litceysel.ru
добавить свой файл
1
РАЗДЕЛ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.


________________Лекция 5.

§ 1. Непрерывность функции в точке.

1.1. Понятие непрерывности.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а
.


Определение.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если = f (a), т.е. предел функции в точке а равен значению функции в этой точке.

Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной на этом интервале.

Определение. Пределом функции f (x) в точке а слева (соответственно справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что х стремится к точке а оставаясь все время меньше (соответственно больше) значения а.

Обозначают

или f (a-0) и называют односторонним пределом слева;

( соответственно

или f (a+0) называют односторонним пределом справа).


Определение. Пусть функция f (x) определена в правой (левой) полуокрестности точки а, т. е. на некотором полуинтервале [a, a + ) (соответственно (а-ε, а]. Функция f (х) называется непрерывной справа (соответственно слева) в точке а, если f (а + 0) = f (а) (соответственно f (a – 0)=f (a) ).

Теорема.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке а,
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке
справа и слева, т.е. f (a+0)=f (а)=f (а -0).


1.2. Основные теоремы о непрерывности.

Теорема 1.


Если функции f(x) и g(х) непрерывны в точке а,
то функции f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) также
непрерывны в точке а (частное — при условии g(а)  0).

Теорема 2.


Если функция u=g(x) непрерывна в точке а, а функция y=f(u) непрерывна в точке u0 =g(a), то сложная функция у=f(g(x)) непрерывна в точке а.

Теорема 3.

Если f (x) непрерывная функция, имеющая однозначную обратную функцию, то обратная функция тоже непрерывна.

Теорема 4.

Функция f (x), непрерывная в точке а , не равная нулю в этой точке, сохраняет знак f(a) в некоторой окрестности этой точки.



    1. Классификация точек разрыва.

Пусть а — предельная точка области определения функции f(x). Точка a называется точкой разрыва функции f(х), если f(х) в этой точке не является непрерывной, т.е. нарушается равенство

f (a+0)=f (а)=f (а -0).


Приведем классификацию точек разрыва функции ввиде схемы.


Точки разрыва функции




рода рода

( существуют, конечны ( хотя бы один из односторонних

оба односторонних предела) пределов равен бесконечности

или вообще не существует)



устранимый конечный

разрыв скачок


(существуют, конечны, (существуют, конечны,

равны между собой оба но не равны между

односторонних предела, собой односторонние

но не равны значению пределы)

функции).

Пример.

Исследовать функцию на непрерывность, указать характер точек разрыва и построить график:




Решение.

Областью определения функции f (x) является множество R всех действительных чисел. На каждом их промежутков (-;0), (0;2), (2;+) она является элементарной функцией, поэтому будет непрерывной в этих промежутках.

Так как при переходе через точки х=0 и х=2 функция меняет свое аналитическое выражение, то в этих точках ( и только в них) возможны разрывы. Исследуем функцию f(x) на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы функции в точках х=0 и х=2 и сравним их со значениями функции в этих точках.

1) если х=0, то

,





Значит, функция f(x) в точке х=0 слева непрерывна, справа терпит разрыв первого рода (конечный скачок).


2) если х=2, то

,



Следовательно, функция f(x) в точке х=2 слева непрерывна, справа терпит разрыв второго рода.


Построим график данной функции.


Y




2

1

-1 0 2 X


Лекция 6.

§ 2. Производная функции. Правила дифференцирования.

2.1. Основные понятия и теоремы.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Приращением этой функции в точке x0 называется функция аргумента ∆x: ∆y = f(x0 + ∆х) - f(х0).

Разностное отношение также является функцией аргумента ∆ x .

Определение .

Производной функции y= f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует ) :

= .

Производная функции у = f(х) в точке х0 обозначается '() или у'().



Операция нахождения производной функции называется ее дифференцированием., а функцию, имеющую производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.


Рис.1.




2.2. Задача о касательной. Геометрический смысл производной .
Пусть на плоскости хОу дана непре­рывная кривая y=f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке m0(x0, y0) (рис.1).


