litceysel.ru
добавить свой файл
1
Министерство образования и науки

Отдел образования МО и Н РТ

в г. Зеленодольске


Авторская образовательная программа


«Способы доказательства неравенств»

9 класс


Автор: Валиева Сария Зиннатулловна

предмет: математика

квалификация: 1 категория

звание: учитель-методист

Государственное общеобразовательное учреждение гимназия №5

г. Зеленодольск

2005г.


Пояснительная записка.


Данный курс «Способы доказательства неравенств» рассчитан на 14 часов для учащихся 9-х классов.

С неравенствами связано два взаимо-дополняющих направления:


  1. Доказательство неравенств

  2. Решение неравенств

Как показывает практика, при доказательстве неравенств учащиеся испытывают серьезные затруднения, которые обусловлены как объективными, так и субъективными причинами. Субъективные причины заключаются в том, что большинству учащихся с трудом удается:

  1. понимание связей, существующих между условием и заключением

  2. осмысление самого процесса доказательства неравенств.

Объективные причины указанных затруднений состоят в том, что данному вопросу школьной программой неоправданно уделяется очень мало внимания. А задачи на доказательство неравенств очень часто встречаются в олимпиадных задачах по математике и на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Доказать неравенство, содержащее переменную – это значит установить, что при указанных значениях переменной данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Общего приема доказательства неравенства не существует. Можно выделить некоторые методы доказательства неравенств.

Цель данного курса – раскрыть перед учащимися теоретическую и практическую значимость вопроса – доказательство неравенств, показать красоту способов доказательства, тем самым побудить у учащихся большой интерес к предмету «математика».


Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся.

Формы организации занятий – лекция, семинар, практикум, выступления с докладами.

Фронтальная, индивидуальная и групповая форма деятельности учащихся.

Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений доказательства неравенств. Поэтому в конце курса предполагается проводить зачет в письменной форме. Для получения «зачета» достаточно из предложенных 10 заданий выполнить любые 4 или 5.


Требования к математической подготовке учащихся.


В результате изучения данного курса учащиеся должны усвоить основные методы доказательства неравенств, уметь их доказывать.


Основное содержание курса.

Введение.

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения.


Средние величины и неравенство Коши.

Числовые неравенства и их свойства

Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел.


Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше», «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел. Числовые неравенства.

Простейшие свойства числовых неравенств.

Основные методы доказательства неравенств.

По определению неравенства (оценка знака разности), использование неравенства Коши, метод от противного, использование скалярного произведения векторов, использование свойств квадратичной функции. Примеры.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств.

Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция. Метод математической индукции. Примеры на доказательство.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов.

Доказательство сложных неравенств с использованием композиции ранее рассмотренных свойств. Различные неравенства и способы их решения. Примеры.


Применение доказательства неравенств при решении прикладных задач.

Задачи на нахождение наибольшего по площади участка, наименьшего расстояния, наименьшего и наибольшего значения выражения.




Тематическое планирование

учебного материала.







занятий

Содержание материала

Количество часов

1

Числовые неравенства и их свойства.

1




Основные методы доказательства неравенств.

7

2

По определению (оценка знака разности). Примеры.

1

3-4

Использование неравенства Коши. Примеры.

2

5-6

Использование свойства квадратичной функции. Примеры.

2

7-8

Метод от противного. Использование скалярного произведения векторов. Примеры


2

9-10

Метод математической индукции.

2

11-12

Доказательство сложных неравенств. Неравенства различных типов.

2

13

Применение доказательства неравенств при решении прикладных задач.

1

14

Обобщение темы

1



Литература:



  • Чистяков Н., Неравенства Коши о средних арифметическом и геометрическом. Газета «Математика». №7, 2000 год, с.21-24.

  • М.Л.Галицкий. Сборник задач по алгебре.

  • Сборник задач для поступающих в ВУЗы. Под редакцией М.И.Сканави. М.: «Высшая школа». 1998г.

  • Ф.Х.Таймасов. Подготовка к математическим олимпиадам. Часть I. Г. Набережные Челны. 1997 год. Стр. 43-64.

  • 500 способов и методов решения задач по математике. А.Р.Рязановский. Для школьников и поступающих в вузы. Дрофа. М.: 2001г.

  • Г.Дорофеев, М.Потапов, Н.Розов. Математика для поступающих в вузы. Дрофа.2002.

