litceysel.ru
добавить свой файл
1
Лекция 7 27.03.09


Групповая скорость

Непосредственный физический, смысл имеет квадрат пси функции которая определяет вероятность нахождения частицы в какой-то области пространства. Сама псифункция описывает состояние системы, но не является физически измеряемой величиной. Возникает вопрос почему квантовые механики имеет дело с волновыми функциями , а не с измеряемой величиной квадрат модуля пси функции. Во первых зная пси функции можно определить вероятность нахождения частицы. Во вторых это необходимо для обоснования или описания волновых свойств микрочастицы. В любой волновой теории существует принцип суперпозиции полей, но не интенсивности. В квантовой механике также существует принцип суперпозиции волновых функции или принцип суперпозиции состояний. Заключается в следующем: если система находясь в каком-то состоянии описывается пси1, находясь в другом состоянии описывается пси2, то пси функции равная линейной комбинации пси1 и пси2, с некоторыми постоянными коэффициентами также описывает некоторые состояние системы . Рассмотрим некоторую физическую величину f. В классической механике все физические величины принимают какие-то значения то есть непрерывны, обладают спектром, в квантовой механике некоторые физические величины тоже имеют непрерывный спектр(координата) но в квантовой механике некоторые физические величины могут принимать определённые дискретные значения. Пусть наша физическая величина имеет дискретный спектр т.е f1,f2,f3,….,fn. Те значения который принимает данная физическая величина называется собственные значения физической величины f. Обозначим пси n – волновую функцию которую описывает состояния находясь в котором физическая в и принимает одно собственное значение, такие функции называются собственными функции это физической величины. Пусть f Имеет два собственных значения f1 и f2 , если система находится в состоянии описываемой собственной функции пси1, то при измерении физической величины f мы всегда получим одно единственное значение f1. пси1->f1. Если система находится в состоянии пси2, то при изменение величины f мы всегда получим f2. Согласно принципу суперпозиции волновая функция также описывает состояние системы. Но находясь в этом состоянии физическая величина f не принимает строго определённого значении. При измерении f мы с некоторой вероятность мы можем получить либо f1 либо f2. Вероятность того что мы получим при измерении получится f1 = . Вероятность того что мы получим при измерении получится f2 = . Волновою функции согласно принципу суперпозиции описывающую некоторое состоянии системы можем описать т.е можем разложиться в ряд…..




Если мы находимся в состоянии псин то fn определяется . Поскольку суммы вероятностей состояний равно 1 то для Cn выполняется сл соотношение . Все функции считаем нормированные. Если определят некотором спектром то сожжем разложить Принцип суперпозиции состояний в квантовой механике сильно отличается от принципа суперпозиции в классической механике. В классической механике при сложении двух волн получается новое значении т.е новая волна. В квантовой механике принцип суперпозиции означает, что сумма собственных функции данной физической величины определяет некоторое новое состояние, но в этом новом состоянии физическая величина f не принимает какого-то нового значения а имеет одно из значений из набора собственных значений данной физической величины, то нельзя скачать что новая f=f1+f2. Если То среднее значение физической величины в данном состоянии т.е описываемая волновой функции пси определяется как сумма произведений fn на вероятность появления этого fn .


Общее уравнение Шредингера

Сама пси функция физического смысла не имеет, хотя полностью описывает состояние системы. Зная пси функцию мы можем найти вероятность нахождения частицы в какой-то области пространства и мы можем найти среднее значение физической величиной в данной области пространства Поэтому основной задачей квантовой механике является определение вида пси функции и явление физических следствий которые могут проявиться в различных явления. Хейзенгер впервые сформулировал требование которое должно удовлетворять требованиям из которого мы можем определить пси функцию для данной задачи.


1)Уравнение должно быть описано для волновой функции и должно быть волновым и для того чтобы обосновывать волновые свойства микрочастицы.

2)в уравнение должны входить мировые константы, могут входить массы частицы без численной конкретизации

3)сумма решений этого уравнения также является решением этого уравнения поскольку должен выполняться принцип суперпозиции волновых функций.

4)Силовые поля могут входить в это уравнение но без конкретизации.

5)уравнение должно быть однородным или линейным по пси функции чтобы обеспечить

Шредингер написал.



Это уравнение нельзя вывести но к нему можно прийти.

Рассмотрим частицу движущийся по оси х. Этой частицей мы можем соспоставить плоскую волну Де Бройля



Первое уравнение записано для определённого значения энергии, Вторая для определённого значение импульса.



Соотношение вектором и импульсов возьмем из классической механике



Уравнение Шредингера в неявном виде отражает корпускулярно волновой дуализм. С другом уравнение записано волновым и является волновой функцией но микрочастица не локализована в пространстве т.е как бы размазана в пространстве. Казалось бы этот факт мы должны учитывать в силовой функцией U(x,y,z), и зависит уже от состоянии частицы но это в уравнении этого не делается, а силовая функция записывается как для классической частице. Для того что бы уравнение Шредингере имела решение волновая функция должна удовлетворять условиям

1) волновая функция должна быть линейна относительна всех решений уравнений Шредингера, т.е волновые функции пси1, пси2,…псиn – является решением уравнения Шредингера. То пси=сумма Сn Псиn тоже решение


2) dПси/dt

3) Сама функции и все её производные dпси по dх,dy,dz,

4) квадрат модуля пси функции должна быть интегрированная функция т.е должно выполнять условие нормировки. Т.е зная U(x,y,z,t) , начальные условия – пси(0), граничные условия потенциальная поля, то мы можем найти уравнение Шредингере и найти пси функцию. А зная пси функцию мы можем определить вероятность нахождения частицы в какой-то области пространства и среднее значение физической величины в какой-то области пространства


Уравнение Шредингера для стационарного состояние

Стационарное состояние это состояние которого когда все физические величины не зависят от времени, т.е принимают определённые значения. Сама пси функция не являясь физически измеряемой величиной зависит от времени. Если волновую функцию в стационарном состоянии представить



представим T(t)



Равенство этих функции может быть только тогда когда левая и правая часть равна одной и той же константе. Обозначим за е.



Покажем что пси без ушек не зависит от времени



Уравнение Шредингере получается из


В квантовой механике имеет смысл говорить о полной энергии система поскольку соотношение Гейзенберга невозможно определить одновременно точно координату и импульс. Кинетическая энергия определяется импульсом. Потенциальная координатой. Значит одновременно точно невозможно говорить от потенциальной и кинетической энергии. Решаем уравнение Шредингера получаем



Математический аппарат квантовой механики

Операторы

Если задано множество фи функцией множества фи зависящей от q и есть множество F функцией f(q) то оператор ^L ставит каждую функцию из множества Ф в функцию f из F.

Оператор называется линейным если выполняются следующие условия. 1)Оператор L действует



Представление физических величин с помощью операторов

Согласно принципу суперпозиции любую волновую функцию какого-то состояния можно представить или можно разложить по собственным функциям данной физической величины. - вероятность появления собственного значения fn . Средние значение физической величины в данном состоянии определяется как . Представим значение физической величины не через коэффициенты, а через саму пси функцию. Для этого заметим что коэффициенты Cn являются коэффициентами пси функции должно быть билинейным. Каждой физической величине можно сопоставить некоторый математический оператор который определяется через среднее значение физической величины .