Рис.2


Прежде всего необхо­димо выяснить, что мы будем понимать под каса­тельной к кривой. Каса­тельную нельзя опреде­лить как прямую, имею­щую с кривой одну об­щую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. имеет одну общую точку с кривой (2), но не явля­ется касательной к ней. А прямая (3) на рис. 2б, хотя имеет две общие точки с кривой (4), оче­видно, касается ее в точке А. Поэтому для определе­ния касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Дадим аргументу х0 приращение ∆x и перейдем на кривой y=f(x) от точки m0(x0,, (x0)) к точке m1(x0+∆x,( x0+∆x)). Проведем секущую М0М1 (см.рис.1).


Под касательной к кривой y=f(x) в точке M0 естественно по­нимать предельное положение секущей M0M1 при приближении точки М1 к точке М0 ,т.е. при ∆x→0.

Уравнение прямой, проходящей через точку М0 имеет вид


y - f (x0) = k (x-x0).

Угловой коэффициент (или тангенс угла  наклона) секущей kM1M0 может быть найден из ∆ М0М1N

kM1M0=tg=∆y/∆x (рис.1). Тогда угловой коэффициент касательной k= lim kM1M0=

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная f '(x0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0 ,т.е. k= f '(x0).

Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид y - f (x0)= f '(x0) (x-x0).


2.3. Односторонние производные.

Если существует , т.е. только справа при , то он называется правой производной функции у = f (х) в точке x0 и обозначается  ' (x0 +0).


Если существует , т.е. только слева , то он называется левой производной функции у = f (х) в точке x0 и обозначается (x0-0) соответственно.

Если существуют '(х0 - 0) и '(х0 - 0) и они равны, то существует '(x0), и она равна '(x0 + 0). Обратно: если существует '(x0), то
существуют '(х0 + 0) и '(х0 - 0), причем f '(x0 + 0) = f '(x0 - 0)

=(x0).


    1. Правила дифференцирования.

Теорема 1.

Если u(х) и v(x) имеют производные в точке x0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии v(x)  0) также имеют производные в точке x0, причем в точке x0 справедливы равенства

(u + v)' = u + v', (u-v)' = u'-v',
(uv) = u/ v + uv , (u/v)=(uv-uv)/v2.


Теорема 2 (производная обратной функции).

Если функция у =f (х) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x0, имеет производную в точке x0 и (x0)  0, то существует обратная функция х = f--1(y), которая определена в некоторой окрестности точки у0 = (x0) u имеет производную в точке у0, причем

(-1(y0)) =1/(x0).


Теорема 3 (производная сложной функции).

Если функция t=(х) имеет в точке x0 производную

'(х0), а функция у=(t) имеет в точке to =(x0) производную
(t0), то сложная функция у = ((х0)) f(х) имеет производную в
точке x0, причем f'(x0)=((x0))(x0).


2.5. Таблица производных элементарных функций.


1. y= (c)`=0

2. y= (x)`=1.

3. y= (xn)/ = n x n-1 , ( un)'=nun-1 u'

4.y= (ax)/= ax ln a, ( au)'=auln a u'

5. y=( ex)`= ex , (eu)'=eu u'

6.y=(loga x)`=1/(x ln a) ,(log a u)'=u'/(u ln a)

7. y=(sin x)`=cos x

8. y=(cos x)`=- sin x

9. y= (tg x)`=1/cos2 x

10. y= (ctg x)`= -1/sin2 x

11. y=(arcsin x)`=1/

12. y=(arccos x)`= - 1/

13. y= (arctg x)`=1/(1+x2 )

14. y= (arcctg x)`= -1/(1+x2 )

Примеры.

Вычислить производные функций:

1.

Решение.

.


2.

Решение.

=.

3.

Решение.



4.

Решение.

==.

5.

Решение.



6.

Решение.


Лекция 7.

§ 3. Логарифмическое дифференцирование.


Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции, т.е.



Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции y=uv, где u=u(x) и v=v(x), предварительное логарифмирование приводит к формуле




Пример.

Найти производную функции y=(sin 2x)3x .

Решение.

Логарифмируя данную функцию, получаем


.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х:

.

Отсюда .

Далее, = .

Окончательно имеем: (sin 2x)3x .


§ 4. Дифференциал функции.

4.1. Основные понятия и теоремы.

Определение. Функция у=f (х) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение ∆у = f (х0 + ∆х) – f (х0) в этой точке можно представить в виде ∆у = А ∆х + α ∆x, где А - некоторое число, а α — функция аргумента ∆х, бесконечно малая и непрерывная в точке ∆х = 0 .


