litceysel.ru
добавить свой файл
1
ЛЕКЦІЯ 7



ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

План лекції:


  1. Визначення границі функції.

  2. Властивості функцій, що мають границі.

  3. Перша важлива границя.

  4. Друга важлива границя.


1. Функція (х) визначена в деякому околі Х точки х0, крім, можливо, самої точки х0. Нехай незалежна змінна х приближується до числа х0, запишемо хх0, та будемо говорити, що х прямує до х0. Може виявитися. що існує значення (х), яке нескінченно приближується до деякого А. Тоді кажуть, що А є границя функції (х) при хх0.

Означення1: запис (х)=А показує, що для кожного числа  існує число  таке, що для всіх х, для яких (х) має зміст і які задоволняють умові 0х-х0, виконується нерівність (х)-А.

Пр (Для багатьох класів функцій (х)=(х0).

Означення 2: Число А називають границею функції (х) при хх0, якщо для всіх значень х, які достатньо мало відрізняються від х0, відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.

Точка х0, до якої прямує незалежна змінна х, називається її граничною точкою.

Дамо геометричне тлумачення означенню границі функції.

Насамперед: А-(х); х0хх0, хх0.


Це означає геметрично, що для всіх хх0 з -околу

точки х0 відповідні значення функції (х) містяться

в -околі т.А. Таким чином, якщо (х)=А, то,яка

б не була смуга площини хОу, обмежена прямими

у= А-, у=; на вісі Ох знайдеться інтервал

0, х0), хх0 такий. що частина графіка у=(х), яка відповідає точкам цього інтервалу, крім. можливо самої точки х0, міститься всередині цієї смуги.

Означення 3: Число А називають границею функції (х) при х, якщо для довільного числа  існує таке число М(), що нерівність (х)-А виконується для всіх х. які задоволняють умові хМ():

(х)=А.

Аналогічно визначається границя функції при х-.

Пр =


2. Властивості функцій, що мають границі.

1). Нехай (х), g(х) – функції, для яких існує (х) і g(х), тоді

а) існує (х)+g(х) та (х)+g(х)= (х)+g(х).


б) існує (х)g(х) та (х)g(х)= (х)g(х).

в) для будь-якої сталої С: С(х)=С(х).

г) при g(х) існує (х)g(х) та (х)g(х)= (х)g(х).

2). Якщо (х)g(х), то (х)g(х).

3). Якщо (х)=С, де С –довільне дійсне число, то (х)=С, тобто границя сталої в довільній точці х0 дорівнює самій цій сталій.

4). Функція не може мати двох різних границь в одній точці.

3. І важлива границя. Для розкриття невизначенності .


(1)


Доведення: У крузі, радіус якого r, розглянемо гострий кут АОВ, хорду АВ і дтичну до кола в точці А. Порівнявши площі трикутників АОВ, АОС та колового сектора АОВ, дістанемо:

SАОВ Sсект.АОВ SАОС

Позначимо через х радіанну міру кута АОВ. Тоді

1r2sinxr2xr2tgx

Після скорочення на 1r2 матимемо:

sinxxtgx (2)

Ці нерівності виконуються при х. Поділивши

почленно нерівність (2) на sinx, дістанемо:

1 xsinx  1cosx

Є теорема, в силу якої, якщо є три функції такі, що f(x)g(x)h(x) та функцій f(x) і h(x) існують та рівні між собою, то f(x)=g(x)=h(x). Отже , , то , що треба було довести.

Наприклад,

.


4. ІІ важлива границя.

Служить для розвязання невизначенностей виду 1.

.

Доведення самостійно.

Аналогічно, .

Приклад. .

При обчисленні багатьох границь, повязаних з числом е, використовують таке твердження: якщо функції х та х мають границю в точці х0, причомуf(x)0, то й функція хх також має границю, яка обчислюється за формулою:

.