litceysel.ru
добавить свой файл
1
Лекция 3. Бесконечно малые функции.



3.1. Бесконечно малые функции.


Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.


Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .


Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + (x),

где (х) – бесконечно малая при х а ((х)0 при х а).


3.2. Свойства бесконечно малых функций.


  1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

  2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

  3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.

  4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.


Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где


, тогда

f(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит



Теорема доказана.


Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

, тогда



AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит



Теорема доказана.


3.3. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.


Определение. Предел функции f(x) при ха, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенство

f(x)>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < x - a < 


Записывается .


Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим:



а если заменить на f(x)


Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:





a x a x a x

Определение. Функция называется бесконечно большой при ха, где а – чосли или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -.



Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.


Теорема. Если f(x)0 при ха (если х ) и не обращается в ноль, то




3.4. Сравнение бесконечно малых функций.


Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х  а. Будем обозначать эти функции ,  и  соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.


Определение. Если , то функция  называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .


Определение. Если , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка.


Определение. Если то функции  и  называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают 