чтобы можно было воспользоваться такими ПП при составлении своих программ.


В начале 60-х годов появились ЭВМ второго поколения, в которых элементной базой центрального процессора служили транзисторы. Появление полупроводниковых элементов в электронных схемах существенно увеличило емкость оперативной памяти, надежность и быстродействие ЭВМ. Уменьшились их размеры и потребляемая мощность электроэнергии. К ЭВМ второго поколения относятся: Урал-14, Минск-32, БЭСМ 3, БЭСМ 4, БЭСМ 6 (серийный выпуск начался в
1967 г.), М-220. Например, БЭСМ 4 и М-220 имели быстродействие порядка 30 тыс. операций в секунду и оперативную память 8 – 16К.
БЭСМ 6 обладала быстродействием около одного миллиона операций в секунду и имела оперативную память от 32 К до 128 К.

Машины второго поколения обладали более развитой и совершенной системой ввода и вывода. Появились быстродействующие считывающие устройства, способные пропускать до 1000 перфокарт в минуту, алфавитно-цифровые печатающие устройства (АЦПУ), что позволило принципиально изменить форму выдачи результатов, например, печатать их в виде таблиц со словесным описанием приведенных величин.

Появление машин второго поколения расширило область их применения и позволило решать более сложные задачи, что, в свою очередь, усложнило процесс программирования. Важное значение для решения этой проблемы имел переход от программирования на языке машины к программированию на алгоритмических языках.

Первый алгоритмический язык был разработан фирмой IBM в 1954 году и назван ФОРТРАН. Следует сказать, что машины второго поколения появились в США уже к 1959 г., а в 1964 году появились уже машины третьего поколения (IBM - 360), созданные на интегральных схемах. С 1965 года стали создаваться фирмой IBM ЭВМ, способные работать так, что параллельно решалось несколько задач. В 1960 году в Европе был создан алгоритмический язык АЛГОЛ. В это же время для решения экономических задач появился язык КОБОЛ. В 1964 году был создан язык программирования высокого уровня PL/1, который вобрал в себя все лучшее из известных к тому времени алгоритмических языков.


Фразы алгоритмических языков состоят из формул, записанных в обычном, понятном любому математику виде, и из нескольких стандартных терминов на английском языке. Важным достоинством алгоритмических языков является их универсальность и наличие международного стандарта, они совершенно не зависят от конкретного типа машины, для которой предназначена программа. Программист, работающий на алгоритмическом языке, может вообще не знать систему команд машины, ему не нужно переучиваться при переходе с одной машины на другую.

Для того, чтобы программа, написанная на алгоритмическом языке, могла быть реализована на ЭВМ, она должна быть сначала переведена с этого языка программирования на собственный язык машины. Делает это сама ЭВМ с помощью специальной программы – транслятора. Транслятор – это очень сложная программа, его создание требует большой работы, которую проводит группа высококвалифицированных специалистов по системному программированию. Однако обычные пользователи ЭВМ могут ничего не знать ни о самом трансляторе, ни о принципах его работы.

Таким образом, сама ЭВМ стала обрастать различными сервисными программами и устройствами, для координации работы которых и работы пользователей необходимо было разрабатывать операционные системы, такие как DOС, а позднее OC.

В эпоху ЭВМ второго поколения от открытого режима работы на ЭВМ перешли к закрытому режиму: математиков-вычислителей отлучили от ЭВМ и перестали пускать в машинный зал. Задачи стали пропускать операторы по инструкциям, составленным авторами программ. На ЭВМ стали работать профессиональные операторы и эффективность использования машинного времени повысилась.

Элементная база ЭВМ третьего поколения основана на микроэлектронике, и это поколение характеризуется широким применением интегральных схем. Интегральная схема представляет собой тонкую пластинку химически чистого кристаллического полупроводникового материала размером около 1 см2. На поверхности такого кристалла создается многослойная миниатюрная электронная схема, содержащая все необходимые транзисторы, диоды, сопротивления и соединения между ними.