  • Компьютерная программа. Алгебра. Составители: Станченко С.В., Высоцкий И.Р., Шестаков С.А.. КОРДИС МЕДИА, 2000-2001. КУДИЦ, 2000-2001г



Анкета участника конкурса



  1. Ф.И.О: Валиева Сария Зиннатулловна
  2. Паспортные данные: серия 92 03 651977. Выдан УВД гор. Зеленодольска и Зленодольского района РТ 23.05.2002.


  3. Данные ИНН и страхового свидетельства

ИНН – 164801816800 , страховое свидетельство № 051-274-990-54.

  1. Год рождения: 4.04.1957.

  2. Образование: высшее

  3. Должность: учитель математики

  4. Категория: 1

  5. Почетные звания, награды: Грамота Министерства образования РТ

  6. Наименование представляемого материала (с указанием категории, для которой он предназначен): авторская образовательная программа элективных курсов «Способы доказательства неравенств» для учащихся 9-х классов

  7. Аннотация к представленному материалу: данный курс рассчитан на 14 часов, целью которого является раскрытие перед учащимися теоретическую и практическую значимость вопроса – доказательство неравенств, показать красоту способов доказательства, тем самым побудить у учащихся большой интерес к предмету «математика».

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся.

  1. Место прописки и работы: г. Зеленодольск, ул. Королева, д 24 кв.10.

государственное учреждение гимназия №5

г.Зеленодольска

Дата: 21.03.05 подпись автора:


9 – 10 занятие


Метод математической индукции.

Цель занятия: дать понятие метода математической индукции, объяснить ее принцип, показать применение при доказательстве неравенств.

Форма организации занятий: лекция, практикум.


Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция.


Все утверждения можно разделить на общие и частные. Примерами общих утверждений являются утверждения:

  1. в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны;
  2. все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2 и т.д.


Частными являются, например, утверждения:

  1. в треугольнике АВС сумма двух сторон АВ и ВС больше третьей стороны АС.

  2. Число 136 делится на 2.

Переход от общих утверждений к частным называется дедукцией. Дедукция очень часто используется в математике. Все общие теоремы мы доказываем именно для того, чтобы затем использовать их для решения различных частных задач.

Но наряду с этим в математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим.

Переход от частных утверждений к общим называется индукцией.

В отличие от дедукции индукция может привести как к верным, так и к неверным результатам. Например, рассматривая значения квадратного трехчлена f(n) = n2 + n + 41 при малых натуральных значениях n, можно заметить, что эти значения выражаются простыми числами.

Действительно,

f(1) = 43, f(2) = 47, f(3) = 53, f(4) = 61, и т.д.

Напрашивается вывод, что при любом натуральном n значение выражения n2 + n + 41 является простым числом. Однако, вывод этот является неверным. Например, при n = 41

n2 + n + 41 = 412 + 41+ 41 = 41(41+1+1) = 41 ∙ 43.

Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких частных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции.

В основе метода математической индукции лежит следующий принцип.

Некоторое утверждение верно при любом натуральном n, если:

  1. оно верно при n = 1

и
  1. из справедливости этого утверждения при каком-либо произвольном значении n = k (k1) следует, что оно верно и при n = k + 1.


Метод доказательства, основанный на использовании этого принципа, называется методом математической индукции.

Пример 1. Найти сумму

1 1 1 1

Sn = ----- + ------ + ----- + … + ----------

1∙2 2∙3 3∙4 n(n + 1)

Сначала найдем суммы одного, двух, трех и четырех слагаемых. Имеем:

1 1

S1 = ------ = -----;

1∙2 2

1 1 1 1 2

S2 = ----- + ------ = ----- + ----- = ---- ;

1∙2 2∙3 2 6 3

1 1 1 2 1 3

S3 = ----- + ------ + ----- = ---- + ------ = -----;

1∙2 2∙3 3∙4 3 12 4


1 1 1 1 3 1 4

S4= ----- + ------ + ----- + ---- = ---- + ----- = ---- .

1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 4 20 5

В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе – число, на единицу большее числа слагаемых. Это позволяет высказать гипотезу (предположение), что при любом натуральном n

n

Sn = -------

n + 1

Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической индукции.


1) при n = 1 гипотеза верна, так как

1 1

S1 = ----- = ----;

1∙2 2

  1. предположим, что гипотеза верна при n = k, то есть


1 1 1 1 k

Sk = ----- + ------ + ----- + … + ---------- = --------- .

