litceysel.ru
добавить свой файл
1
Введение



Показательно-степенные уравнения являются немаловажным разделом алгебры. При решении уравнений данного вида не обнаружил строгого алгоритма для решения уравнений. Для устранения этой проблемы необходимо выработать порядок решения показательно-степенных уравнений, что и попытался достичь в своей работе.

Цели:


  1. Научиться применять на практике свойства степенной, показательной и логарифмической функций при решении показательно-степенных уравнений.

  2. Выявить общие черты в ходе решения различных показательно-степенных уравнений.

  3. Составить схему решения показательно-степенных уравнений.

  4. Научиться обобщать и систематизировать изученный материал.

  5. Формировать навыки самостоятельной работы с учебным материалом.

  6. Приобрести навыки публичного выступления при защите работы.

Задачи:

  1. Познакомиться с графиками степенных функций, их свойствами и формулами.

  2. Познакомиться с графиком показательной функции, её свойствами и формулами.

  3. Познакомиться с графиком логарифмической функции, её свойствами и формулами.

  4. Решить показательно-степенные уравнения различных видов, применяя свойства степенных, показательной и логарифмической функций.

Практическая значимость:

Работа позволяет привести широкий раздел алгебры к единому стандарту решения.

Достигнутые результаты можно применить при объяснении ученикам материала, использовать для расширения теоретической базы учебников, для подготовки к экзаменам.

Степенные, показательные и логарифмические уравнения имеют большую значимость во многих областях науки (астрономия, космические технологии).


Основная часть

Решая уравнение аналитически, автор получил корни: . Затем он попытался решить его графически. Для этого ему пришлось познакомиться со степенными функциями, их графиками и свойствами. Исследователю удалось решить уравнение графически, но стоило заменить показатель степени переменной x, возникли новые затруднения. Также он рассмотрел показательную и логарифмическую функции и, используя свойства этих функций, научился решать некоторые показательно-степенные уравнения.


Для решения показательно-степенного уравнения вида нужно следовать следующей схеме:

1) Приравнять к 0 основание степени, решить получившееся уравнение, сделать проверку. Если при найденном значении x показатель степени больше 0, то найденное число является решением.

2) Приравнять основание степени к 1 и решить получившееся уравнение.

3) Приравнять основание степени к -1, решаем получившееся уравнение, сделать проверку. Если при найденном значении x показатели степеней имеют одинаковую чётность, то найденное число является решением.

4) Исключить ранее рассмотренные случаи, когда основание степеней равно 0 и . Тогда данное уравнение будет равносильно уравнению , решив которое, найти корни.

Автор приводит несколько видов уравнений, которые он смог решить.


I. Показательно-степенные уравнения, содержащие степенные функции.


Пример 1.

= ОДЗ:

=

1)

2)

=








Ответ:1;8.


Пример 2.





1)



Проверка:



0=0 - верно

2)

или



3)

0,2(+2)=0,5(-3)

2+4=5-15


3=19

=

Ответ:3;4;5; .


Пример 3.

ОДЗ: .



1)



2)





Ответ:-1;1;2.


Пример 4.


ОДЗ:

1)

2)

или


3) ;











Проверка:



7=7

Ответ:


II. Показательно-степенные уравнения, содержащие тригонометрические функции.


Пример 5.

=

1)

-



Проверка:



- неверно 1=1 – верно

2)


: ,





Ответ:1;


Пример 6.

ОДЗ:



1)1-



2)



3)



4)











при при

при

при

Ответ: 0;


Пример 7.

ОДЗ:


1)

2)

Проверка:

= - неверно

3)





Ответ:1;

III. Показательно-степенные уравнения, содержащие логарифмическую функцию.


Пример 8.

ОДЗ:



1)

или




2)







Ответ:1;4;5.


Пример 9.

ОДЗ:

1)

2) = 2







Ответ:2.


Пример 10.

ОДЗ:







Ответ: нет решений.


Пример 11.

ОДЗ:



1)

2)











Ответ:

Пример 12.

ОДЗ:



1)

2)











Ответ: 0,001;1;10.


IV.Системы показательно-степенных уравнений.


Пример 13.



1)





2)









При :

Ответ: (3;.


Пример 14.



Ответ:(3;2);(-3;2).


Пример 15.



1)





2)

















При : .

При ;

Ответ: (3;9);(


Заключение


Итак, я убедился, что при решении показательно-степенных уравнений вида следует придерживаться схемы:


1) ,


2)

3) чётные или нечётные (если , ).


4) .


Библиографический список



  1. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник для 9-10 кл. средней школы. - Москва: Просвещение, 1981. – 383 с.

  2. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А., под редакцией Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Учебное пособие. - 6-е издание – Москва: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002 – 608 с.

  3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – 2-е издание – Москва: Просвещение, 1993. – 415 с.

  4. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. – 3-е издание, переработанное – Москва:1988 – 720 с.

  5. Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания. – Москва: Дрофа, 2008. -

  6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.; В двух частях. Часть 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 4-е издание – Москва: Мнемозина, 2003. – 375 с.

  7. Шарыгин И.Ф. Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 классов средней школы. – Москва: Просвещение, 1991. – 384 с.