Использование интегральных схем вместо отдельных транзисторов позволило значительно уменьшить габариты узлов ЭВМ, повысить быстродействие ЭВМ и объем оперативной памяти.

К машинам третьего поколения относятся все машины единой системы ЭВМ (ЕС ЭВМ), такие как ЕС-1020, ЕС-1030, ЕС-1040, ЕС-1050, ЕС-1060. Выпуск машин единой серии начался с 1972 г. Быстродействие ЕС-1020 было порядка 20 тыс. операций в секунду, а ЕС-1060 – около миллиона операций в секунду, а объем оперативной памяти составлял 2048 – 8192К.

В эпоху ЭВМ второго поколения появилось очень много различных типов машин, для каждой из которых приходилось разрабатывать свое математическое обеспечение: трансляторы, библиотеки стандартных программ и т.д. Стоимость программного обеспечения постоянно росла и нередко стала превышать стоимость самой машины. Это явилось одной из причин разработки единой системы ЭВМ, которые были совместимы и обладали единым математическим обеспечением.

Для машин третьего поколения типичной стала работа в мульти-программном режиме с разделением времени, при котором ЭВМ одновременно обслуживала несколько пользователей. Обычно при работе в режиме разделения времени пользователи связывались с ЭВМ с выносных терминалов, таким образом, математики-вычислители снова получили прямой доступ к ЭВМ.

Сроки между поколениями ЭВМ существенно уменьшаются. Так в период внедрения ЭВМ третьего поколения в научные, учебные и производственные предприятия уже (конец 70-х годов) появились машины четвертого поколения (система Эльбрус), основанные на больших интегральных схемах (БИС) и сверх больших интегральных схемах (СБИС), на кристалле которых размещены сотни тысяч сверх миниатюрных электронных приборов и соединений между ними. Быстродействие таких машин доведено до 1 миллиарда операций в секунду. Такая высокая скорость работы достигнута в первую очередь за счет распараллеливания вычислений: центральный процессор этих ЭВМ состоит из нескольких независимых блоков, которые одновременно могут выполнять большое число операций. Создание машин четвертого поколения позволило существенно увеличить объем оперативной памяти и в то же время уменьшить размеры машины. Существенное изменение претерпевает программирование для машин четвертого поколения, так как новые языки программирования предоставляют возможности для описания сложных структур данных, для параллельной обработки информации. Разрабатываются специальные комплексы программ по производству программного продукта, что повышает производительность труда программиста.


Появилась новая технология использования вычислительной техники, основанная на объединении ЭВМ в комплексы и сети.

К настоящему времени машины пятого поколения имеет фантастическое быстродействие в несколько десятков миллиардов операций в секунду, а в 2002 году создана машина с быстродействием в 200 миллиардов операций в секунду и с практически неограниченной памятью. Элементной базой таких ЭВМ стали уже не интегральные схемы, а жидкие кристаллы, т.е. микросхемы таких ЭВМ формируются на молекулярном уровне, что позволяет сотни тысяч схем уместить в объеме булавочной головки.

В настоящее время главным для программиста является знание языков программирования и математического обеспечения ЭВМ, в котором можно выделить три основных элемента:

- системы программирования, включающие языки программирования, трансляторы для них и некоторые вспомогательные средства, упрощающие отладку и модификацию программ;

- пакеты прикладных программ (набор программ, представляющих пользователю практически готовые средства решения задач из какой-нибудь определенной области знаний);

- операционные системы (комплекс программ, управляющий выполнением всех других программ и обеспечивающий эффективность использования аппаратуры ЭВМ).

Следует заметить, что совершенствование больших ЭВМ, условно разбитые на поколения ЭВМ, было направлено на расширение их возможностей для решения крупных научно-технических и производственных проблем (например, расчет конструкций ракет и траектории их движения). Этой цели соответствовало и совершенствование математического обеспечения ЭВМ.


