litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 ... 6 7


Задача 13

Плоское напряжённое состояние в точке и прочность

В некоторой точке упругого тела заданы: компоненты напряжённого состояния х , у , z , xy , yz , zx ; пределы текучести материала на растяжение и сжатие тр , тс; требуемый (нормативный) коэффициент запаса прочности [n]. Требуется:

1.Написать тензор напряжений.

2.Изобразить напряжённое состояние в виде кубика с указанием координатных осей и напряжений, приложенных к его граням.

3.Вычислить инварианты напряженного состояния J1, J2, J3 и записать характеристическое(кубическое) уравнение.

4.Решить характеристическое уравнение и определить главные напряжения 1, 2, 3 .

5.Выбрать подходящую для заданного материала гипотезу пластичности и найти эквивалентное напряжение;

6.Вычислить коэффициент запаса прочности и проверить прочность.


Второе число шифра

тр

МПа

тс

МПа


[n]

1

240

240

1,8

2

250

430

2,0


3

300

300

2,2

4

150

310

1,5




Первое число шифра

х

МПа

у

МПа

z

МПа

xy

МПа

xz

МПа

yz

МПа

1

-20

30

60

25

5

55

2

30

-25

45

20

50

-5

3

-25


40

45

15

-10

55

4

50

-20

-40

-35

15

-55

5

20

-25

35

20

40

-5

6

-35

40

35

15

-20

55

7

25

-10

75

30

55

20

8

-45

50

-15

-10

-55

40

9

15


-20

-35

-15

0

-35

10

-50

20

20

25

-25

45

11

-25

-40

-25

20

-5

-20

12

-30

35

-25

-15

-45

20

13

40

-25

-25

-20

20

-45

14

-50

40

10

10

-40

50

15


-30

-20

40

45

15

25

16

30

40

-10

-40

-10

0

17

-30

20

-60

-25

-55

-5

18

-50

25

5

15

-35

40

19

25

-30

65

35

60

5

20

5

-50

15

30

35

-20

21


20

-20

60

30

50

10

22

25

-40

25

20

45

-20

23

15

-25

-30

-10

5

-35

24

-20

10

-70

-30

-50

-20

25

20

-25

55

30

50

5

26

-25

30

55

25

0

55

27


-35

50

-5

-10

-45

40

28

-30

45

55

20

-10

65

29

-25

30

45

20

-5

50

30

20

35

-15

-35

-15

0


Пример решения

Исходные данные

Первое число шифра

х

МПа

у

МПа

z

МПа

xy

МПа

xz

МПа


yz

МПа

31

40

-10

-20

-25

15

-35




Второе число шифра

тр

МПа

тс

МПа

[n]

5

240

240

2,3

Решение

1) Тензор напряжений

МПа.

2) Изображение напряжённого состояния в точке.

Показываем элементарный параллеле-пипед (кубик) в системе координатных осей x, y, z. При изображении напряжений с помощью стрелок учитываются их знаки, данные в тензоре напряжений. Визуально невидимые напряжения на гранях не показываются, чтобы не загромождать рисунок. На рисунке относительные толщины линий должны быть следующими: оси – тонкие линии, ребра параллелепипеда – толще, стрелки напряжений – толстые.


3) Инварианты напряжённого состояния.

J1 = х + у + z = 40 – 10 -20 = 10 МПа,





Характеристическое уравнение в общем виде является кубическим

3 - J12 + J2 - J3 = 0.

Перепишем его с учётом найденных численных значений инвариантов

3 - 102 - 3075 - 0 = 0.

4)Для его решения преобразуем характеристическое уравнение к следующему виду

σ(2 - 10 - 3075) = 0.

Очевидно, что один из корней уравнения равен нулю, σ' = 0. Остальные два найдутся из квадратного уравнения

2 - 10 - 3075 = 0.

Конкретно

σ = 5 ± = 5 ± 55,68;

σ' = 5 + 55,68 = 60,58 МПа, σ'' = 5 - 55,68 = -55,58 МПа.

Вычисленные корни являются главными напряжениями. Упорядочим их обозначения так, чтобы они располагались в убывающем порядке

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Отсюда следует

σ1 = 60,58 МПа, σ2 = 0 МПа, σ3 = -55,58 МПа.

Равенство нулю одного из главных напряжений означает, что данное напряжённое состояние является плоским.

5) Эквивалентное напряжение.

Материал, применяемый в данном случае, является пластичным и имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии. Поэтому для определения эквивалентного напряжения наиболее подходящей является гипотеза пластичности Хубера-Мизеса (энергетическая теория пластичности). Вычисляем по соответствующей формуле




Для материалов с неодинаковыми пределами текучести эквивалентное напряжение вычисляется по теории Мора

экв = 1 - k3, k = σтр / σтс

6)Коэффициент запаса прочности

n = тр / экв = 240/96,57 = 2,485.

Сравнивая с нормативным коэффициентом запаса [n] = 2,3, имеем

n > [ n ].

Отсюда следует, что прочность в данной точке тела обеспечена.

Если соотношение коэффициентов запаса окажется обратным, то вывод будет противоположным – «прочность в данной точке тела не обеспечена».



следующая страница >>