1∙2 2∙3 3∙4 k(k + 1) k + 1

Докажем, что тогда гипотеза должна быть верной и при n = k + 1, то есть


1 1 1 1 1 k + 1

Sk+1 = ----- + ------ + ----- + …+ ---------- + ------------------ = -------- .

1∙2 2∙3 3∙4 k(k + 1) (k + 1)( k + 2) k + 2

Действительно,

1

Sk = Sk + ----------------- .

(k + 1)( k + 2)

Но по предположению


k

Sk = ------ . Поэтому

k + 1

k 1 k2 + 2k + 1 (k + 1)2 k + 1

Sk+1 = -------- + ------------------- = ------------------- = ------------------- = ----------

k + 1 (k + 1)( k + 2) (k + 1)( k + 2) (k + 1)( k + 2) k + 2

Таким образом, исходя из предположения, что гипотеза

n

Sn = ------- верна при n = k, мы доказали, что она верна и при n = k + 1. Поэтому формула

n + 1


1 1 1 1

Sn = ----- + ------ + ----- + … + ---------- верна при любом натуральном n.

1∙2 2∙3 3∙4 n(n + 1)


(Задачи из сборника по алгебре, Галицкий.)

Методом математической индукции докажите, что при nN:


    1. 5n + 2 ∙ 3n + 5 кратно 8.

Доказательство: Пусть аk = 5n + 2 ∙ 3n + 5. Имеем а1 = 16 кратно 8. Пусть аk кратно 8. Тогда аk+1 = 5(5k + 2 ∙ 3k + 5) - 4 ∙ 3k - 20 = 5аk - 4(3k + 5) кратно 8, т.к. аk делится на 8 по предположению индукции, а 3k + 5 кратно 2, как сумма двух нечетных чисел.

12.64. 5n - 3n + кратно 4.

Доказательство: Пусть аk = 5k - 3k + 2k.

кратно 4. Пусть аk кратно 4. Тогда аk+1 = 5k +1 - 3k+1 + 2(k+1) = 5(5k - 3k + 2k) + 2 ∙ 3k - 8 k +2 = 5(5k - 3k + 2k) + 2 ∙(3k +1) + 8 k. аk делится на 4, 3k +1 кратно 2. Значит аk+1 делится на 4.


12.66. 4n - 3n - 7 кратно 84, если n – четное.

Доказательство:

При n = 2k имеем а2k = 42k - 32k – 7. При k = 1 а2 = 16 – 9 – 7 = 0, а2 кратно 84. Пусть а2k =делится на 84. Имеем: а2k+2 = 42k+2 - 32k+2 – 7 = 16(42k - 32k – 7) + 7 ∙ 32k + 7 ∙ 15 = 16 а2k + + 7(32k + 15) = 16 а2k + 21(32k-1 + 5). Докажем, что 32k-1 + 5 делится на 4. Имеем, 32k-1 + 5 = (32k-1 + 1) + 4. Но 32k-1 + 1 делится на 4, т.к. 32k-1 - нечетное.

Докажите неравенство:

12.68. 4n > 7n – 5, если nN.

Доказательство:

Пусть аk = 4k - 7k + 5. аk > 0. а1 = 4 – 7 + 5 = 2 > 0.

аk+1 = 4k +1 - 7(k+1) + 5 = 4k +1 – 7k – 2 = (4k - 7k + 5) + 3 ∙ 4k - 7 = аk + 3 ∙ 4k - 7. Второе слагаемое 3 ∙ 4k - 7 > 0 при любом kN. Следовательно, из аk > 0 следует, что аk+1 > 0. Исходное неравенство доказано.

12.70. 3n-1 > 2n2 – n, если nN, n  5.

Доказательство:

а5 = 34 – 2 ∙ 25 + 5 = 81 – 45 = 36 > 0. Пусть аk = 3k-1 - 2k2 + k . аk > 0. аk+1 = 3k - 2(k + 1)2 +


+ (k + 1) = 3k - 2k2 - 3k – 1 = 3(3k-1 - 2k2 + k) + 4k2 - 6k + 1 = 3 ∙ аk + (4k2 - 6k + 1);

аk > 0, 4k2 - 6k + 1> 0. Исходное неравенство доказано.

12.72. 4n  n2 + 3n , если nN.