1.3 Мини- и микрокомпьютеры, ПЭВМ

В середине 60-х годов ХХ века в развитии вычислительной техники появилось новое направление, связанное с использованием ЭВМ в не-вычислительной сфере (управление производственными процессами, контроль качества продукции, обработка текстов и т.д.). В таких ЭВМ на первое место выдвигается не быстродействие и объем оперативной памяти, а надежность и простота технического обслуживания, низкая стоимость. Появились миникомпьютеры – ЭВМ с укороченным машинным словом, ограниченным набором команд и не большой оперативной памятью. Первый миникомпьютер РДР-5 был разработан американской фирмой DEC в 1963 году и предназначался для управления ядерными реакторами. Он имел всего одну арифметическую операцию – сложение целых чисел. Простую систему команд и оперативную память 4К, но был экономичен, высоконадежен и дешев. В то же время он являлся программируемой ЭВМ, что позволяло его использовать в качестве управляющей и контролирующей машины в самых различных областях.


В нашей стране выпускались миникомпьютеры СМ-3, СМ-4. Миникомпьютеры используются в самых различных областях. Они находятся на самолетах и космических ракетах, а в качестве встроенных управляющих машин - в сложных приборах, механизмах, на автоматических производственных линиях.

По мере расширения сферы использования миникомпьютеров создавалось соответствующее математическое обеспечение: операционные системы, системы программирования, библиотеки и пакеты прикладных программ.

Элементной базой микрокомпьютера являются интегральные схемы. Переход к БИС позволил выполнить в виде одной БИС целый процессор. Такие процессоры получили название микропроцессоров, а созданные на их основе ЭВМ – микрокомпьютеров. Первые микрокомпьютеры появились в начале 70-х годов ХХ века.

В середине 70-х годов ХХ века в развитии микрокомпьютеров наметилась новая тенденция, связанная с появлением персональных компьютеров (ПЭВМ). ПЭВМ – это микрокомпьютерная система, оформленная в виде единого компактного прибора.

Персональный компьютер (ПК) представляет своему хозяину широкий комплекс технических средств, необходимых для разработки, отладки и выполнения программ, при этом существенно упрощается операционная система и другое программное обеспечение.

Простейшие персональные компьютеры предназначены в первую очередь для программируемых игр, а наиболее совершенная разновидность ПК рассчитана на профессионалов и имеет оперативную память в сотни килобайт, а внешнюю – десятки мегабайт (1М = 1024К), богатый набор периферийного оборудования, развитое математическое обеспечение и по уровню вычислительного сервиса такие ПК приближается к большим ЭВМ.

В настоящее время ПК на базе Pentium-4 вполне могут по своим техническим данным (быстродействие, объем оперативной памяти) заменить большие ЭВМ при проведении сложных научно-технических расчетов, и в то же время, не заменимы по своим сервисным возможностям ( наличие графических возможностей для изображения всевозможных данных – рисунков, таблиц и т.д.) для офисного использования, при контроле и анализе банковских операций, управлении сложными процессами и объектами.



1.4 Математическое обеспечение ЭВМ

Первые ЭВМ поставлялись в вычислительные центры заводами-изготовителями в «голом» виде, без какого-либо вспомогательного обеспечения, поэтому все операции, которые нужно было выполнить ЭВМ для решения задачи математику-прикладнику приходилось полностью описывать в своей программе. Например, если в программируемом алгоритме встречается или , то программу вычисления корня квадратного из числа и программу вычисления нужно было составить самому, используя итерационную формулу для вычисления и разложения в ряд по степеням х при вычислении .

Первыми элементами математического обеспечения ЭВМ были библиотеки стандартных подпрограмм вычисления элементарных функций. Наряду со стандартными подпрограммами в помощь прикладным программистами начинают заготавливать программы для решения многих типичных вычислительных задач (решение систем линейных алгебраических уравнений, решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений и т.д.). появляются термины прикладное программирование и системное программирование. Прикладное программирование связано с разработкой программ для решения конкретных научно-технических задач, а системное программирование связано с разработкой специальных программ, автоматизирующих процесс написания и отладки прикладных программ и обеспечивающих эффективное использование ЭВМ при их исполнении.

К математическому обеспечению так же относятся языки программирования, трансляторы и связанные с использованием алгоритмических языков при написании программ вспомогательные средства.


