litceysel.ru
добавить свой файл
1
Лекция № 6



Общая топология


Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т.д.

Определение 1. Последовательность точек топологического пространства называется сходящейся к точке , если любая окрестность точки содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой.

Однако в топологических пространствах понятие сходимости не играет той фундаментальной роли, которая ему принадлежит в метрических пространствах. Дело в том, что в метрическом пространстве точка есть точка прикосновения множества в том и только том случае, когда в существует последовательность, сходящаяся к (см. теорему 2, лекция № 2). В топологических пространствах, вообще говоря, это не так. Из того, что точка есть точка прикосновения для , не вытекает существования в последовательности, сходящейся к .


Пример 1. На отрезке [0,1] назовем открытыми те его подмножества (наряду с пустым множеством), которые получаются из него выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Эта система множеств есть топология. Действительно, пустое множество и весь отрезок открыты. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств есть такие же множества.

В этом пространстве сходящимися будут только стационарные последовательности, т.е. такие, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают: , . (Докажите это!). С другой стороны, если мы возьмем в качестве полусегмент (с топологией, указанной выше!), то точка 0 будет для точкой прикосновения, но никакая последовательность точек из не сходится к 0 в нашей топологии.

Однако если мы будем рассматривать не произвольные топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности, т.е. если у каждой точки существует счетная определяющая система окрестностей, то в этом случае каждая точка прикосновения произвольного множества может быть представлена как предел некоторой последовательности точек из .


Действительно, пусть – счетная определяющая система окрестностей точки . Можно считать, что (иначе мы заменили бы на ). Пусть – произвольная точка из , содержащаяся в , . Ясно, что такое существует, иначе не была бы точкой прикосновения для . Последовательность , очевидно, сходится к .

Замечание 1. Первой аксиоме счетности удовлетворяют все метрические пространства. Именно поэтому мы смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости последовательностей.


Непрерывные отображения.

Определение 2. Пусть и – два топологических пространства. Отображение пространства в пространство называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что . Отображение называется непрерывным (всюду в !), если оно непрерывно в каждой точке .


В частности, непрерывное отображение топологического пространства в числовую прямую называется непрерывной функцией.

Данное нами определение непрерывности отображений носит «локальный» характер, т.е. непрерывность отображения на всем пространстве определяется через непрерывность в каждой точке. Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологии этих пространств.

Теорема 1. Для того чтобы отображение топологического пространства в топологическое пространство было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого открытого множества был открыт в .

Необходимость. Пусть отображение непрерывно всюду в в смысле определения 2 и пусть – открытое множество в . Докажем, что множество открыто в . Пусть – произвольная точка множества и . Тогда служит окрестностью точки , так как и открыто. По определению непрерывности найдется окрестность точки такая, что , т.е. . Иначе говоря, для любой точки существует окрестность этой точки, содержащаяся в . Но это и означает, что открыто. Необходимость доказана.


Достаточность. Пусть прообраз любого открытого множества из открыт в . Докажем, что тогда отображение непрерывно в смысле определения 2. Рассмотрим произвольную точку . Пусть и – произвольная окрестность точки . Тогда прообраз открытого множества открыт в и . Таким образом, и для каждой окрестности точки мы указали окрестность точки такую, что ее образ лежит в окрестности точки . Теорема доказана.

Утверждение 1. Пусть имеется отображение (произвольных множеств!)

,

и пусть – произвольное подмножество множества , т.е. . Тогда справедливо равенство


.

Доказательство. Пусть . Имеем следующую цепочку эквивалентных утверждений:

Таким образом, и , откуда и следует, что . Утверждение доказано.

Как следствие, получаем теорему, двойственную теореме 1.

Теорема 1’. Для того чтобы отображение топологического пространства в топологическое пространство было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого замкнутого множества из был замкнут (в ).

Для непрерывных отображений справедлива теорема, аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности сложной функции.

Теорема 2. Пусть , и топологические пространства, и пусть

и


есть непрерывные отображения соответственно в и в . Тогда отображение

, т.е.

есть непрерывное отображение пространства в пространство .

Доказательство этой теоремы очевидно в силу теоремы 1.

Гомеоморфизм. Два топологических пространства и называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства на всё пространство : .

Гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологическими свойствами и с топологической точки зрения их можно рассматривать просто как два экземпляра одного и того же пространства. Топологии в двух гомеоморфных пространствах служат образами и прообразами друг друга.

Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому совокупность всех топологических пространств распадается на классы (непересекающиеся!) гомеоморфных между собой пространств.


Замечание 2. Пусть и – произвольные множества, и есть отображение в . Если в множестве задана некоторая топология (т.е. система множеств, содержащая пустое множество и всё и замкнутая относительно взятия любых объединений и конечных пересечений), то прообраз топологии (т.е. совокупность всех множеств вида , где ) будет топологией в .

Для доказательства достаточно вспомнить теоремы о прообразе объединения и пересечения множеств. Обозначим эту топологию через .

Замечание 3. Метрические свойства двух гомеоморфных между собой метрических пространств могут быть различны; так одно из них может быть полно, а другое – нет. Например, интервал гомеоморфен числовой прямой: соответствующий гомеоморфизм можно задать функцией . Но при этом прямая – это полное пространство, а интервал – нет.


Замечание 4. Метрика пространства однозначно определяет его топологию, но не наоборот: одну и ту же топологию в можно получить, задавая в различные метрики.


Аксиомы отделимости. Хотя многие понятия теории метрических пространств легко переносятся на произвольные топологические пространства, все же топологические пространства есть объект слишком общий с точки зрения задач анализа. Здесь возникают ситуации, существенно отличающиеся от того, что может иметь место в метрических пространствах.

Пример 2. Связное двоеточие. Пусть состоит из двух точек и , причем открытыми, т.е. топологией , считаем множества . В этом пространстве замкнуты следующие множества: , и . Замыкание одноточечного множества есть всё . Мы видим также: конечное множество точек (даже одна точка ) в топологическом пространстве может быть не замкнутым.


Среди топологических пространств можно выделить пространства более близкие по своим свойствам к метрическим пространствам. Для этого к аксиомам и топологии надо присоединить дополнительные условия.

Такими дополнительными условиями были, например, аксиомы счетности.

Первая аксиома счетности. Говорят, что точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей , если для любого открытого множества , содержащего точку , найдется некоторая окрестность из такая, что . Если это верно для каждой точки пространства , то оно называется пространством с первой аксиомой счетности.

Вторая аксиома счетности. Совокупность открытых множеств называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединения (конечного или бесконечного) числа множеств из . Пространства, обладающие хотя бы одной счетной базой , называются пространствами со второй аксиомой счетности.


Аксиомы счетности позволяют изучать топологию пространства на основе понятия сходимости.


Другой важный тип дополнительных условий составляют требования иной природы – так называемые аксиомы отделимости.

Первая аксиома отделимости (аксиома ). Для любых двух различных точек и топологического пространства существуют окрестности точки , не содержащая точку , и окрестность точки , не содержащая точку .

В таких пространствах любая точка есть замкнутое множество. Действительно, если , то существует окрестность точки , не содержащая , т.е. . Поэтому . Следовательно, в – пространстве замкнуто любое множество, состоящее из конечного числа точек.


Примером топологического пространства, не удовлетворяющего первой аксиоме отделимости, является связное двоеточие.

Утверждение 2. Если в топологическом пространстве замкнуты все множества, состоящие из конечного числа точек, то в нем выполнена первая аксиома отделимости.

Доказательство. Пусть , . Тогда точка имеет окрестность , не содержащую , и точка имеет окрестность , не содержащую . Утверждение доказано.

Как обычно, точка называется предельной точкой множества , если для любой окрестности точки пересечение не пусто. В пространствах, не удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, предельные точки могут быть даже у множеств, состоящих только из конечного числа точек.

Пример 3. Пусть – связное двоеточие с топологией, состоящей из множеств . Тогда точка является предельной для множества . Действительно, любая окрестность точки в этой топологии есть множество . Тогда , т.е. точка есть предельная точка множества .


В пространствах с первой аксиомой отделимости такого не может быть.

Утверждение 3. Для того чтобы точка была предельной для множества в топологическом пространстве с первой аксиомой отделимости, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность этой точки содержала бесконечно много точек из .

Доказательство. Достаточность этого условия очевидна. Действительно, если любая окрестность точки содержит бесконечное число точек из , то множество не пусто. Установим его необходимость. Пусть – предельная для . Предположим, что существует такая окрестность, которая содержит только конечное число точек из множества . Пусть – все эти точки, кроме самой (если она принадлежит ). Тогда является окрестностью точки ( открытое множество и ), а это противоречит тому, что – предельная точка для .


