litceysel.ru
добавить свой файл
1
Челябинское областное научное общество учащихся


Копейский филиал

МОУ СОШ № 45


Тема:


"Применение производной к решению экстремальных задач".


Выполнила:


Гарипова Эльвира,


ученица 11 А класса.


Руководитель:


Войтюк Н.В.,


учитель математики.


2004 г.План.

Введение. ……………………………………………………………….3


§1. Возрастание и убывание функции одной переменной…………5

§2. Необходимый признак возрастания (убывания) функции……..6

§3. Достаточный признак возрастания (убывания) функции………7

§4. Экстремум функции одной переменной………………………...8

§5. Достаточные условия экстремума функции…………………...11

§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции………………………………………………………………...14

§7. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке………………………………………………………15


Приложение…………………………………………………………...18


Заключение……………………………………………………………30


Список литературы…………………………………………………..31


Введение.

Знаменитый русский математик П.Л. Чебышев писал:

«Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды». Такого рода задачи называют экстремальными или задачами на оптимизацию (от лат. Optimum – наилучший).

Для своей научной работы я выбрала именно эту тему: "Применение производной к решению экстремальных задач".

Когда я впервые познакомилась с производной, меня сразу заинтересовала эта тема. Я познакомилась с применением производной, изучила специальную литературу, где встретила теоремы, которые не рассматриваются в школьном курсе на уроках математики. Из всего изучаемого материала я пыталась выбрать тот, который бы мне пригодился при сдаче ЕГЭ, при решении более трудных задач. Постепенно я увлеклась этой темой, решая задачи из тестов, я начала применять знания о производной и сделала для себя вывод, что многие задачи, которые решаются не сразу и громоздкими вычислениями легко можно решить с помощью производной.


Экстремальные задачи широко используются в программе школьных выпускных экзаменов, особенно геометрические задачи. Занимаясь исследованиями я выделила, что экстремальные задачи можно решать по следующему примерному плану:


  1. представить оптимизируемую величину как функцию

некоторой (одной) переменной;

  1. найти область определения этой (целевой) функции, учитывая физический (геометрический) смысл переменных величин задачи;

3)

а) если область определения целевой функции является

отрезком, то ее оптимальное значение (наибольшее или

наименьшее) найти по схеме, изложенной в разделе

« Нахождение наименьшего и наибольшего значений

на заданном отрезке»;

б) если область определения целевой функции не является

отрезком, то по схеме, изложенной в разделе «Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции», провести её исследование на монотонность и экстремумы. Убедившись, что в области определения функция имеет единственный экстремум (минимум, если оптимальное значение – наименьшее и максимум, если оптимальное значение –наибольшее);

4) используя результаты исследования, показать, что найденный экстремум функции является её наибольшим (или наименьшим) значением в области ее определения.

Моя работа состоит из двух частей.

В первой части изложен теоретический материал, необходимый для решения экстремальных задач.

В второй части рассмотрены некоторые интересные задачи, которые можно использовать на уроках в математических кружках или факультативах.


§1. Возрастание и убывание функции одной переменной.


Определение:

Говорят, что функция f(x) возрастает на промежутке (а; b), если любому большему значению аргумента х в этом промежутке соответствует большее значение функции; иными словами, f(x) есть возрастающая функция на промежутке (а; b), если, каковы бы ни были значения х1 и х2 из этого промежутка, из неравенства x2 > x1 вытекает неравенство f(x2) > f(x1).





Аналогично говорят, что f(x) убывает на промежутке (а; b), если любому большему значению аргумента х на этом промежутке соответствует меньшее значение функции, иными словами, f(x) есть убывающая функция, если из неравенства х2>x1 вытекает неравенство f(x2) < f(x1).




§2. Необходимый признак возрастания (убывания) функций.

Теорема 1.

1. Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна в этом промежутке.

2. Если дифференцируемая функция убывает в некотором промежутке, то её производная не положительна в этом промежутке.

Доказательство:


  1. Пусть дифференцируемая функция f(x) возрастает на промежутке (а, b)

Согласно определению производной


Если значения x и x + x принадлежит промежутку (а, b), то в силу возрастания функции f(x) знак её приращения f(x+x)-f(x),где x 0, одинаков со знаком приращения x аргумента x.


Следовательно, при достаточно малом по абсолютной величине x имеем



Переходя в последнем неравенстве к пределу при x0 и учитывая, что предел положительной функции, очевидно, не сможет быть отрицательным, получим .

2) Доказательство второй части теоремы вполне аналогично доказательству первой её части.

Замечание.

Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что для графика возрастающей дифференцируемой функции касательные образуют с положительным направлением оси Ох острые углы (tg=(x)) или в некоторых точках А параллельны оси Ох. Для графика убывающей дифференцируемой функции все касательные образуют тупые углы с положительным направлением оси Ох или параллельны ей.

у=f(x)

§3. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Теорема 2.


  1. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.
  2. Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.


Доказательство.

1.Пусть, например, дифференцируемая функция f (x) такова,

что f/(x)>0 при a<x<b. Для любых двух значений ,принадлежащих промежутку (a, b), в силу теоремы о конечном приращении функции имеем f(x2) – f(x1)=(x2-x1) f/(), где -промежуточное значение между x1 и x2 и, следовательно, лежащее внутри промежутка (a,b). Так как x2-x1>0 и f/()>0,то отсюда получим f(x2)- f(x1)>0 или f(x2)> f(x1).

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке (a,b)

  1. Доказательство второй части этой теоремы совершенно аналогично доказательству первой части её.

Функция возрастающая (или убывающая), называется монотонной.

Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называется промежутками монотонности этой функции.


Пример:

Исследовать на возрастание и убывание функцию:

Решение:

Находим производную: . Производная обращается в нуль при значениях:



Эти значения разбивают всю бесконечную ось Ох на три промежутка: ;-1], [-1;1], [1;+), внутри каждого из которых производная f/(х) сохраняет постоянный знак.




Следовательно, функция f(x) возрастает на ;-1) (1;+],

убывает на (-1;1).


§4. Экстремум функций одной переменной.

Определение: Говорят, что при значении x1 аргумента х функция f(x) имеет максимум f(x1) если в некоторой окрестности точки x1(возможно, весьма малой) выполнено неравенство f(x1)>f(x) (xx1)


y



У= f(x)





f(x1) f(x)

f(x2)




х1 х х2


Аналогично говорят, что при значении x аргумента x функция f(х) имеет минимум f2), если в некоторой окрестности точки x имеет место неравенство f2)<f(x), (хх2). Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками минимума функции).

Из определения следует, что экстремум функции, вообще говоря, имеет локальный характер-это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с близлежащими значениями ее. Поэтому наличие экстремума при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что минимум функции может быть больше максимума, - подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем наибольшая вершина.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и имеет экстремум в точке х.


Если х- внутренняя точка отрезка, то разность f(x) – f(x) (x x) сохраняет постоянный знак в некоторой двусторонней окрестности

х - h+h ().

Такой экстремум называется двусторонним.

Например, функция f (х) =

имеет двусторонний максимум при = 0, т.к. f (x) = 1

при -1.

Если же концевая точка отрезка [a,b],

например, х= а, то f( x)- f(x) сохраняет знак лишь в некоторой односторонней окрестности а = х + h точки х.


Такой экстремум называется односторонним (краевым). Например, функция имеет односторонний минимум при и при .

В дальнейшем под словом экстремум мы будем понимать двусторонний экстремум, т.е. будем предполагать, что для точки экстремума данной функции f(x) имеется некоторая окрестность 0<|x-x0|0, в которой разность сохраняет постоянный знак.


  1. Необходимое условие экстремума функции.

Теорема.

В точке экстремума (двусторонний) дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Доказательство.

Пусть, для определенности, есть точка минимума функции . Следовательно, если достаточно мало по абсолютной величине.

Отсюда , если ,

и , если .


Переходя в этих неравенствах к пределу при , для производной в точке , равной



соответственно получим

, если



Т.к. значение производной не должно зависеть от способа стремлении к нулю, то отсюда следует, что.

Теорема доказана.


Геометрическая иллюстрация.

Геометрически обозначает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.




Следствие.

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функция равна нулю или не существует.


Действительно, если в точки экстремума функции f(x) cуществует производная f/то в силу доказанной теоремы

Эта производная равна нулю: f/(x)=0.

То, что в точке экстремума непрерывной функции производная может не существовать, показывает пример функции, график которой имеет форму "ломанной".




Те значения аргумента х, которые для данной функции f(x)

обращают в нуль, её производную f/(x), или для которых производная f/(x) не существует, называется критическими значениями аргумента.


§5. Достаточные условия экстремума функции.

Из этого обстоятельства, что ; вовсе не следует, что функция имеет экстремум при x=. В самом деле, пусть . Тогда и, следовательно, . Однако значение не является экстремумом данной функции, так как разность меняет знак при изменении знака аргумента .