Для управления выполнением всех программ, прикладных и входящих в математическое обеспечение, и для эффективного использования аппаратных средств ЭВМ составляется комплекс программ, названный операционной системой.

Кроме того, в математическое обеспечение ЭВМ входят пакеты прикладных программ (ППП), представляющие пользователю практически готовые средства решения задач из какой-то определенной области знаний.

В настоящее время большое применение имеют графические ППП, которые позволяют выдавать исходную информацию в виде графических рисунков. Компьютерные игры стали первым примером бытового применения машинной графики, т.е. методов создания и преобразования изображения с помощью ЭВМ.


    1. Пакеты прикладных программ

Пакет – это комплекс взаимосвязанных программ, предназначенных для решения любой задачи из какой-нибудь конкретной области. Пакеты имеют, как правило, ярко выраженный проблемно-ориентированный характер. Например, существуют пакеты для расчета крыла самолета, для расчета атомного реактора и т.д..

Создание пакета требует комплексного подхода, совместного труда прикладных и системных программистов, знаний технических законов из соответствующей области (например, всех закономерностей деформирования конструкций при создании пакета для расчета строительных конструкций). При создании пакета производится анализ всех задач из соответствующей области и выделяется класс подзадач, к которым они сводятся (например, при создании пакета, предназначенного для расчета строительных конструкций, выделяются классы упругих задач, пластических задач, задач ползучести, геометрически и физически нелинейных задач). Для каждой подзадачи разрабатывается алгоритм ее решения и пишется соответствующая программа, которую обычно называют модулем. Совокупность модулей составляет функциональное наполнение пакета.

Наряду с функциональным наполнением пакета создается системное наполнение, которое состоит из служебных программ, предназначенных обеспечить пользователям пакета максимальные удобства.


В настоящее время разработано большое количество ППП в различных областях, в том числе и для расчета строительных конструкций на прочность, устойчивость и колебания, которые обладают хорошим сервисом и отражают на экране дисплея весь процесс деформирования. Эти отечественные и зарубежные программные комплексы – ЛИРА, ANSYS, SCAD, COSMOS-M и другие используют для получения решения метод конечных элементов, что позволяет исследовать не только конструкции сложной конфигурации, но и составные конструкции, и целые объекты.

Глава 2 Математическое моделирование

2.1 Физическое и математическое моделирование

Под моделированием понимается исследование различных процессов на моделях. Различают физическое моделирование и математическое моделирование. В случае физического моделирования модель воспроизводит изучаемый процесс с сохранением его физической природы (продувка моделей самолетов в аэродинамических трубах, изучение свойств гидротехнических сооружений при помощи макетов русловых потоков и т.д.). При физическом моделировании отношения величин в натуре к соответствующим величинам на модели должны быть постоянными (например, отношения линейных размеров). Эти отношения называются коэффициентами подобия. Физическое моделирование имеет ограниченную сферу применения.

Более широкими возможностями обладает математическое моделирование как метод исследования различных процессов путем описания их функционирования с помощью математических соотношений. Таким образом, при изучении процессов методом математического моделирования в первую очередь необходимо построить математическое описание изучаемого процесса. Математическая модель реального процесса есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному физическому процессу, т.е. математическое описание физического процесса с помощью алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений. Эти уравнения обычно выражают законы сохранения основных физических величин (энергии, количества движения, массы и др.) и связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, исходной информацией и начальными условиями.


После того, как составлена математическая модель объекта, проводится исследование этой модели, т.е. проводится вычислительный эксперимент.

Следует подчеркнуть, что одному и тому же объекту можно поставить в соответствие не одну математическую модель, а несколько. Исходя из поставленных задач исследования объекта, выбирается наиболее оптимальная математическая модель в смысле сложности модели и точности воспроизведения поведения объекта.

2.2 Построение математической модели объекта

В качестве примера построения математической модели рассмотрим следующую задачу механики [1]. Телу на земле сообщили начальную скорость v0, направленную под углом α к ее поверхности. Требуется найти траекторию движения тела и вычислить расстояние между ее начальными и конечными точками.

