litceysel.ru
добавить свой файл
  1 2 3 4 5

Рис. 1.16


3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда . Общий заряд на сфере равен . Электрическое поле, создаваемое им , будет сферически симметричным. Линии вектора направлены радиально, начинаются на зарядах на поверхности сферы и уходят в бесконечность.

Найдём в точках и внутри и вне заряженной поверхности (см. рис. 1.17). Построим мысленно замкнутую сферическую поверхность радиусом так, чтобы точка оказалась на поверхности . Поверхность имеет общий центр с заряженной сферой. Внутрь поверхности электрические заряды не попадают, значит поток вектора сквозь эту поверхность равен нулю. Поэтому в любой точке внутри заряженной поверхности вектор равен нулю. т. е. электростатическое поле внутри равномерно заряженной сферы отсутствует.




Рис. 1.17

 

Вне заряженной поверхности () ситуация будет иной. Рассмотрим поле в точке вне сферы. Построим мысленно сферическую поверхность так, чтобы и точка оказалась на поверхности .

Поток вектора сквозь сферическую поверхность вычисляется с учётом центральной симметрии электростатического поля, радиального направления вектора () и одинакового значения во всех точках поверхности .



Согласно (1.17)



(1.22)

 



(1.22')

Таким образом, вне поверхности поле убывает с расстоянием по такому же закону, как у точечного заряда (рис. 1.18).



Рис.1.18

4. Поле объёмно-заряженного шара.

Шар радиуса заряжен равномерно по объёму с объёмной плотностью ( – заряд, приходящийся на единицу объёма). Весь заряд шара . Диэлектрическая проницаемость шара равна . Шар находится в вакууме, для которого проницаемость равна единице. Электрическое поле такого шара будет сферически симметричным (рис. 1.19).




Рис. 1.19

Линии вектора направлены радиально, начинаются на зарядах равномерно распределённых по всему объёму шара и уходят в бесконечность. Расчетаем поле внутри шара в произвольной точке , отстоящей на расстоянии от центра.

Построим мысленно замкнутую сферическую поверхность радиуса так, чтобы точка оказалась на поверхности . В силу того, что поле радиально () и заряды по объёму шара распределены равномерно (), значения во всех точках поверхности будут одинаковы и поток вектора сквозь эту поверхность может быть посчитан:




 

Согласно теореме Гаусса (1.19) этот поток равен сумме зарядов, заключённых внутри поверхности .



откуда

,

(1.23)

а напряженность поля

,

(1.23')

Для точек вне шара (, точка ) вычисление поля и аналогично вычислению поля для заряженной сферы, (1.22) и (1.22`)


,

,

Таким образом, электростатическое поле для точек вне шара убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шара, т. е. как у точечного заряда. При этом на поверхности шара (на границе раздела двух диэлектрических сред) напряженность поля претерпевает изменения скачком. Так, при приближении точки к поверхности шара () согласно (1.23`) имеем



При приближении точки к поверхности шара () согласно (1.22`) получим:


Очевидно, что по модулю . Если окружающая шар среда – вакуум, то (рис.1.20, а). Для электрического смещения будем иметь равенство ,т. е. смещение не претерпевает скачкообразного изменения (рис.1.20, б).


  

                               а)

б)

Рис. 1.20

 

5. Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

Бесконечно тонкая нить заряжена равномерно с линейной плотностью ( –- заряд, приходящийся на единицу длины). Электростатическое поле такой заряженной нити является радиально симметричным, т. е. линии напряженности поля будут радиальными прямыми, перпендикулярными оси нити (рис. 1.21).



Рис. 1.21

Для вычисления поля на расстоянии от нити вновь реализуем теорему Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр радиуса и длиной . Заряженная нить расположена по оси цилиндра.


Поток вектора сквозь два основания (торцы) цилиндра равен нулю, так как линии параллельны основаниям и перпендикулярны нормалям к ним. Поток сквозь боковую поверхность цилиндра равен . По теореме Гаусса имеем:

;

Искомое значение электрического смещения на расстоянии от оси нити будет:



(1.24)

А напряженность электрического поля равна:



(1.24')

Формулы (1.24) и (1.24`) оказываются справедливыми для поля бесконечного цилиндра радиуса , заряженного равномерно с линейной плотностью , при условии . Внутри равномерно заряженного цилиндра электрическое поле согласно теореме Гаусса отсутствует.


<< предыдущая страница   следующая страница >>