litceysel.ru
добавить свой файл
  1 2 3 4 5


Таким образом, напряженность поля в точке А на оси диполя прямо пропорционально удвоенному электрическому моменту диполя и обратно пропорционально кубу расстояния до центра диполя.

2. Напряженность поля на перпендикуляре к оси диполя.

Найдем напряженность поля в точке которая находится на расстоянии r от центра диполя (рис.1.9). Аналогично рассмотренному ранее случаю имеем:

 





r`– расстояние точечных зарядов до точки С. Используя геометрические соображения, получим:





Рис. 1.9



При выводе этой формулы использовали следующее очевидное допущение. Т. к. расстояние между зарядами мало то  есть r >>l, значит r`≈ r. Окончательно получаем:



В этом случае напряженность поля в два раза меньше, чем в точке А.
1. 6. Поведение диполя во внешнем поле

1. Диполь в однородном поле.



Рис. 1.10

Рассмотрим диполь во внешнем поле расположенный как показано на рис.1.10.

На заряды диполя в электрическом поле действуют силы: на положительный заряд – , на отрицательный – . Эти силы направлены в противоположные стороны. По модулю они равны, т. е.

Эта пара сил, создает вращающий момент:

или в векторном виде можно записать:




Вектор момента силы направлен перпендикулярно к чертежу и вызывает поворот диполя по часовой стрелке. Диполь в однородном поле поворачивается до тех пор, пока вектор Р станет параллельным вектору Е. Во внешнем поле диполь стремится расположиться вдоль линий Е. Это положение его устойчивого равновесия.

2. Диполь в неоднородном поле.



(рис.1.11)

 

Пусть диполь находится в неоднородном поле, обладающем симметрией относительно оси Х. Центр диполя лежит на этой оси (рис. 1.11). Электрический момент диполя образует с осью Х угол α,  отличный от π/2. В этом случае силы, действующие на заряды диполя, не одинаковы по величине: . Поэтому, кроме вращательного момента, на диполь будет действовать сила, стремящаяся переместить его в направлении оси Х. Найдем величину силы, вызывающей поступательное перемещение диполя. Для этого используем связь между консервативной силой и потенциальной энергией диполя:




Найдем потенциальную энергию диполя во внешнем неоднородном поле.



 

Здесь и – значения потенциала внешнего поля в тех точках, где находятся заряды, образующие диполь.

Разность потенциалов равна приращению потенциала на отрезке :



 

Подставив значение в выражение для П, получим:



или в векторной форме имеем:



Отметим, что выражение не учитывает энергию взаимодействия зарядов, образующих диполь.

На основании связи между силой и потенциальной энергией получим выражение для силы, вызывающей поступательное движение диполя:



 

При , величина положительна. Это означает, что под действием силы диполь втягивается в область более сильного поля. При диполь выталкивается из поля.
1. 7. Потоки векторов E и D

Рассмотрим однородное электростатическое поле. Линии вектора параллельны друг другу. Внесём в поле плоскую поверхность площадью (рис. 1.12 а). Пусть нормаль к поверхности составляет с вектором угол и и проекция вектора на нормаль равна .


Величина равная



(1.16)

называется потоком вектора D через поверхность S.

Единицей потока в системе СИ является Кл.


Поток существенно зависит от угла . При значение , т. е. поток положителен. При значение , т. е. поток отрицателен. Поток – величина алгебраическая. Определение потока можно дать следующее: потоком вектора через произвольную поверхность называется физическая величина численно равная количеству линий пронизывающих эту поверхность при условии, что.


Рассмотрим теперь неоднородное поле. Пусть поверхность S произвольная (рис. 1.12 б)



а)         б)

Рис. 1.12

На поверхности выбираем элементарную плоскую площадку dS, строим к ней нормаль. Полагаем, что в пределах dS поле однородно. Тогда к dS применимо всё изложенное ранее.

Поток через площадку dS равен:



 

 

Полный поток через всю поверхность S будет:



(1.17)

где – скалярное произведение двух векторов. Вектор направлен по нормали к поверхности S.


Если поверхность S замкнута, то обычный интеграл в 1.17 превращается в интеграл по замкнутой поверхности:



(1.17')

Представление о потоке вектора вводится аналогично изложенному выше для потока вектора . При замене вектора на вектор в формуле (1.16) и (1.17) получаем выражение для потока в случаях однородного и неоднородного полей.