Всякое метрическое пространство заведомо удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Поэтому за определение предельной точки множества в метрическом пространстве можно принять свойство, указанное в утверждении 3.

Усилением первой аксиомы отделимости является

Вторая аксиома отделимости (аксиома ). Любые две различные точки и топологического пространства имеют непересекающиеся окрестности и . Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются хаусдорфовыми топологическими пространствами.

Всякое хаусдорфово пространство автоматически удовлетворяет первой аксиоме отделимости, но не наоборот.

Пример 4. Также как и в примере 1, рассмотрим отрезок и будем считать в нем открытыми пустое множество и все множества, получающиеся из отрезка выбрасыванием не более счетного числа точек. Полученная таким образом топология удовлетворяет первой аксиоме отделимости, но не удовлетворяет второй.

Докажем эти утверждения. Пусть и – две различные точки отрезка . Тогда окрестность точки не содержит точки , и окрестность точки не содержит точки . Первая аксиома отделимости выполнена. Но для этих точек нельзя указать окрестности и такие, что , т.к. они (окрестности!) должны получаться из отрезка выбрасыванием не более счетного множества точек, а отрезок имеет мощность континуума.


Третья аксиома отделимости (аксиома ). Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

При этом окрестностью множества в топологическом пространстве называют всякое открытое множество такое, что .

Задача 1. Докажите, что в топологическом пространстве аксиома выполнена если и только если любая окрестность произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в вместе со своим замыканием.

Как мы уже видели, в произвольном топологическом пространстве точка может быть не замкнутым множеством. Но в пространствах с первой аксиомой отделимости точка – всегда замкнутое множество. Поэтому аксиома интересна только для пространств с аксиомой . Топологические пространства, удовлетворяющие обеим аксиомам и , называются регулярными. Всякое регулярное пространство, очевидно, хаусдорфово.


Пример 5. Рассмотрим отрезок [0,1], в котором окрестности всех точек, кроме точки , определяются обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы [0,), из которого выкинуты точки вида , . Получается хаусдорфово пространство, в котором точка и последовательность – непересекающиеся замкнутые множества, но они неотделимы друг от друга непересекающимися окрестностями. Докажите это.

Четвертая аксиома отделимости (аксиома ). – пространство называется нормальным, если в нем всякие два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.

Утверждение 4. Любое метрическое пространство нормально.

Доказательство. Не вызывает сомнения тот факт, что в метрическом пространстве выполнена аксиома . Пусть теперь и – два непересекающихся замкнутых множества в метрическом пространстве . Каждая точка имеет окрестность , непересекающуюся с и, следовательно, находится от на некотором положительном расстоянии . Аналогично, расстояние каждой точки от есть положительная величина . Рассмотрим открытые множества


и ,

содержащие и соответственно, и покажем, что их пересечение пусто. Допустим, что . Тогда в существует такая точка , что , а в – такая точка , что . Пусть для определенности . Тогда

,

т.е. , но это противоречит определению . Утверждение доказано.

Всякое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством и поэтому всегда обладает свойством нормальности. В топологических пространствах это, вообще говоря, не так: подпространство нормального пространства не обязано быть нормальным. Но мы не будем углубляться в эту тему.

Различные способы задания топологии. Прямой способ задать топологию в пространстве – это указать те множества, которые мы считаем открытыми (например, связное двоеточие). Набор этих множеств должен удовлетворять аксиомам и топологии. Равносильный этому двойственный способ – указать набор замкнутых множеств, удовлетворяющий требованиям и . Однако эти способы редко могут быть применены. Так, например, даже на плоскости вряд ли можно дать непосредственное описание всех открытых множеств, как это удалось сделать на прямой (см. лекцию № 3, теорема 3).


Распространенный способ задания топологии состоит в выборе некоторой базы. Фактически именно так и вводится топология в метрических пространствах, где мы, опираясь на метрику, задаем базу – совокупность открытых шаров.

Еще один способ задать топологию в пространстве – это ввести в нем понятие сходимости. Однако за пределами метрических пространств это неприемлемо, поскольку не всегда переход от множества к его замыканию можно описать в терминах сходящихся последовательностей, как мы это видели в начале этой лекции.

Можно ввести в пространстве топологию, определив в нем аксиоматически операцию замыкания. Именно, говорят, что в множестве задана операция замыкания, если каждому множеству поставлено в соответствие некоторое множество , называемое замыканием , причем операция перехода от к обладает свойствами 1) – 4) теоремы 2, лекция № 5. Определив затем замкнутые множества как те, для которых , можно показать, что этот класс множеств удовлетворяет условиям и , т.е. действительно определяет в топологию.