Таким образом, не для всякого критического значения аргумента функции имеет место экстремум этой функции. Поэтому мы наряду с необходимым условием дадим достаточные условия экстремума функции.


Теорема 1 (первое правило).

Если дифференцируемая функция f(x) такова, что для некоторого значения eё аргумента x производная (x) равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(x) является экстремумом функции f(x), причём:

1)функция (x) имеет максимум при х=, если изменение знака производной происходит с плюса на минус;


  1. функция имеет минимум при если изменение знака производной происходит с минуса на плюс.

Доказательство.

  1. Пусть (x)=0, причем (x)>0 при х00 и

(x)<0 при х00+Е,


где Е-достаточно малое положительное число.

Отсюда, в силу теоремы 2 (достаточный признак возрастания (убывания) функции) следует, что функция возрастает на отрезке [x0-Е,х0] и убывает на отрезке [х0, x0+Е]. следовательно, в непосредственной близости к значению х имеем f(x0)> f(x), если х<х0,

И также f(x0)> f(x),если х>х0.

Иными словами, при х=х0 функция f(x) имеет максимум.


  1. аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Пример. Исследовать на экстремумы функцию f(x)3-6х2+9х+5.

Решение. Находим производную (x)=3х2-12х+9=3(х2+4х+3). Приравнивая ее к нулю и решая соответствующее квадратное уравнение, получаем корни производной:

х1=1 и х2=3. Отсюда (x)=3(х-1)(х-3).

Исследуем, как изменяется знак (x). Вблизи значения х=1.

При любом достаточно малом положительном числе h имеем



х

(x)

1-h

+

1+h

-


Следовательно, функция f(x) при х=1 имеет максимум, равный f(1)=9. аналогично для значения х=3 получим


х

(x)

3-h

-

3+h

+

Поэтому функции f(x) при х=3 имеет минимум, причем f(3)=5.


Теорема 2 (второе правило).

Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х0 ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f''(x) существует и отлично от нуля, т. е. f'(x0)= 0, f''(x0)≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум;

а именно:

  1. если f''(x0)>0, то f(x0)- минимум функции f(x), и

  2. если f''(x0)<0, то f(x0)- максимум функции f(x).

Доказательство.

  1. Положим, что f'(x0)=0, f''(x0), пусть x=x0+x0 - точка близкая к x0.

Т.к. вторая производная f''(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:



Таким образом, переменная

стремится к пределу f//(x0)≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:

>0 при 0<|x-x0|
Отсюда получаем, что числитель и знаменатель этой дроби имеют одинаковые знаки и, следовательно, f/(x0)<0 при х0-Е<x<x0 и, следовательно, f/(x0)>0 при х0<x<x0+Е.

Мы видим, что производная f/(x) при переходе через точку х0 меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.


  1. Аналогично доказываем, что если f/(x0)=0 и f//(x0)<0, то

f(x0)-минимум функции f(х).


Задача.

Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.

Р
B
ешение.


K

D E


C

h


x

A

y

Обозначим высоту KL прямоугольника через х, основание DE через у. Тогда площадь его S=xy. Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.


В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC, учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем

или т.к. BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,

то у=

исключая у из выражения для S находим

S =

Ищем максимум для этой функции

S=

S=0 h-2x=0 x=

Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь

следовательно, при площадь S имеет максимум, причем из формулы S= получаем Smax=


Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.

§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:


  1. Найти область определения заданной функции ;

  2. Найти производную ;

  3. Определить критические точки функции ;

  4. Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)

  5. Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.


Пример.

Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции

Решение:



2)Найдем производную:



3)Найдем критические точки:










4)

+ -- +




1 1

е2

Ответ: функция возрастает на

Функция убывает на


§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а;b] рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)Найти производную данной функции;

2) Определить критические точки данной функции;

3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;

4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;

5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;

6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.

Пример: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

+sin2x на (0 ; )


Решение : D (f)=R


  1. Найдем производную:

f' (x) = - cos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-)

  1. Найдем критические точки:

f(x)=0 cos x (2 sin x -=0

cos x =0 2sinx - =0

x= 2 sin x =

sin x =

Х=(-1)+, k.
  1. На промежутке (0;) лежит лишь одна критическая точка x=.


  2. Вычислим значение функции в точке х=.

f()=1-+==0,5.

  1. Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:

f(0)=1

f()=1-1+1=2-=0,586

  1. Из трех значений f(0)=1;

f()=0,586;

f()=0,5.

Выбираем наименьшее и наибольшее значение


Ответ: min f(x)= f()=0,5;

max f(x)= f(0)=1;


.