Теорема.

Для того чтобы функция у = f (х) была дифферен-
цируемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы существовала
производная f '(х0).

Отметим, что при этом А =  '(x0).

Определение. Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции у=f(х) в точке x0 (дифференцируемой в этой точке) называется функция аргумента ∆х: dy = f ′(х0)∆х.

При '(x0)0 дифференциал является главной (линейной относи-
тельно ∆х) частью приращения функции в точке x0.

Определение. Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: dx = ∆х. Таким образом, дифференциал функции у = f(х) в точке х0 имеет вид dy = f '(x0)dx,,откуда f ′(x0)= dy/dx , т. е. производная функции у =f (х) в точке х0 равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной.

Теорема.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0 ,то она в этой точке непрерывна.



    1. Правила дифференцирования.

Ввиду общности операций нахождения производной и дифференциала обе они носят название дифференцирования.

Пользуясь формулой dy=y /dx , можно получить из таблицы формул для производных соответствующую таблицу формул для дифференциалов. Для получения дифференциала нужно умножить производную на дифференциал независимой производной (т.е. на dx).

Например, для функции y=sin x производная равна y/=cos x , тогда

дифференциал d (sin x) = cos x dx .

4.3.Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Так как ∆у dy при малых ∆х, т. е. f (х0 + ∆х) – f (х0) (x0) ∆х, то f (х0 + ∆х) f (х0)+ (x0) ∆х,

Эта формула позволяет находить приближенные значения f (х0+∆х) при малых ∆х, если известны (x0) и  '(x0).

Пример.

Вычислить

Решение.

Очевидно, что = .

Обозначим х0=4, =-0,0022.

Рассмотрим функцию f(x)=. Вычислим ее производную f/=.

Тогда используя формулу f (х0 + ∆х) f (х0)+ (x0) ∆х , будем иметь

+ (-0,0022)=2-0,00055=1,99945.

§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков

5.1.Определение производных высших порядков.

Если производная f '(х) функции у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производную, то эта производная от

f '(x) называется второй производной (или производной второго поряд-
ка)
функции у=f(х) в точке x0 и обозначается одним из следующих
символов: f"(x0), f(2)(x0), у"(хо), у(2)0).

Третья производная определяется как производная от второй про-
изводной и т. д.

Если функция у = f(x) имеет (п — 1)-ю производную
в окрестности точки x0 и если (n — 1)-я производная имеет производ-
ную в точке х0, то эта производная называется п-й производной (или
производной п-го порядка) функции у = f(х) в точке x0 и обозначается
f( n) 0) или y( n)(x0).

Таким образом, производные высших порядков определяются ин-
дуктивно по формуле : y( n)(x)=[ y( n-1)(x)]/ .

Функция, имеющая n-ю производную в точке x0, называется п раз
дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая в точке x0 про-
изводные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в
этой точке.

Пример.

Найти производную второго порядка функции

.

Решение.





5.2. Дифференциалы высших порядков.


Пусть х — независимая переменная и функция у = f (х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0.

Первый дифференциал dy = f '(x)dx является функцией двух переменных: х и dx.

Второй дифференциал d2y функции у = f (х) в точке x0 определяет-
ся как дифференциал функции dy = f '(x)dx в точке x0 при следующих
условиях:

1°) dy рассматривается как функция только независимой перемен-
ной х (иными словами, при вычислении дифференциала от f '(x)dx нужно вычислить дифференциал от f '(х), рассматривая dx как постоянный множитель);

2°) приращение независимой переменной х при вычислении диф-
ференциала от f '(х) считается равным первоначальному приращению аргумента, т. е. тому же самому значению dx, которое входит множителем в выражение dy = f '(x)dx.

Пользуясь этим определением, получаем d2yx=x0= (x0) (dx)2. Дифференциал n-го порядка d nyx=x0=( n) (x0) (dx) n.

§6. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.


Рассмотрим понятие, иллюстрирующее экономиче­ский смысл производной.

Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть ∆х — прирост продукции, тогда ∆у — приращение издержек производства и ∆y/∆x-среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная

выражает предельные издержки производства и характеризует


приближенно дополнительные за­траты на производство единицы дополните-

льной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) х и определяются не по­стоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть оп­ределены предельная выручка, предельный доход, предельный про­дукт, предельная полезность и другие предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние (как сум­марная или средняя величины), а процесс, изменение экономиче­ского объекта. Таким образом, производная выступает как ско­рость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительного другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов эко­номических расчетов и прерывности (дискретности) экономиче­ских показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предель­ные величины.

Для исследования экономических процессов и решения дру­гих прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции Ех(у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному прираще­нию переменной х при ∆x→0: x/y lim ∆y/∆x=x/y*y’. (1)

x→0

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у =f(x) при изменении независи­мой переменной х на 1%.

Отметим свойства эластичности функции.

1.Эластичность функции равна произведению независимой перемeнной x

на темп изменения функции.

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций.


Эластичность функций применяется при анализе спроса и по­требления. Например, эластичность спроса у относительно цены х (или дохода х) — коэффициент, определяемый по формуле и показывающий приближенно, на сколько процентов из­менится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.


Пример .

Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс. руб.) и выпуском продукции x: (млрд.руб.) вы­ражается функцией у= -0,5x+80. Найти эластичность себестои­мости при выпуске продукции, равном 60 млрд. руб.


Решение.

По формуле (1) эластичность себестоимости

Ex(y)=-0,5x/(-0,5x+80)=x/(x-160).

При x: = 60 Ех=60(у) = -0,6, т.е. при выпуске продукции, рав­ном 60 млрд.руб., у

величение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.


Лекция 8.

§7. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема 1 (теорема Ферма ).

Если дифференцируемая на промежутке X функция y=f(x) достигает наибольшего и наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка , то производная функции в этой точке равна 0,т.е. f '(x)=0.

Доказательство.

Допустим, что в точке с функция f (x) достигает наибольшего значения. Придадим значению с достаточно малое приращение . Тогда

f (c+x) < f (c). Отсюда

при x < 0 , и, следовательно,


. (*)

При x >0 , и, следовательно,

. (**)

Из неравенств (*) и (**) следует, что f / (c) =0. Что и требовалось доказать.


Теорема 2 (теорема Ролля).

Пусть функция f (х) удовлетворяет условиям:

1°) f(х) непрерывна на сегменте [а, b];

2°) f(x) диффернцируема в интервале (а,b);

3°) принимает на концах интервала равные значения, т.е. f(а) = f(b).

Тогда существует точка с  (а, b) такая, что f '(c) = 0.

.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля:

Существует точка с  (а, b) такая, что касательная к графику функции у=f(х) в точке (с,f(с)) параллельна оси Ох.


Теорема 3. (теорема Лагранжа).

Пусть функция f(х) удовлетворяет условиям:

1°) f(х) непрерывна на сегменте [а,b];

2°) f(х) дифференцируема в интервале (а,b).

Тогда существует точка с  (а, Ь) такая, что

f(b)-f(a) = f'(c)(b-a). (1)

Замечание: формула (1) называется формулой Лагранжа (или формулой конечных приращений).

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа:

Формула Лагранжа показывает, что касательная к графи-
ку в некоторой точке (с,f(с)) параллельна прямой, проходящей через
концы графика (или совпадает с ней).


Теорема 4 (теорема Коши).

Пусть функции f(х) и g(х) удовлетворяют условиям:


1°) f(х) и g(х) непрерывны на сегменте [а, b];

2°) f(х) и g(х] дифференцируемы в интервале (а, b);

3°) g'(x) O x  (а,b).

Тогда существует точка с (а, b) такая, что

. (2)

Формула (2) называется формулой Коши.


§8. Правило Лопиталя.

Теорема 1.

Пусть выполнены условия:

1) функции f(х) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (кроме, быть может, самой точки a);

2) lim f(х) = lim g(x)=0

ха хa

3) g ' (х)  0 в указанной окрестности точки а (кроме, быть может, самой точки а);

4) существует lim f  (x)/g  (x)

xa


Тогда существует lim f (x)/g (x) ,и он равен lim f (x)/g (x).

xa xa

Замечание.

Если все условия теоремы 1 выполнены в правой (соответственно левой) полуокрестности точки а, то теорема верна в отношении правого (соответственно левого) предела функции f(x)/g(x) в точке а.


