litceysel.ru
добавить свой файл
1

О двух подходах к расчёту кинематики механизмов


УДК 621.01

В.В. ЧЕРНЫХ, О.М. МАКЕЕВ

О ДВУХ ПОДХОДАХ К РАСЧЕТУ КИНЕМАТИКИ МЕХАНИЗМОВ

Рассмотрим следующую, достаточно типичную задачу определения кинематики механизма. Пусть задан механизм с обобщенными координатами [1] и характерными точками, декартовы координаты которых будем обозначать, как . В качестве характерных точек обычно выбирают центры шарниров, соединяющих звенья механизмов, геометрические центры или центры масс этих звеньев. Имеются независимых соотношений, связывающих декартовы и обобщенные координаты:



(1)

Предполагается, что при некотором заданном наборе обобщенных координат известны декартовы координаты () характерных точек. Ставится задача, найти декартовы координаты при другом заданном наборе .


Известный пошаговый подход к решению подобных задач сводится к следующей процедуре [2, 3]: каким-либо способом, специфичным для каждого конкретного случая, выбирают конечную последовательность наборов:

, ,

(2)

так что совпадает с , а - с . Используя (1), вычисляют производные декартовых координат по обобщенным координатам:

, ,

, , .

Полученные производные дают возможность при переходе от набора к набору , , заменять соответствующие приращения декартовых координат их дифференциалами. В итоге имеют следующие зависимости:










(3)







где совпадают с известными координатами , а - с искомыми координатами.

Следует сделать ряд замечаний, касающихся выбора последовательности наборов (2). Во-первых, соседние наборы и не должны быть слишком близкими. Это требует характер представления чисел в компьютере и точность его вычислений. Во-вторых, они не должны быть слишком далекими. Такое требование накладывает способ получения зависимостей (3). В-третьих, число наборов не должно быть слишком большим. Это требование обусловлено тем, что вычисление координат производится с некоторой погрешностью. Как следует из (3), с каждым шагом эта погрешность накапливается и при большом может стать недопустимой. Понятия «близкий», «далекий», «допустимая погрешность» определяются спецификой рассматриваемого механизма и точностью, предъявляемой к расчету его кинематики. Из сказанного вытекает, что в каждом конкретном случае стоит вопрос выбора подходящей последовательности (2) и выбора критериев оценки точности расчета, показывающих приемлемость этой последовательности.


Поставленная выше в общем виде задача расчета кинематики механизма рассматривалась в [4 – 6], где в качестве механизмов выступали механизмы подвесок колес и рулевых приводов легковых автомобилей. Там в соотношения (1), кроме всего прочего, входят системы трех уравнений с тремя неизвестными двух видов:



(4)

где , – непрерывные функции от обобщенных координат. Легко видеть, что простой заменой переменных системы первого вида приводятся к системам второго вида. В [6] разработан метод решения таких систем; описан способ выбора одного из двух корней, которые, вообще говоря, могут иметь системы; определена область изменения обобщенных координат, где этот метод применим. Подход к расчету кинематики механизмов, сутью которого являются указанные метод и способ, не требует построения последовательности (2), а точнее – является одношаговым, т.е. для него .





Рис.1. Механизм подвески и его структурная схема


На простом примере механизма подвески колеса легкового автомобиля, схематизированное изображение и структурная схема [7] которого даны на рис.1, рассмотрим особенности пошагового и одношагового подходов и сравним их.

Система координат жестко связана с кузовом автомобиля. Верхний рычаг имеет свободу вращения вокруг оси , а нижний – вокруг оси , где точки неподвижны относительно кузова. Центр колеса и центры сферических шарниров образуют твердое тело . С помощью рулевой тяги это твердое тело соединяется с рулевым управлением. Предполагается, что перемещение рулевого управления отсутствует, т.е. центр сферического шарнира неподвижен относительно кузова. Точки и - проекции и на оси и . Звено структурной схемы соответствует твердому телу , звенья и соответствуют верхнему и нижнему рычагам, звено - рулевой тяге , в качестве стойки здесь берется кузов. Уберем лишние степени свободы, заменив сферическую пару или на сферическую с пальцем, тогда по формуле Сомова-Малышева на рис.1 будем иметь кинематическую цепь с одной степенью подвижности [1]. По аналогии с [4] в качестве обобщенной координаты этого механизма возьмем декартову координату точки . Здесь и далее все координаты берутся относительно системы .


Будем считать, что известны не зависящие от координаты: , , , , , , точек , , , , , , и длины отрезков . Отсюда нетрудно получить равенства, которые для рассматриваемого механизма выступают в качестве соотношений (1):


(5)

где - декартовы координаты соответственно характерных точек . В начальном положении механизма, которое определяется значением , координаты этих точек известны: Требуется найти их координаты в произвольно заданном положении механизма, определяемом значением . Таким образом, конкретная задача кинематики подвески поставлена в терминах и обозначениях общей задачи кинематики механизма. В нашем случае , .

Решим задачу пошаговым методом. Последовательность (2) построим, разбив отрезок на равных частей:

.