Задача.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции: y(x)= -2x-3x+4

на промежутке: а);

б)

Решение.

Находим критические точки функции. Т.к. y’(x)= -6x-6x=-6x(x+1), то имеются две критические точки: x=0 и x=-1.

а) В промежутке лежит одна из критических точек: x=-1 .

т.к. y(-2)=8, y(-1)=4, y(-0,5)=3,5 то наименьшее значение функции

y(x)=-2x-3x+4 достигается в точке x=-1 и равно 3, а наибольшее

в точке x=-2 и равно 8. Кратко запишем так:

min y(x)=y(-1)=3

max y(x)=y(-2)=8

б) В промежутке данная функция убывает. Поэтому max y(x)=y(1)=-1. Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, т.к. точка x=3 не принадлежит этому промежутку.


Приложение.

Задача № 1.

Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит точку внутри себя, удаленную на расстоянии 1 и 8 от сторон этого угла.


Найти наименьшую длину таких отрезков.

Решение: 1) Пусть ОА=х, ОВ=у

МАВ, МD=8, МС=1

Исходя из того, что





ху=8х+у

у=


т.к. АВО прямоугольный, то

Найдём наименьшее значение функции =при х>1

2) Для этого найдём производную





3. Найдём критические точки:

х=5





-- +


т.к. в точке х = 5 производная меняет свой знак с “-“ на “+”, то это наименьшее значение.

4. . 5. AВ= =

Ответ: 5.

Задача №2.

Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?

Решение:

пусть - центральный угол сектора

r-радиус основания конуса

-L осн.кон.=2



ИзАОО1 h ==R


V=



Найдем наибольшее значение функции y= от :

y2 =

y1 =
















Ответ: Наибольший объем равен .


Задача №3.

Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?




Решение: 1) Пусть стоимость ограды f руб.

x (м) - длина каменной части ограды, значит, ширина – 90/х (м),

тогда f(x)= 10x +8*2*90/x= 10x +1440/x

2) D (f) =(0; +)

3) f ’ (x)= (10x) + 1440’x – 1440*x/x2 =

10-1440/x=10(x2-144)/x2

4) Найдём критические точки:

f’ (x)= 0 10(x2-144)/x2=0

x2-144=0

х1=-12

х2= 12


D (f)= (0; +)

В точке x= 12 производная меняет свой знак с – на + , значит это наименьшее значение функции и оно единственное в области определения.


5) мin f(12) =10*12+1440/12=120+120=240

(0;+)


Наименьшая длина каменной стены 12 м , а деревянной 90/12=7,5м


Ответ: 12м; 7,5м; 240 руб.


Задача № 4.

Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

Решение:


B
Пусть радиус круга - R, BD=х,

тогда ОD=х-R























Ответ:

если каждая сторона будет равна , то площадь будет наименьшей.


Задача № 5.

На изготовление ящика с крышкой расходуется 108 дм 2 фанеры. Стороны основания относятся как 1: 2. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.


Решение: SПОЛН. = 2ab + 2ac +2bc=2(ab+ac+bc)=108

аb+ac+bc=54

аb-54= - ac-bc

54-ab=с(а+b)

а с=

с

b


Пусть а=х, x(0;+), тогда b=2x, c=

V=a b c= x 2x = x (54-2) =x (27-)


))) - x 2x =

=36--=36-4x


V/ (x)=0 36-4x=0

36=4x2

=9

=3

=-3

a=3дм , b=6дм, с=



Ответ: 3дм , 6дм , 4дм .


Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус


Решение:


Пусть задан конус высотой Н и радиусом основания R.

Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус

основания цилиндра, вписанного в данный конус.

Обозначим ВМ= x. Тогда

и r=R-x.


Объём цилиндра .

В нашем случае

Определим, при каком значении x объём цилиндра будет принимать наибольшее значение.

Найдём производную V1 (x) .



V1(x)=0 при x=

При х V1(x)0 и V1(x) 0 при х


Следовательно, в точке х= функция V(х) имеет максимум. Так как х может менятся от нуля до R, причём V(0)=0 , то число

V()= R2 является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров.


Задача №7.

Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L.

Решение.

Объём конуса,

площадь основания которого равна S,

а высота-Н, вычисляется по формуле ,

где 2,

R - радиус окружности, лежащей в основании конуса.

По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R2+H2=L2.

Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н


Решая уравнения находим две критические точки функции V(H): H1+ H2=-


Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L ). При переходе через точку Н1 функция V/(H) =(L-3H2) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0,) функция V(H ) возрастает, а на промежутке (; L)убывает.

Таким образом Н=-высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.


Задача №8. В трапецию ABCD, боковая сторона АВ, которой

(длина 8 см) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.


Решение.

Рассмотрим отдельно два случая.

Первый - вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD.

Второй - вершина P лежит на основании трапеции ВС.

В первом случае обозначим стороны прямоугольника

|AQ|=x и |AK|=y.

Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y.

Для этого проведем вспомогательный отрезок BL, параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD.


Катеты этих треугольников равны соответственно

|AB|=8, |AL|=4, |QD|=10-x, |PQ|=y.

Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD:

или y=20-2x.

Площадь прямоугольника AKPQ равна S(x)=x(20-2x).

Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q - проекция точки P, лежащий на стороне СD, cледовательно, х6.

Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S(x)на промежутке [6;10].Единственная критическая точка функции S(x): x=5не принадлежит найденному промежутку.

Следовательно, производная функции S(x) не меняет на этом промежутке знак.

Вычисляя производную S(x) в произвольной точке промежутка [6;10], убеждаемся, что она отрицательна.

Таким образом, наибольшее значение S(x) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S(x)=S(6)=48см2

x[6;10]

Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см2, т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см, длины их оснований не могут быть больше 6см.

Ответ: 48см2



Задача № 9.

Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?

Решение. Пусть АВСD - данный квадрат, О - его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ, выразим объем пирамиды как функцию x .

Получим:



Следовательно,

Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией .

Вычислим производную:

0

В этой задаче промежуток содержит лишь одну критическую точку. Поэтому достаточно сравнить значение функции в этой точке со значениями на концах промежутка

Имеем, V(0)=V(=0


V(>0

следовательно, при х= функция V имеет наибольшее значение.

Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна сторона квадрата.

Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.


Решение:

Пусть АВС=, тогда по теореме синусов имеем АВ=2sin.Далее из АDC СD = АD ctg = sinctg = a sin a = a ( 1 + cos a ) .

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а ( 0) :

S ( a) = = sin a ( 1+ cos a ) = ( sin a + 0,5 sin 2a ).


S` = ( cos a + cos 2a ) = ( 2cos2 a + cos a – 1) =

= a2 ( cos a + 1 ) ( 2cos a – 1 ).

Т.к cos + 1> 0 ( ( 0 : п) ), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда .

Если 0 < a < , то S` ( a) > 0, т.е S (a) возрастает на

( 0; ]. Если < a < , то S` (a) < 0, т.е. S( a) убывает на [; ) /

Итак, max S( a) = S ( )

( 0 ; )

Если d = , то треугольник равносторонний.


Задача № 11.


Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.

Решение.

Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны равна .


Заметим, что 0<x<2R, т.к. x-длина хорды окружности радиуса R, отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника .


Hайдем наибольшее значение функции S(x) на

отрезке [0;2R].

Имеем S’(x)=0, т.е.4R2-2x2=0,откуда x1=Rи x2=-R

Значит, надо сравнить значение функции при x=R и на концах отрезка x=0 и x=2R .

Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(R)=2R2, то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=R.Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается
в точке x= R.

При этом длина другой стороны прямоугольника равна , то есть искомым прямоугольником служит квадрат.



Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Решение.

Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Диагональ прямоугольника - переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у22+(а-х)2,

или у2=2х2-2ах+а2, откуда у=, где 0
Исследуем функцию у= с помощью первой производной:

=




2х-а=0 х=

Значит, прямоугольник квадрат.





Знаменатель дроби положительный, поэтому достаточно исследовать только числитель: y’>0, если х>.

Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= имеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.


Заключение.

Работая над темой «Применение производной к решению экстремальных задач» я изучила очень много литературы по этой теме. При решении задач мне пришлось использовать следующие теоремы:


  • Необходимый признак возрастания и убывания функции.

  • Достаточный признак возрастания и убывания функции.

Кроме того «Экстремум функции одной переменной и достаточные условия экстремума функции».

Также я, изучая литературу, выделила этапы решения задач на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции и нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Я считаю, что моя тема очень интересна. Поэтому я буду продолжать ее изучение в дальнейшем.

Моя работа будет очень полезной при подготовке выпускников к экзаменам в качестве дополнительного материала, который можно изучать на факультативах по математике.


Список литературы:


1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.

Краткий курс высшей математики.- М.: Наука,1989

2. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. -М.: Наука,1986.

3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1984

4.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990

5.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.-М.: Просвещение,1991

6.Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом -М.: Просвещение, 1979 .

7.Мочалин А.А. Сборник задач по математике.- Саратов, Лицей, 1998.