Теорема 2.

Пусть выполнены условия:

1°) функции f (х) и g (x) определены и дифференцируемы на полупрямой (а,+);

2°) lim f(х) = lim g(x) = 0 (при x);

3°) g'(x)  0 x  (a, +);

4) существует lim f  (x)/g (x)

x+

Тогда существует lim f (x)/g (x) ,и он равен lim f  (x)/g  (x).

x+ x+

Замечание. Если условие 4) в теоремах 1 и 2 заменить условием

lim f (x)/g  (x)= (a число или символ +) ,то lim f (x)/g (x)=.

xa xa

ЗАМЕЧАНИЕ:

Теоремы 1 и 2 позволяют раскрывать неопределенности типа 0/0.


Теорема 3.

Если выполнены условия 1), 3), 4) теорем 1 и 2, а вместо условия 2) выполнено условие lim f(х) = lim g(x) = ,


ха ха .

число или символ +) , то существует lim f(x)/g(x) ,и он

ха

равен lim f (x)/g (x).

xa

Замечание.

Теорема 3 позволяет раскрывать неопределенности типа . Она справедлива также в отношении односторонних пределов.


Каждая из теорем 1-3 называется правилом Лопиталя.


Неопределенности других типов (0 ;  - ; 1; 0°;°) можно свести к неопределенностям типа 0/0 или  с помощью тождественных преобразований и затем применять правило Лопиталя.


Пример.

Вычислить предел

Решение.




Практические задания.

Примеры с решениями.

Задание №1.Найти производные следующих функций:

1).

Решение.



2).

Решение.



3).

Решение.


4).


Решение.



5).

Решение.



6).

Решение.



7).

Решение.



8).

Решение.



9).

Решение.



10).

Решение.




Задание №2. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные





Решение.


а) используя формулы производных элементарных функций и правило дифференцирования сложной функции, получим


б) Заданная функция имеет вид , ее производная определяется по формуле




Поэтому, учитывая, что , получим




Задание №3. Найти дифференциал функции y=3x2-x

Решение.

dy= (3x2-x)/ dx= (6x-1)dx.


Задание №4. Вычислить приближенно (1,03)5.

Решение.

Полагая f(x)=x5; x0=1; x=0,03 и найдя f /(x)=5x4 ,


воспользуемся формулой f (х0 + ∆х) f (х0)+ (x0) ∆х и получим:

(1,03)5=(1+0,03)5 15 +.

Таким образом, (1,03)5 1,15.


Задание №5. Ребро куба длиной 30 см увеличено на 0,1см. Определить величину изменения объема куба.

Решение.

Обозначим ребро куба через х. Тогда объем куба V=х3. Отсюда

dv=. В нашем случае и, значит, dv=

Следовательно, (см 3).


Задание №6. Пользуясь правилом Лопиталя, найти




Решение.

а) Имеем неопределенность вида , поэтому


б) Имеем неопределенность вида воспользуемся формулой . Тогда , где . Вычислим





Поэтому


Упражнения для самостоятельной работы.


Задание №1. Найти производные следующих функций:

1). Ответ:

2). Ответ:

3). Ответ:

4). Ответ:

5). Ответ:

6). Ответ:

7). Ответ:

8). Ответ:


9). Ответ:

10). Ответ:


Задание №2. Пользуясь правилом Лопиталя, найти:
























Задание. Выберите правильный вариант ответа

1. Найти точки разрыва функции f(x) и определить их тип, если



А) в точке x=0 разрыв І рода (конечный скачок);

Б) в точке x=0 разрыв І рода (устранимый разрыв);

В) в точке x=0 разрыв ІІ рода;

Г) в точке x=0 функция непрерывна.

2. Найти точки разрыва функции f(x) и определить их тип, если




А) в точке x=2 разрыв І рода (конечный скачок);

Б) в точке x=2 разрыв І рода (устранимый разрыв);

В) в точке x=2 разрыв ІІ рода;

Г) в точке x=2 функция непрерывна.


3. Найти точки разрыва функции f(x) и определить их тип, если



А) в точке x=2 разрыв І рода (конечный скачок);

Б) в точке x=2 разрыв І рода (устранимый разрыв);

В) в точке x=2 разрыв ІІ рода;

Г) в точке x=2 функция непрерывна.


