litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 ... 4 5
0 Распределение “свободных” электронов по энергиям.



Согласно модели Зоммерфельда, нам удалось выразить связь энергии электронов с их волновым вектором:

 = (2/2m)k2 (1)

где k квантуется (k = 2/L)

и мы имеем:  = (2/2m)(2/L)2i2 (2)1)

Здесь Lлинейный размер образца,

i – целое число: i = 0, 1, 2, …

Видно, что так называемые свободные электроны могут принимать различные значения энергии.

В выражениях (1) и (2) отражены вовсе не реальные значения энергии, которыми обладают электроны. В названых формулах обозначены те квантовые состояния с указанной в них значениях энергии, которые электронам принимать дозволенно, в то время как все иные значения энергии являются запрещенными.

Если квантовому состоянию отвечает не та энергия, что в (2), то такое квантовое состояние занимать электронам запрещено.

Если квантовое состояние отвечает энергии, указанной в формуле (2), то электроны это квантовое состояние в принципе занять могут (если свободные электроны для этого найдутся).

Вопрос о том, какое число дозволенных квантовых состояний приходится на каждое значение энергии, мы пока не обсуждали. Именно на этот вопрос мы и попытаемся найти здесь ответ.

А именно:

Сколько квантовых состояний имеется для энергии  = (2/2m)(k)2?

А, значит, и какое максимальное число электронов может иметь такую энергию?

Именно это и называется плотностью числа состояний di/d для интервала энергий     d.

Ашкрофт и Мермин называют это «величину плотностью уровней в расчете на единицу объема» и нормируют на энергию Ферми. Обозначается эта величина (di/d) в разных книгах по-разному:


di/d = g()  ()  D()  N().

Давайте будем пользоваться обозначением g() и найдем эту величину.

Для этого нам необходимо знать:

Объем в фазовом k-пространстве, с одной и той же энергией VФ().

Объем в фазовом k-пространстве, занимаемый одним квантовым состоянием: V1.

Тогда, поделив объем, относящийся к энергии , на объем, занимаемый одним квантовым состоянием, узнаем, сколько в образце квантовых состояний с энергией . Если полученное значение поделить на объем образца Vобр, то можно узнать, какова плотность разрешенных квантовых состояний в единице объема образца. Поскольку, согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии может находиться 2 электрона со спиновым квантовым числом  ms, необходимо помножить полученное значение на 2.

В результате получим величину числа состояний в интервале     d:

i() = 2VФ()/(V1Vобр)

Теперь сталось найти VФ(), V1 и Vобр

► Найдем объем в фазовом k- пространстве VФ().

Решим задачу для простейшего случая щелочных металлов, имеющих сферическую поверхность Ферми и в качестве носителей тока – только электроны проводимости (дырок у щелочных металлов нет).

Тогда в k-пространстве любой одинаковой энергии  буде отвечать сферическая поверхность с площадью 4k2, а слой с толщиной dk будет иметь объем, равный 4k2dk. Поскольку мы знаем, как k связан с энергией , то можно соотнести этот объем с энергией в интервале    d.

Объем этого слоя, равный 4k2dk, и соответствует искомой величине VФ().


► Найдем объем, занимаемый одним квантовым состоянием V1. Его можно узнать, имея в виду принцип неопределенности, выражаемый как xph.

Найдем для нашего случая x и p.

Местонахождение электрона проводимости определяется размерами образца. Значит, x = Lx (0  xLx). А p = k. В свою очередь, k = 2/Lx.

Отсюда следует, что минимальный объем, занимаемый одним квантовым состоянием, равен V1 = (2/LxLyLz)3.