(6)

Продифференцируем равенства (5) по . Получим систему двенадцати линейных уравнений относительно неизвестных двенадцати производных по координат точек . Из этой системы, обозначая производные при помощи точки, будем иметь зависимости производных координат всех характерных точек от самих этих координат:




(7)

Последовательность (6) и зависимости (7) позволяют за шагов определить координаты характерных точек при , зная их координаты при :





(8)

Для рассматриваемого в нашем случае механизма рекуррентные соотношения (8) выступают в качестве (3).

Решим задачу одношаговым методом. Первые три равенства из (5) образуют систему уравнений относительно трех неизвестных Заменой переменных эта система приводится к системе второго вида из (4), решив которую методом, предложенным в [6], получим - координаты точки при любом фиксированном . Поскольку теперь известны, то следующие три равенства из (5) образуют систему уравнений относительно трех неизвестных . Заменой переменных эта система также приводится к системе второго вида из (4), решив которую тем же методом, получим - координаты точки . Так как и нами найдены, то седьмое, восьмое, девятое и десятое, одиннадцатое, двенадцатое равенства из (5) образуют две системы первого вида из (4) относительно неизвестных и . Решив системы, как и ранее методом [6], будем иметь и - координаты точек и . Таким образом, координаты характерных точек найдены при любом и, в частности, при .


Приведем и сравним результаты расчетов, полученных с использованием программного обеспечения ЭВМ, в основе которого лежат рассмотренные выше первый и второй алгоритмы определения кинематики механизма подвески. Координаты точек и длины отрезков будем измерять в миллиметрах.

Исходными данными для расчетов являлись координаты точек подвески автомобиля ВАЗ-21213 в начальном ее положении - при :

, , ,

, , , , , .

Вычислялись координаты характерных точек , , , при максимальном перемещении подвески вверх, которое определялось значением . В качестве критериев оценки точности применяемого метода расчета служили длины , получаемые с использованием вычисленных , , , . В процессе перемещения механизма эти длины должны оставаться неизменными.


В таблице 1 показаны значения величин длин, найденных пошаговым методом при различных значениях числа шагов , причем соответствует начальному положению подвески - , а - положению .

Таблица 1

Зависимость величин длин от количества шагов расчета























0

457,53

396,69

298,80

240,94

344,40

271,48

239,37

262,78

110,92

293,55

242,76

5

458,86

398,23

300,84

243,46

345,39

273,62

239,40

262,78

110,93

293,57

242,79

10

458,20

397,46

299,83

242,22


345,88

272,56

239,39

262,78

110,93

293,56

242,78


20

457,86

397,07

299,32

241,58

346,18

272,02

239,38

262,78

110,92

293,55

242,77


50

457,66

396,84

299,01

241,20

346,38

271,70

239,37

262,78

110,92

293,55

242,77


100

457,59

396,76

298,90

241,07

346,45

271,59

239,37

262,78


110,92

293,55

242,77


200

457,56

396,72

298,85

241,00

346,49

271,53

239,37

262,78

110,92

293,55

242,77


Из таблицы 1 видно, что с увеличением все значения длин, за исключением , стремятся к значениям, которые они имеют при . Значение же длины все больше и больше отличается от своего значения, которое она имеет при нулевом . Поэтому варьированием обеспечить необходимую точность расчета, например, сделать все значения длин отличающимися от своих значений при менее, чем на , не представляется возможным. Кроме того, ясно, что, не включив постоянство длины в число критериев, можно прийти к неверным результатам. Значения величин длин, полученных одношаговым методом в положении , совпадают с теми, которые приведены в таблице при . Поэтому указанная необходимая точность заведомо обеспечена, и применение этого метода является более предпочтительным.


На простом примере мы показали эффективность одношагового подхода. Он всегда применим, когда либо все, либо только часть соотношений (1) сводятся к системам вида (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988. 640с.

  2. Мирзоев Г.К., Пешкилев А.Г. Исследование кинематики подвески с помощью ЭЦВМ // Автомобильная промышленность. 1980. №2. С.12-14.

  3. Алышев И.И., Петракович А.Г. Моделирование кинематики подвески Макферсона // Повышение производительности и безопасности автомобилей. М., 1989, С.58-62.

  4. Родионов В.Ф., Фиттерман Б.М. Легковые автомобили. М.: Машиностроение, 1971. 504с.

  5. Рязанцев В.И., Федотов И.В. Об алгоритмах решения частной задачи в моделях рулевых управлений автомобилей // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1998. №10-12. С.41-46.

  6. Черных В.В. Структурный анализ, расчет и многокритериальная оптимизация параметров и характеристик механизмов подвесок колес легковых автомобилей семейства “ВАЗ”: Дис… канд. техн. наук. – Тольятти, 2002. – 141с. – Машинопись.

  7. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Структурный анализ механизмов // Теория механизмов и машин. 2003, №2. С.3-14.

    Поступила в редакцию 25.11.2003



Теория Механизмов и Машин. 2004. №2. Том 2.