litceysel.ru
добавить свой файл
1 ... 2 3 4 5
1.11. Работа сил электростатического поля. Потенциал поля

Вычислим работу сил поля по перемещению точечного заряда q0 вдоль произвольной траектории из точки 1 в точку 2 (рис.1.23) в поле другого точечного заряда q. Оба заряда положительные.



Рис. 1.23.

Работа по перемещению заряда на элементарном пути равна:



где – приращение радиуса-вектора. Полная работа на участке пути между точками 1 и 2 равна:



Воспользуемся связью между F и напряженностью поля E, (формула 1.4), и преобразуем выражение для полной работы к виду





(1.27)

В формулу (1.27) введем кулоновскую силу взаимодействия двух зарядов (1.1), получим:




Откуда имеем:



(1.28)

Или согласно (1.10), получим



(1.29)

т. е. работа по перемещению заряда () равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках перемещения.

Из выражения (1.28) следует, что работа сил поля не зависит от формы траектории перемещаемого заряда, а зависит только от начального и конечного взаимного расположения зарядов и . Таким образом, электростатические силы являются консервативными, а электростатическое поле потенциальным.


Дадим определение (новое) потенциала на основании формулы (1.29). Рассмотрим перемещение положительного заряда q0 из данной точки с потенциалом  1 =  в бесконечно удаленную точку, в которой  2 =  = 0. При этом совершится работа А, на основании (1.29) равная:

А =q0 ,



(1.30)

Откуда следует: потенциал поля в данной точке равен работе по перемещению силами этого поля единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Единицей потенциала, как следует из (1.30) является Вольт:


1. 12. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Потенциальный характер электростатического поля

Рассмотрим перемещение заряда q0 в электростатическом поле, созданном зарядом q вдоль замкнутой траектории. Работа сил поля по перемещению заряда q0 согласно (1.28) и (1.29) равна нулю, поскольку 1 = 2 и r1 = r2, то выражение (1.27) принимает вид:




Поскольку , имеем:



(1.31)

Интеграл такого вида, вычисленный по замкнутой траектории, называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Теорема о циркуляции вектора Е: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутой траектории (контура) произвольной формы равна нулю. Эта теорема является следствием потенциального характера электростатического поля. Если (1.31) не выполняется, то поле называется не потенциальным, а вихревым.
1.13. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Сопоставляя выражения (1.27) и (1.29), получаем уравнение, выражающее связь между разностью потенциалов и напряженностью поля в интегральной форме:

(1.32)


Формула (1.32) позволяет по известной напряженности вычислить разность потенциалов.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Поле бесконечной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда τ.

Напряженность поля на расстоянии r от оси равна (см. ф-лу (1.24′)):



Вычислим разность потенциалов между зарядами расположенными на расстоянии r1 и r2 от нити. Поскольку поле нити радиально симметрично, то удобно вычислять ∆φ в радиальном направлении.

 



(1.33)

2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Напряженность поля вычисляется по формуле (1.21′):


Разность потенциалов между точками 1 и 2, лежащих на расстоянии и от плоскости, равна




(1.34)

3. Поле двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.

Напряженность поля между пластинами равна .

Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d, будет:



(1.35)

4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R и общим зарядом q.

Для точек вне сферы (r>R) напряженность поля выражается формулой (1.22′)



Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1>R,r2



(1.36)

Если принять r1=R и r2= , то потенциал заряженной сферической поверхности



(1.37)

5. Поле равномерно заряженного шара радиуса R и общим зарядом q.

Вне шара (r>R) напряженность поля выражается формулой (1.22´) и равна



Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра шара (r1>R,r2>R) определяется формулой (1.33).

В любой точке внутри шара на расстоянии r´ от центра напряженность поля определяется выражением (1.23´)


Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r´1 и r´2 от центра шара (r´12



(1.38)
1.14. Связь между напряженностью поля и потенциалом в дифференциальной форме. Градиент потенциала

Рассматривая основные характеристики электростатического поля, нами были получены выражения, связывающие между собой напряженность Е электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом φ, являющейся энергетической характеристикой поля. Аналогичные выражения могут быть получены и из рассмотрения работы поля при перемещении точечного положительного заряда q0 на элементарное расстояние вдоль произвольной траектории (рис.1.23):

dA = q0El dl

(1.39)

где El = Еcos – проекция вектора напряженности на выбранное направление. В то же время работа, совершаемая консервативными силами поля, равна убыли потенциальной энергии:

dA = – q0 d = –dП


(1.40)

где d – разность потенциалов между точками расположенными на расстоянии dl .

Приравнивая (1.39) и (1.40) получим:



(1.41)

что аналогично выражению (1.12).

Таким образом, проекция вектора напряженности поля на произвольное направление l равна взятой с обратным знаком производной от потенциала по этому направлению в исследуемой точке.

Если напряженность поля является функцией от x, y, z – координат, т. е. Е = f(x,y,z), то можно выбрать в качестве направлений перемещения три координаты оси. Тогда на основании (1.41) для трех проекций вектора напряженности имеем:



С учетом того, что можно записать следующее равенство:



(1.42)

Или:



(1.43)

т. е. напряженность поля в данной точке равна взятому с обратным знаком градиенту потенциала в этой же точке. Формулы (1.42) и (1.42`) представляют собой дифференциальную форму связи между Е и .

Градиент потенциала является вектором и равен:



Градиент потенциала показывает быстроту изменения потенциала и направлен в сторону увеличения потенциала. С учетом этого, как следует из (1.41), вектор напряженности поля всегда направлен в сторону уменьшения потенциала.

Вектор напряженности поля в любой точке всегда направлен перпендикулярно к эквипотенциальным линиям. Докажем это.

Пусть точечный заряд q0 перемещается вдоль эквипотенциали (т. е. = const) на элементарное расстояние .


Тогда



и



Поскольку , следует считать



<< предыдущая страница