litceysel.ru
добавить свой файл
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ


ФЕДЕРАЦИИ


Кемеровский государственный университет

физический факультет


УТВЕРЖДАЮ

РЕКТОР КЕМЕРОВСКОГО

ГОСУНИВЕРСИТЕТА



_______________________


"_____"__________2010_ г.


Рабочая программа дисциплины

«Векторный и тензорный анализ»


Направление подготовки

011200 Физика


Профиль подготовки

«Физика конденсированного состояния вещества»


Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр


Форма обучения

Очная


Кемерово

2010 г.


1. Цели освоения дисциплины


    Целями освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» являются повышение профессионального уровня в плане подготовки специалиста, обеспечение необходимыми знаниями и привитие практических навыков работы с основными понятиями векторного и тензорного анализа.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» представляет собой дисциплину базовой части цикла Математического и естественнонаучного цикла (Б2) и относится к модулю Математика. Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» базируется на курсах цикла дисциплин естественнонаучных и профессиональных дисциплин (Б2 ), входящих в модуль Математика. Студенты, обучающиеся по данному курсу должны знать основы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры.


    3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ»: ОК-1, 16, 17, ПК-10.

В результате освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» обучающийся должен:
  • Знать: понятия скалярного и векторного поля, преобразование координат тензора при изменении базиса линейного пространства, понятие потока вектора и циркуляции векторного поля, понятие тензора; дифференциальные операторы rot, div и grad; дифференциальные операторы 2-го порядка, интегральные теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса, понятие потока вектора и циркуляции векторного поля, основные операции векторного анализа в криволинейных координатах и т.д.


  • Уметь: вычислять градиент скалярных полей, производных по направлению, дивергенцию и ротор векторных полей, применять индексные формы записи к решению прикладных задач (решение простейших задач электродинамики, теоретической механики и механики сплошных сред).

  • Владеть навыками выбора оптимального способа решения задач.



4. Структура и содержание дисциплины «Векторный и тензорный анализ»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы 72 часа.


4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах)


4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом


Вид учебной работы

Всего часов

Общая трудоемкость базового модуля дисциплины

72

Аудиторные занятия (всего)

36

В том числе:




Лекции

18

Семинары

18

Самостоятельная работа

36

В том числе:




реферат




Индивидуальные работы

36

Вид промежуточного контроля





Вид итогового контроля зачёт

Зачёт



4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах)







п/п


Раздел

Дисциплины

Семестр

Неделя семестра

Общая трудоёмкость (часах)

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)

Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

Учебная работа

В.т.ч.

активных форм

Самостоятельная работа













всего

лекции

Практ.






1.


Элементы векторной алгебры

2

1

6

2

2

1

2

Лекционный диктант, проверочная работа.

2.

Тензорная алгебра

2

2-3

16

4

6

3

6

Лекционный диктант, проверочная работа.

3.

Векторный анализ - основные определения

2

4

4

2





2

Лекционный диктант.

4.

Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных полей

2

5

8

2

2

1

4

Лекционный диктант, проверочная работа.

5.

Основные операции векторного дифференцирования

2

6

15

2


6

1

7

Лекционный диктант, проверочная работа.

6.

Формулы Грина и основная теорема векторного анализа

2

7

6

3

-




3

Лекционный диктант.

7.

Криволинейные системы координат

2

8

10

2

2

1

6

Лекционный диктант, проверочная работа.

8.

Элементы теории групп

2

9

7

1

-




6

Лекционный диктант




Всего за семестр







72

18

18




36

зачёт


4.2 Содержание дисциплины



Содержание лекций базового обязательного модуля дисциплины




Наименование раздела дисциплины

Содержание раздела дисциплины

Результат обучения, формируемые компетенции

1.

Элементы векторной алгебры

Скаляры. Векторы - определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция вектора на ось. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартов базис. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов - определение, вычисление в декартовой системе координат. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы.

ОК-1, 16, 17 ПК-10.

2.

Тензорная алгебра

Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. Алгебра тензоров: сложение, умножение, свертка тензоров. Симметричные и антисимметричные тензоры. -символ Кронекера. Признак тензорности величины. Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. Псевдотензор Леви-Чивиты.

ОК-1, 16, 17, ПК-10.

3.

Векторный анализ - основные определения

Вектор-функция скалярного аргумента. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий.


ОК-1, 16, 17 ПК-10.

4.

Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных полей

Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для векторных полей. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля.

ОК-1, 16, 17, ПК-10.

5.

