litceysel.ru
добавить свой файл
1 ... 2 3 4 5
1. 10. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

В случае неравномерного распределения электрического заряда и несимметричной конфигурации заряженных тел применение теоремы Гаусса в интегральной форме для расчёта вектора напряженности (или ) поля затруднительно. В этих случаях легко решаются задачи на вычисление полей с помощью теоремы Гаусса в дифференциальной форме.


Введём прямоугольную систему координат , , и обозначим электрическое смещение в какой-либо точке через .

Построим в окрестности точки элементарный объём в виде параллелепипеда со сторонами , , (рис 1.22).


Рис. 1.22

Вычислим поток вектора смещения через его поверхность. Объём параллелепипеда равен . Поток через грань , проходящую через точку равен , где знак минус показывает, что внешняя нормаль к () направлена против оси . Поток через параллельную ей грань, смещённую вдоль оси на равен . Поток вдоль оси через обе грани равен

Вычисляя аналогичным образом, потоки через две другие пары граней и складывая их, получим полный поток через всю поверхность параллелепипеда:



Если в рассматриваемом пространстве имеется распределённый в объёме заряд с объёмной плотностью , то внутри параллелепипеда находится заряд . Применяя теорему Гаусса (1.19) к рассматриваемому параллелепипеду, получим:



(1.25)

Выражение, стоящее слева в формуле 1.25, как известно из математики, называется дивергенцией (расхождением) вектора . Дивергенция является скаляром и равна:

;

С учётом изложенного выражение (1.25) перепишем в следующем виде:



(1.26)

Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме: дивергенция вектора электрического смещения в данной точке пространства численно равна объёмной плотности заряда в этой точке.


Из (1.26) очевидно, что, если , то и . При этом линии вектора выходят из точки (исток, исхождение линий). При отрицательном заряде () и . При этом линии вектора сходятся к точке (сток, вхождение). Таким образом, теорема Гаусса показывает, что источниками электростатического поля являются электрические заряды.



<< предыдущая страница   следующая страница >>