Задание метрики – один из важнейших способов введения топологии, хотя и не универсальный.


Компактность в топологических пространствах. Фундаментальная роль в анализе принадлежит следующему факту, известному как лемма Гейне-Бореля:

Из любого покрытия отрезка числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Это утверждение останется справедливым, если вместо интервалов (т.е. открытых множеств вида ) рассматривать любые открытые множества: из любого открытого покрытия отрезка числовой прямой можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 3. Топологическое пространство называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компактом.

Определение 4. Назовем некоторую систему подмножеств множества центрированной, если любое конечное пересечение членов этой системы не пусто.

Из сформулированного определения компактности и соотношений двойственности вытекает следующая

Теорема 3. Для того чтобы топологическое пространство было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условию:

Каждая центрированная система его замкнутых множеств имеет непустое пересечение.


Пояснение. Пусть – центрированная система замкнутых подмножеств топологического пространства . По определению это означает, что любая конечная подсистема системы имеет непустое пересечение: . Условие означает, что тогда и . Теперь приступим к доказательству теоремы 3.

Доказательство. Необходимость. Нам надо доказать, что если – компактное топологическое пространство, то в нем выполнено условие . Действительно, пусть – центрированная система замкнутых подмножеств из . Множества открыты. Утверждается, что никакая конечная подсистема из системы не образует покрытия . Действительно, для любой конечной подсистемы имеем:


,

и так как центрирована, то . Поэтому не образует покрытия . Но тогда и не образует покрытия пространства , так как иначе по определению компактности мы могли бы из этого открытого покрытия выделить конечное подпокрытие. Но тогда , т.е. условие выполнено.

Достаточность. Пусть в топологическом пространстве выполнено условие и пусть – открытое покрытие пространства . Положим . Тогда , так как (!). Отсюда делаем заключение, что – не центрирована, так как по условию тогда было бы . Тогда существуют такие , что . Но тогда соответствующие образуют конечное подпокрытие покрытия , т.е. мы показали, что если в топологическом пространстве выполнено условие , то из произвольного покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие, а это значит, что условие равносильно компактности пространства . Теорема доказана.


Теорема 4. Если – компактное топологическое пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Если некоторое множество не имеет ни одной предельной точки, то любое его подмножество также не имеет ни одной предельной точки, так как в противном случае предельная точка множества была бы предельной и для .

Тогда, если топологическое пространство содержит бесконечное множество , не имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное множество , также не имеющее ни одной предельной точки. Множества , во-первых, замкнуты, так как не имеют ни одной предельной точки, во-вторых, образуют центрированную систему. Но их пересечение пусто, т.е. не компактно. Противоречие доказывает теорему.

Теорема 5. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Доказательство. Пусть – замкнутое подмножество компактного пространства , и – произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпространства . Тогда каждое замкнуто и в , т.е. – центрированная система замкнутых множеств и в . Следовательно . В силу теоремы 4 отсюда следует компактность . Теорема доказана.

Так как подпространство хаусдорфова пространства само хаусдорфово, то справедливо

Следствие 1. Замкнутое подмножество компакта есть компакт.

Теорема 6. Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве.

Доказательство. Пусть – компактное множество в хаусдорфовом пространстве , и пусть . Тогда для любой точки существуют окрестность точки и окрестность точки такие, что . Окрестности образуют открытое покрытие множества . В силу компактности из него можно выделить конечное подпокрытие . Положим . Здесь – окрестность нашей точки , соответствующая точке . Тогда не пересекается с . Отсюда следует замкнутость . Теорема доказана.


Теоремы 5 и 6 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство пространства, т.е. всякий компакт остается компактом, в какое бы более широкое хаусдорфово пространство мы его не включали.

Теорема 7. Всякий компакт представляет собой нормальное пространство.

Доказательство. Пусть и – два непересекающихся замкнутых подмножества компакта . Повторив рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 6, легко убедиться в том, что существует такая окрестность точки и такое открытое множество , что . Тем самым доказано, что компакт регулярен.

Пусть теперь пробегает множество . Выберем из покрытия множества конечное подпокрытие . Тогда открытые множества

и


будут удовлетворять условиям

, и ,

что означает нормальность. Теорема доказана.