Основные операции векторного дифференцирования

Оператор Гамильтона (). Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором и в декартовой системе координат. Запись основных операций векторного дифференцирования в тензорном виде. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа.

ОК-1, 16, 17 ПК-10.

6.

Формулы Грина и основная теорема векторного анализа

Следствия из интегральных теорем: 1-я и 2-я формулы Грина. Основная теорема векторного анализа - построение потенциального и соленоидального векторных полей.


ОК-1, 16, 17 ПК-10.

7.

Криволинейные системы координат

Определение. Коэффициенты Ламэ. Локальный базис. Цилиндрическая, сферическая системы координат. Градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в криволинейных системах координат.


ОК-1, 16, 17 ПК- 10.

8.

Элементы теории групп

Абстрактные группы. Аксиомы теории групп. Подгруппа, сопряженные совокупности. Классы. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Прямое произведение групп. Таблицы умножения групп.

ОК-1, 16, 17, ПК-10.



Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины




Наименование раздела дисциплины

Содержание раздела дисциплины

Результат обучения, формируемые компетенции

1.

Векторная алгебра

векторы, скаляры, основные операции с векторами: скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

ОК-1, 16, 17 ПК-10.

2.

Тензорная алгебра

-символ Кронекера, правило суммирования Эйнштейна, дифференцирование функций многих переменных с использованием индексных обозначений (, )


ОК-1, 16, 17 ПК-10.

3.

Тензорная алгебра

Тензоры: определение, закон преобразования (задачи на закон преобразования, инвариантные тензоры на примере -символа). Дополнительно: дифференцирование

ОК-1, 16, 17, ПК-10.

4.

Тензорная алгебра

Псевдотензор Леви-Чивиты, четная и нечетная перестановки, запись векторных выражений в тензорном виде

ОК-1, 16, 17 ПК-10.

5.

Основные операции векторного дифференцирования

Градиент: определение (декартовая система координат). Рассмотрение основных примеров: в декартовой системе. Бескоординатное дифференцирование ()

ОК-1, 16, 17 ПК-10.

6.

Основные операции векторного дифференцирования

Дивергенция векторного поля: определение (декартовая система координат), физический смысл на примерах. Основные задачи , , векторные линии. Бескоординатное «векторное» дифференцирование с использование свойств дивергенции ()


ОК-1, 16, 17 ПК-10.

7.

Основные операции векторного дифференцирования

Ротор векторного поля: определение (декартовая система), физический смысл на примерах. Основные задачи: . Примеры на бескоординатное «векторное» дифференцирование с использованием свойств ротора ().

ОК-1, 16, 17, ПК-10.

8.

Дифференциальные характеристики векторных полей

Операторы ,…

ОК-1, 16, 17, ПК-10.

9.

Криволинейные системы координат

Рассмотрение основных примеров (, , …) в цилиндрической и сферической системах координат

ОК-1, 16, 17, ПК-10.


5. Образовательные технологии:

Лекции, практические занятия, консультации, индивидуальные работы, самостоятельные работы, компьютерные симуляции, зачет.

При реализации программы дисциплины «Векторный и тензорный анализ» используются различные образовательные технологии – во время аудиторных занятий (36 часов) занятия проводятся в виде лекций с использованием ПК и компьютерного проектора, практические занятия проходят в компьютерном классе физического факультета КемГУ, при этом могут также использоваться специальные и вычислительные программы; самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателей (консультации и помощь при выполнении практических работ) и индивидуальную работу студента (36 часов).



6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.


6.1. Примерные темы рефератов


Не предусмотрен.


6.2. Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины


В течение преподавания курса «Векторный и тензорный анализ» в качестве форм текущей аттестации студентов используются такие формы, как контрольная работа, лекционный диктант, тест. По итогам обучения в 2-ом семестре проводится зачет.


Контрольные вопросы и задания:


  1. Операции с векторами.

    1. Вычислить и для векторов:

      1. и

      2. и

      3. и

      4. и

      5. и




    1. Вычислить для векторов : (1)

      1. , и

      2. , и

      3. , и

      4. , и

      5. , и




    1. Показать прямым вычислением, что : (1)
      1. , и


      2. , и

      3. , и

      4. , и

      5. , и




    1. Показать прямым вычислением, что : (1)

      1. , и

      2. , и
      3. , и


      4. , и

      5. , и




    1. Вычислить объем пирамиды ABCD, вершины которой имеют координаты : (2)

1.5.1 A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5)

1.5.2 A(2,0,3), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3)

1.5.3 A(-3,1,1), B(0,-4,-1), C(5,1,3), D(4,6,-2)

1.5.4 A(2,1,-4), B(-3,-5,6), C(0,-3,-1), D(-5,2,-8)

1.5.5 A(1,1,4), B(2,1,2), C(1,-1,2), D(6,-3,8)

  1. Просуммировать выражение с -символом:


2.1 (2) 2.2 (2)

2.4 (2) 2.4 (2)

2.5 (2) 2.6 (2)

2.7 (2) 2.8 (2)


2.9 (2) 2.10 (2)

2.11 (2) 2.12 (2)

2.13 (2) 2.14 (1)

2.15 (3) 2.16 (2)

2.17 (1) 2.18 (2)

2.19 (2) 2.20 (2)

2.21 (2) 2.22 (2)

2.23 (2) 2.24 (2)

2.25 (1) 2.26 (1)

2.27 (4) 2.28 (4)


2.29 (4) 2.30 (4)


  1. Записать закон преобразования и указать ранг величины:


3.1 (2) 3.2 (1)


3.3 (1) 3.4 (2)


3.5 (2) 3.6 (2)


3.7 (1) 3.8 (2)


3.9 (2) 3.10 (2)


3.11 (2) 3.12 (2)


3.13 (2) 3.14 (2)

3.15 (2) 3.16 (2)

3.17 (3) 3.18 (3)

3.19 (3) 3.20 (3)

3.21 (3) 3.22 (3)

3.23 (3) 3.24 (4)

3.25 (2) 3.26 (2)

3.27 (2) 3.28 (2)

3.29 (2) 3.30 (2)


  1. Продифференцировать:


4.1 (1) 4.2 (1)

4.3 (2) 4.4 (2)

4.5 (2) 4.6 (2)


4.7 (2) 4.8 (2)

4.9 (2) 4.10 (3)

4.11 (2) 4.12 (3)

4.13 (3) 4.14 (3)

4.14 (3) 4.16 (3)

4.17 (3) 4.18 (3)

4.19 (2) 4.20 (1)

4.21 (2) 4.22 (2)

4.23 (3) 4.24 (2)

4.25 (2) 4.26 (2)


4.27 (3) 4.28 (3)

4.29 (3) 4.30 (3)


  1. Вычислить, используя какой-либо из способов – представление в декартовой системе координат, в тензорной или векторной форме:


5.1 (5) 5.2 (2)


5.3 (3) 5.4 (2)


5.5 (5) 5.6 (5)


5.7 (6) 5.8 (6)


5.9 (6) 5.10 (10)


5.11 (2) 5.12 (3)

5.13 (3) 5.14 (3)



5.15 (3) 5.16 (4)


5.17 (3) 5.18 (3)


5.19 (5) 5.20 (5)


5.21 (3) 5.22 (3)


5.23 (3) 5.24 (3)


5.25 (3) 5.26 (3)


5.27 (4) 5.28 (4)


5.29 (4) 5.30 (5)


Вопросы и задания для индивидуальной и самостоятельной работы.


  1. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов - определение, вычисление в декартовой системе координат.
  2. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы.


  3. -символ Кронекера. правило суммирования Эйнштейна.

  4. Дифференцирование функций многих переменных с использованием индексных обозначений

  5. Псевдотензор Леви-Чивиты

  6. Вычисление градиента скалярного поля. Бескоординатное дифференцирование.

  7. Дивергенция, ротор векторного поля. Бескоординатное «векторное» дифференцирование с использованием свойств градиента, дивергенции и ротора.

  8. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа.

  9. Системы криволинейных координат.

  10. Тороидальная система координат. Лапласиан скалярной функции.

  11. Трёхмерные параболические координаты. Лапласиан скалярной функции.

  12. Эллипсоидальные координаты. Лапласиан скалярной функции.

  13. Параболоидальные координаты. Лапласиан скалярной функции.

  14. Бицилиндрические координаты. Лапласиан скалярной функции.

  15. Биполярные координаты. Лапласиан скалярной функции.

  16. Параболические координаты. Лапласиан скалярной функции.

  17. Координаты эллиптического цилиндра. Лапласиан скалярной функции.

  18. Координаты параболического цилиндра. Лапласиан скалярной функции.

  19. Тороидальная система координат. Градиент скалярной функции.

  20. Трёхмерные параболические координаты. Градиент скалярной функции.

  21. Эллипсоидальные координаты. Градиент скалярной функции.

  22. Параболоидальные координаты. Градиент скалярной функции.