Для построения математической модели нужно определить физические законы, которые необходимо принять во внимание при изучении объекта и записать их в виде математических уравнений.

Чтобы сделать рассматриваемую задачу более конкретной, предположим, что речь идет о камне, брошенном с помощью катапульты. В этом случае уточняются характерные размеры тела, его масса и начальная скорость.

Построим для данного случая математическую модель, основанную на следующих предположениях:


  1. Земля – инерциальная система отсчета;

  2. ускорение свободного падения g – постоянно;

  3. кривизной земли можно пренебречь и считать ее плоской;

  4. действием воздуха на движущийся камень можно пренебречь (пренебрегается сопротивлением среды)

Если систему координат выбрать таким образом, что ее начало совмещено с катапультой, ось x направлена горизонтально в сторону движения камня, а ось y – вертикально вверх, то характер движения камня будет определяться формулами

x=tv0cos α , (2.1)


y=tv0sin α-gt2/2 , (2.2)

которые и дают математическую модель задачи при предположениях
1) - 4). Если из (2.1) выразить t через x



и подставить в (2.2), то получим уравнение траектории камня в виде

, (2.3)

представляющей собой параболу (рис. 2.1). Эта парабола



рис 2.1

пересекает ось х в двух точках: х=0, х=l, где

(2.4)

Построение математической модели объекта – это один из наиболее сложных этапов работы математика – прикладника, так как требует не только глубоких математических знаний, но и знаний законов из той отрасли, для объекта которой строится математическая модель (в рассмотренном примере знаний закономерностей механики и баллистики).


2.3 Исследование адекватности математической модели изучаемому
объекту


Так как для одного и того же объекта можно составить несколько математических моделей, то важной задачей становится выбор такой модели, которая была бы наиболее простой и в тоже время в рамках требуемой точности правильно представляла свойства изучаемого объекта.

Для анализа адекватности модели реальному процессу и выбора наиболее оптимальной модели проводят натурный эксперимент. Так поступают в различных областях техники, особенно при исследовании работы космической и авиационной техники. Но можно для этих целей провести и вычислительный эксперимент.

Для иллюстрации сказанного вернемся к задаче о траектории полета камня, выбрасываемого катапультой. Модель, основанная на предположениях 1) – 4), дает для определения дальности полета камня формулу (2.4). Оценим теперь точность определения дальности полета камня по этой формуле и установим пределы ее применимости.


Если катапульта кидает камни на расстояние до 100 м, для чего она должна сообщить им скорость порядка 30м/с, то камень поднимается на высоту 20-30 м и пробудет в воздухе около 5с. В этих условиях предположения 1) – 3) выглядят оправданными и нужно проанализировать предположение 4) о влиянии сопротивления воздуха. На всякое тело, движущееся в воздухе он действует с некоторой силой F, модуль которой и направление зависят от формы тела и скорости движения. Эта сила раскладывается на вертикальную и горизонтальную составляющие относительно скорости движения . Перпендикулярная составляющая возникает только при наличие ассиметрии тела по отношению к направлению движения (характерным проявлением ее является подъемная сила, действующая на крыло самолета), поэтому для камня ею можно пренебречь. Параллельная составляющая, направленная противоположно скорости движения, называется лобовым сопротивлением. Ее модуль можно представить в виде

, (2.5)

где S – площадь поперечного сечения тела, ρ – плотность воздуха, v – скорость движения тела, С – безразмерный множитель, который называют коэффициентом лобового сопротивления (для рассматриваемого случая С ≈ 0.15; S = πR2 (круглый камень); ρ =1.3 кг/м3; v=30м/c).

Для оценки влияния сопротивления воздуха на характер движения сравним силу FЛ с основной силой в рассматриваемой задаче – с силой тяжести



где ρ0 = 2,3∙103 кг/м3 – плотность камня. В результате получим

. (2.6)

При l=100м, R=0,1м получим =0,03. при этом относительная погрешность в определении дальности полета будет Δl/l