Единицей потока вектора напряженности электростатического поля является вольт умноженный на метр.

.
1. 8. Теорема Гаусса в интегральной форме

Рассмотрим поток линий вектора электрического смещения сквозь сферическую поверхность произвольного радиуса r, создаваемый точечным положительным зарядом q находящимся в центре этой сферы (рис. 1.13).




Рис. 1.13

Линии вектора в каждой точке сферической поверхности пересекают её вдоль радиуса или нормали к поверхности, поэтому кроме того, во всех точках сферической поверхности значения вектора одинаковые и согласно формуле (1.5) равны . Полный поток линий вектора через сферическую поверхность оказывается равным:



В итоге мы получили, что поток линий вектора электрического смещения сквозь сферическую поверхность произвольного радиуса, создаваемый зарядом q помещенным в центр сферы, равен этому заряду.

Следует отметить, что поток не зависит от радиуса сферы и одинаков сквозь поверхности и различных радиусов (см. рис. 1.13), т. е. в зазоре между поверхностями и , где нет зарядов, линии вектора непрерывны. Если заряд q будет находится внутри поверхности произвольной формы (поверхность на рис. 1.13), то число линий, пронизывающих её, не изменится, т. е. поток останется прежним и равным заряду q. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда (поверхность на рис. 1.13), то поток сквозь неё равен нулю, так как число линий входящих в поверхность, равно числу линий , выходящих из неё.


Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей электрических зарядов:q1,q2,:,qi,:qn. Для каждого из зарядов справедливо соотношение:



где – вектор электрического смещения, создаваемый –м зарядом. Суммируем левую и правую часть этого выражения по всем зарядам, получаем:



или ;

но ; окончательно имеем



(1.18)

Полученное выражение называется теоремой Гаусса для электростатического поля. Такая запись называется интегральной, поскольку величины, стоящие в (1.18) слева и справа относятся к разным точкам пространства: поток вычисляется сквозь поверхность , а заряды находятся внутри.


Сумму зарядов в (1.18) нужно находить с учётом их знака, т. е. вычисляется алгебраическая сумма зарядов.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены непрерывно с некоторой объёмной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключённый внутри замкнутой поверхности , охватывающей некоторый объём V, будет равен:



С учётом непрерывного распределения заряда внутри поверхности теорему Гаусса можно записать:



(1.19)

Если электрические заряды распределены в вакууме () и учитывая связь между векторами и (формула 1.4) теорема Гаусса для потока вектора напряженности электростатического поля запишется следующим образом:



(1.20)

 
1. 9. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

В случае рассмотрения заряженной поверхности вводится понятие поверхностной плотности заряда: , т. е. заряда приходящегося на единицу поверхности. Рассмотрим плоскость (пластину), заряженную с постоянной поверхностной плотностью . Пусть пластина находится в вакууме, т. е. . Линии электрического смещения поля плоскости перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от неё в обе стороны (рис. 1.14).




Рис. 1.14

В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Поскольку образующие цилиндра параллельны линиям вектора поля, то поток вектора электрической индукции сквозь боковую поверхность равен нулю. Полный поток сквозь поверхность цилиндра равен сумме двух потоков сквозь его основание:



где –- значение электрической индукции поля плоскости на расстоянии от неё.

Заряд, заключённый внутри цилиндра, равен . Согласно Теореме Гаусса, имеем:

,


(1.21)

или



(1.21')

Из формул (1.21) и (1.21`) вытекает, что напряженность поля и его электрическое смещение не зависят от расстояния от плоскости, поле однородно (рис. 1.15).



Рис. 1.15

 

2.  Поле двух бесконечных параллельных разноимённо заряженных плоскостей.

Пусть плоскости находятся на расстоянии друг от друга и равномернозаряженные разноимёнными зарядами с поверхностными плотностями и . По принципу суперпозиции полей результирующее значение поля в областях , и будет равно:




В области между пластинами векторы и имеют одно направление и

Поле между плоскостями во всех точках одинаково и по величине и по направлению, т. е. является однородным. В областях и слева и справа от плоскостей векторы направлены навстречу друг другу, поэтому в области и в области (смотрите рис 1.16)



<< предыдущая страница   следующая страница >>