  23. Бицилиндрические координаты. Градиент скалярной функции.

  24. Биполярные координаты. Градиент скалярной функции.

  25. Параболические координаты. Градиент скалярной функции.

  26. Конические координаты. Градиент скалярной функции.
  27. Координаты эллиптического цилиндра. Лапласиан скалярной функции.


  28. Координаты параболического цилиндра. Лапласиан скалярной функции.

  29. Группа перестановок.

  30. Группа Матье.

  31. Преобразования пространства. Точечные группы симметрии (на выбор): , , , , , , , , , , , , , , непрерывные группы.

  32. Представление как гомоморфизм группы

  33. Приводимые и неприводимые представления

  34. Умножение операций симметрии

  35. Генераторы точечных групп.


Вопросы к зачету.

  1. Скаляры. Векторы- определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция на ось.
  2. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартовый базис.


  3. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов- определение, вычисление в декартовой системе координат.

  4. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы.

  5. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат.

  6. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры.

  7. Алгебра тензоров: сложение и умножение тензоров.

  8. Алгебра тензоров: свертка тензоров.

  9. Симметричные и антисимметричные тензоры.  -символ Кронекера (определение, закон преобразования, ранг).

  10. Признак тензорности величины.

  11. Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры.

  12. Псевдотензор Леви-Чивиты. Запись векторного произведения в тензорном виде.

  13. Вектор-функция скалярного аргумента. Производная.

  14. Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате.

  15. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

  16. Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий.

  17. Поток векторного поля.

  18. Теорема Остроградского-Гаусса для векторных полей (формулировка). Дивергенция векторного поля.

  19. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля.

  20. Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором  и в декартовой системе координат.

  21. Запись основных операций векторной алгебры и вектоного дифференцирования в тензорном виде.

  22. Векторные дифференциальные операции второго порядка.

  23. Следствия из интегральных теорем: первая формула Грина.

  24. Следствия из интегральных теорем: вторая формула Грина.
  25. Основная теорема векторного анализа. Построение соленоидального векторного поля.


  26. Основная теорема векторного анализа. Построение потенциального векторного поля.

  27. Криволинейные координаты.

  28. Градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных системах координат.

  29. Дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат.

  30. Ротор векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат.

  31. Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных системах координат.

  32. Аксиомы теории групп.

  33. Подгруппа, сопряженные совокупности. Индекс подгруппы.

  34. Классы.

  35. Прямое произведение групп.


7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины


а) основная литература:

  1. Годиенко А.Б., Золотарев М.Л., Кравченко Н.Г. «Основы векторного и тензорного анализа: учебное пособие». ГОУ ВПО «Кемеровский госуниверситет». – Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2009. – 132 с.

  2. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начало тензорного исчисления. М. – «Высшая школа», 1966. – 252 с.

  3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М. – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. – 664 с.

  4. Кочин Н.Е. Векторное исчиление и начала тензорного исчисления. М. – Изд-во АН СССР, 1951. – 424 с.

  5. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М. – «Наука», 1969. – 352 с.

  6. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М., Изд-во МГУ, 1974.


б) дополнительная литература:

  1. Ильин В.А., Позняк Э.К. Основы математического анализа: Учеб.: В 2 ч. М.: Наука, 1980-1982. Ч. 1-2.

  2. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. М.: Наука, 1981. Т.1-3.

  3. Шилов Г.Е. Лекции по векторному анализу. М., ГИТТЛ,1954.

  4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория применения в геометрии и в механике сплошных сред. М., "Наука", 1971.



в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

  1. MAXIMA (http://maxima.sourceforge.net)

  2. GNU Octave (http://www.octave.org/)

  3. Advanced Grapher (http://www.alentum.com/agrapher/)



8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Векторный и тензорный анализ»

Для материально-технического обеспечения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» используется: специализированная аудитория с ПК и компьютерным проектором, компьютерный класс физического факультета КемГУ.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 011200 Физика – Физика конденсированного состояния.


Автор: Кравченко Н.Г. (доцент кафедры теоретической физики КемГУ, к.ф.м.-н.)


Рабочая программа дисциплины
обсуждена на заседании кафедры теоретической физики


Рабочая программа дисциплины обсуждена на

заседании кафедры теоретической физики


Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.


Зав. кафедрой ________________________Поплавной А.С.


Одобрено методической комиссией физического факультета


Протокол № ______ от «______»_______________2010 г.

Председатель _________________________Золотарев М.Л.