Доказательство:

Пусть аk = 4k - k2 – 3k, а1 = 4 – 3 –1 = 0. а1  0. Пусть аk  0. аk+1 = 4k+1 - (k + 1)2 – 3k+1 = 4 ∙ 4k - - k2 – 3 ∙ 3k – 2 k – 1 = 4 ∙(4k - k2 – 3k) + 3k + 3k2 – 2 k – 1 = 4 аk + 3k + 3k2 – 2 k – 1 > 0, т.к. 3k > 0, 3k2 – 2 k – 1  0 при любом kN.


Пример 1: Доказать, что при любом натуральном n, n2 справедливо неравенство:


1 1 1 13

------ + ------- + … + ---- > ---- (*)

n + 1 n + 2 2 n 24

Доказательство: Обозначим левую часть неравенства (*) через Sn .


  1. Пусть n=2.

Тогда S2 = 1/3 + ¼ = 7/12 >13/24, следовательно, при n=2 неравенство (*) выполняется.

  1. Предположим, что неравенство (*) верно при n= k, т.е. Sk >13/24.

Из условия (*) следует, что

1 1 1

Sk = ------ + ------- + … + ----,

k + 1 k + 2 k

1 1 1 1 1

Sk+1 = ------ + ------- + … + ---- + -------- + ---------

k + 2 k + 3 2k 2k + 1 /2k + 2


Сравнивая между собой Sk и Sk+1 , получаем

1 1 1 1

Sk - Sk+1 = ------- + -------- - ------- = --------------------.

2k + 1 2k + 2 k + 1 2(k + 1)( 2k + 1)

Очевидно, что при любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому Sk > Sk+1 , Sk >13/24. Следовательно, Sk+1 >13/24. Таким образом, неравенство (*) доказано.

Пример 2. Доказать, что для любых натуральных n, n  2

1 1 1 1

----- + ----- + … + ---- < 2 - ---

12 22 n2 n

Доказательство:

1) n = 2,

1 1 1

----- + ----- < 2 - --- верно.

12 22 2

2) Пусть верно при n = k, т.е.

1 1 1 1

----- + ----- + … + ---- < 2 - --- (*)

12 22 k2 k

3) Докажем его справедливость при n = k + 1, т.е.

1 1 1 1 1

----- + ----- + … + ---- + -------- < 2 - ------ (**)

12 22 k2 (k + 1)2 k + 1

Пусть

1 1 1

А = ----- + ----- + … + ---- ,

12 22 k2

1 1 1 1

В = ----- + ----- + … + ---- + -------- ,

12 22 k2 (k + 1)2

1 1 1 1

Тогда В = А + ------- < 2 - ---- + -------- . т.к. А < 2 - ---- .

(k + 1)2 k (k +1)2 k

1

Отсюда следует, что неравенство В < 2 - ------ будет заведомо справедливым, если мы

k + 1

1 1 1

докажем, что - ----- + ------- < - ------

k (k + 1)2 k + 1


Доказательство:

1 1 1 1

- ----- + ------- + ------ = - ---------- < 0

k (k + 1)2 k + 1 k(k + 1)2

Итак, из справедливости неравенства (*) вытекает справедливость неравенства (**), значит и доказываемого.

Пример 3. n  3, n N. Докажите, что

1 1 1 3

-------- + -------- + … + ------ > ---- .

n + 1 n + 2 2n 5

Рассмотрим две последовательности (аn) и (bn) причем,

1 1 1 3

аn = -------- + -------- + … + ------ , bn = ---- .

n + 1 n + 2 2n 5

1 1 1 37 3

а3 = ------- + -------- + -------- = ----- > ---- , т.е. а3 > b3 и bk+1 - bk = 0.

3 + 1 3 + 2 2  3 60 5

Пусть верно при n = k, т.е.

1 1 1 3

-------- + -------- + … + ------ > ---- .

k + 1 k + 2 2k 5

Докажем, что верно при n = k + 1.


1 1 1 3

Sk = -------- + -------- + … + ------ > ---- .

k + 1 k + 2 2k 5


1 1 1 1 1

Sk+1 = -------- + -------- + … + ------ + -------- + -------- .

k + 2 k + 3 2k 2k + 1 2k + 2

1 1 1 1 1

Sk+1 - Sk = ---------- + --------- - --------- = ---------- - -------- > 0

2k + 1 2k + 2 k + 1 2k + 1 2k + 2

Пример 4. Доказать, что при любом натуральном n верно неравенство

1 1 1 1

------ + ------ + ----- + … + ------ < 2

12 22 32 n2

1

1) n = 1, ---- < 2

12 1 1 1 1

2) n = k, Sk = ----- + ----- + ----- + … + ----- , Sk < 2.