4. Найти точки разрыва функции f(x) и определить их тип, если



А) в точке x=-1 разрыв І рода (конечный скачок);

Б) в точке x=-1 разрыв І рода (устранимый разрыв);

В) в точке x=-1 разрыв ІІ рода;

Г) в точке x=-1 функция непрерывна.


5. Найти точки разрыва функции f(x) и определить их тип , если



А)в точке x=2 разрыв І рода (конечный скачок);

Б)в точке x=2 разрыв І рода (устранимый разрыв);

В)в точке x=2 разрыв ІІ рода;

Г)в точке x=2 функция непрерывна.


6. Вычислить предел функции слева в точке

А) 1

Б) 0

В)

Г)


7. Вычислить предел функции справа в точке

А) 1

Б) 0

В)

Г)

8. Вычислить предел функции справа в точке

А) 1

Б) 0

В)

Г) не существует

9. Вычислить предел функции слева в точке

А) не существует

Б) 1

В) 0

Г)


10. Вычислить предел функции справа в точке

А) не существует

Б) 1

В) 0

Г)

11. Найти производную функции f(x) и вычислить ее значение в точке , если


А) 4;

Б) –1;

В) 0;

Г) 2.


12. Найти производную функции f(x) и вычислить ее значение в точке , если

А) 1;

Б) 0;

В) 7;

Г) 2.


13. Найти производную функции f(x) и вычислить ее значение в точке , если

А) ;

Б) –1;

В) 0;

Г) .

14. Найти производную функции f(x) и вычислить ее значение в точке , если


А) ;

Б) 0;

В) ;

Г) 6.


15. Найти производную функции f(x) и вычислить ее значение в точке , если

А)

Б) ;

В) -2;

Г) .


16. Найдите сумму корней уравнения , если



А) -2;

Б) 2;

В) -4;

Г) 14.


17. Найдите сумму корней уравнения , если



А)1;

Б) -1;

В)4;

Г)-4.


18. Найдите сумму корней уравнения , если


А) -4;

Б) 4;

В) 2;

Г) -1


19.. Найдите сумму корней уравнения , если



А) -3;

Б) 7;

В) -12;

Г) 12.


20. Найдите сумму корней уравнения , если



А) -6;

Б) 5;

В) 6;

Г) -5


21. Найдите число обратное значению тангенса угла наклона касательной к графику функции: в точке

А)

Б) 20;

В) 28;

Г).


22. Найдите число обратное значению тангенса угла наклона касательной к графику функции: в точке

А)

Б) -7;

В) 2;

Г) .

23. Найдите число обратное значению тангенса угла наклона касательной к графику функции: в точке



А) -2;

Б)

В) 4;

Г) .


24. Найдите число обратное значению тангенса угла наклона касательной к графику функции: в точке

А)

Б) 2;

В) -4;

Г)


25. Найдите число обратное значению тангенса угла наклона касательной к графику функции: в точке

А)

Б) 3;

В)

Г) 9.


26. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

А)

Б)

В)

Г)


27. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

А)

Б)

В)

Г)


28. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

А)

Б)

В)

Г)


29. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

А)

Б)

В)

Г)



30. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке

А)

Б)

В)

Г)


31. Вычислить предел (пользуясь правилом Лопиталя)

А) 0;

Б) 2;

В) 1;

Г) .


32. Вычислить предел (пользуясь правилом Лопиталя)

А) 17;

Б) 3;

В) 0;

Г) .


33. Вычислить предел (пользуясь правилом Лопиталя)

А) 0;

Б) 2;

В) ;

Г) .


34. Вычислить предел (пользуясь правилом Лопиталя)

А) ;


Б) 1;

В) 12;

Г) 6.


35. Вычислить предел (пользуясь правилом Лопиталя)

А) 1;

Б) ;

В) ;

Г) 0.


1

А

2

А

3

В

4

А

5

В

6

Б

7

Б

8

Б

9

В

10

Г

11

Г

12

Б


13

А

14

В

15

Г

16

А

17

В

18

Б

19

Г

20

А

21

А

22

Г

23

Б

24

А

25

В

26

Б

27

В

28

А


29

В

30

Г

31

Б

32

Г

33

Б

34

А

35

В