12 22 32 k2


1 1 1 1 1

Sk+1 = ----- + ----- + ----- + … + ----- + -------- . Докажем, что Sk > Sk+1.

12 22 32 k2 (k + 1)2


1 1

Sk+1 = Sk + -------- т.к. Sk < 2, то Sk+1 < 2 + ------- < 2.

(k + 1)2 (k + 1)2


Министерство образования и науки

Отдел образования МО и Н РТ

в г. Зеленодольске


Авторская образовательная программа


«Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения»

10 класс


Автор: Валиева Сария Зиннатулловна

предмет: математика

квалификация: 1 категория

звание: учитель-методист

Государственное общеобразовательное учреждение гимназия №5

г. Зеленодольск

2005г.


Пояснительная записка.


Данный элективный курс предназначен для учащихся физико – математического профиля и рассчитан на 17 часов для учащихся 10-х классов.

Курс дает широкие возможности для углубленного изучения темы «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения».

Данный курс вычленен из курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики». Автор: А.Н.Земляков.

Будут рассаматриваться сложные задачи, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Цель данного курса – углубленного изучения темы «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения». Формы организации занятий – лекция, семинар, практикум, выступления с докладами.

Фронтальная, индивидуальная и групповая форма деятельности учащихся.

Будут применяться традиционные формы организации занятий, как лекция и семинар

Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений доказательства неравенств. Поэтому в конце курса предполагается проводить зачет в письменной форме. Для получения «зачета» достаточно из предложенных 10 заданий выполнить любые 4 или 5.


Требования к математической подготовке учащихся.


В результате изучения данного курса учащиеся должны усвоить основные методы доказательства неравенств, уметь их доказывать.


Основное содержание курса.

Введение.

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения.


Средние величины и неравенство Коши.

Числовые неравенства и их свойства

Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел.


Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше», «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел. Числовые неравенства.

Простейшие свойства числовых неравенств.

Основные методы доказательства неравенств.

По определению неравенства (оценка знака разности), использование неравенства Коши, метод от противного, использование скалярного произведения векторов, использование свойств квадратичной функции. Примеры.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств.

Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция. Метод математической индукции. Примеры на доказательство.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов.

Доказательство сложных неравенств с использованием композиции ранее рассмотренных свойств. Различные неравенства и способы их решения. Примеры.


Применение доказательства неравенств при решении прикладных задач.

Задачи на нахождение наибольшего по площади участка, наименьшего расстояния, наименьшего и наибольшего значения выражения.




Тематическое планирование

учебного материала.







занятий

Содержание материала

Количество часов

1

Числовые неравенства и их свойства.

1




Основные методы доказательства неравенств.

7

2

По определению (оценка знака разности). Примеры.

1

3-4

Использование неравенства Коши. Примеры.

2

5-6

Использование свойства квадратичной функции. Примеры.

2

7-8

Метод от противного. Использование скалярного произведения векторов. Примеры

2

9-10

Метод математической индукции.

2

11-12

Доказательство сложных неравенств. Неравенства различных типов.


2

13

Применение доказательства неравенств при решении прикладных задач.

1

14

Обобщение темы

1



Литература:



  • Чистяков Н., Неравенства Коши о средних арифметическом и геометрическом. Газета «Математика». №7, 2000 год, с.21-24.

  • М.Л.Галицкий. Сборник задач по алгебре.

  • Сборник задач для поступающих в ВУЗы. Под редакцией М.И.Сканави. М.: «Высшая школа». 1998г.

  • Ф.Х.Таймасов. Подготовка к математическим олимпиадам. Часть I. Г. Набережные Челны. 1997 год. Стр. 43-64.

  • 500 способов и методов решения задач по математике. А.Р.Рязановский. Для школьников и поступающих в вузы. Дрофа. М.: 2001г.

  • Г.Дорофеев, М.Потапов, Н.Розов. Математика для поступающих в вузы. Дрофа.2002.

  • Компьютерная программа. Алгебра. Составители: Станченко С.В., Высоцкий И.Р., Шестаков С.А.. КОРДИС МЕДИА, 2000-2001. КУДИЦ, 2000-2001г