► Объем образца с размерами Lx Ly Lz равен: Vобр = LxLyLz

Подставим полученные значения в i() = 2VФ()/V1Vобр:

С учетом того, что

k2 = (2m/2); dk = (1/2)(2m/2)1/21/2d;

VФ = 24k2dk = 24(1/2)(2m/2)3/21/2d = 4(2m/2)3/21/2d;

V1 = (2/LxLyLz)3 = 83/Vобр;

имеем i() = {[4(2m/2)3/21/2]/[(83/Vобр)Vобр]}d

Окончательно получаем:

g() = di/d = 4(2m/2)3/21/2/83 = (1/22)(2m/2)3/21/2



Итак, давайте хорошенько запомним это очень полезное выражение для плотности числа состояний электронов:


g() = di/d = (1/22)(2m/2)3/21/2


Но надо еще не забыть, что вывели мы его для щелочных металлов, где:


  • поверхность Ферми сферическая;

  • зависимость  от k квадратичная:  = (2/2m)k2;

  • в качестве носителей заряда выступают только электроны проводимости, а дырок нет.

Как же быть с остальными веществами, где эти условия не выполняются? Для чего мы старались и для чего запоминать этот пусть приятный, но частный случай?

Оказывается, формула полезна не только для щелочных металлов.

Дело в том, что у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны зависимость  от k очень близка к квадратичной:  = (2/2m)k2. Как ни странно, но выражение  применимо к полупроводникам куда лучше, чем к металлам, если они не являются щелочными. В полупроводниках концентрация носителей заряда столь мала, что носители заполняют энергетические уровни возле самого дна зоны проводимости и потолка валентной зоны полупроводника. Благодаря этому выполняется квадратичная зависимость  от k. В.Г. 30-03-02


8(2) ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ (Шалимова, с.228)

Как следует из равенства (7-29), в случае монополярной генера­ции носителей заряда возникает объемный заряд, который со вре­менем уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной вре­мени Тц. Другими словами, объемный заряд, созданный избыточ­ной концентрацией основных носителей заряда, в результате тока проводимости исчезнет в среднем через Тц. Поскольку максвелловское время релаксации Тц для полупроводников достаточно малая величина, электронное облако избыточных носителей заряда за это время не может сместиться на значительное расстояние но отношению к нонам примеси, а поэтому повышенная концентра­ция носителей заряда будет в той же области полупроводника, где происходит их генерация. Следовательно, монополярная гене­рация и рекомбинация носителей заряда имеют место в одной и той же области примесного полупроводника.



7-4. ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ

В зависимости от механизма различают три вида рекомбинации:


  • межзонная рекомбинация,

  • рекомбинация через локальные центры и

  • поверхностная рекомбинация.

Межзонная рекомбинация осуществляется при переходе свобод­ного электрона из зоны проводимости в валентную зону, что сопро­вождается уничтожением свободного электрона и свободной дырки. Этот процесс совершается при соблюдении законов сохранения энергии и квазиимпульса. Если энергия и квазиимпульс электрона в зоне проводимости (до рекомбинации) были Е' и р' а после ре­комбинации они равны соответственно Е и р, то законы сохранения энергии и квазиимпульса запишутся в виде

E' = E + E; p' = p + Q. (7-31)

Здесь Q – квазиимпульс, передаваемый электроном кристалли­ческой решетке, а E – энергия, которая выделяется при про­цессе рекомбинации.

В зависимости от того, каким образом расходуется энергия E, межзонная рекомбинация разделяется на три типа:

если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, излу­чается в виде кванта света, рекомбинация называется излучательной или фотонной;

если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, пере­дается решетке, т. е. расходуется на образование фононов, реком­бинация называется безызлучательной или фононной;

если в акте рекомбинации выделяющаяся энергия передается третьему свободному носителю заряда, рекомбинация называется ударной или рекомбинацией Оже.

Ре­комбинация через локальные центры. В полупроводниковом кристалле всегда имеются дефекты, энер­гетические уровни которых находятся в запрещенной зоне. Поэтому наряду с межзонной рекомбинацией может идти процесс ре­комбинации через локальные центры. Дефект решетки, способный захватить электрон из зоны, проводимости и дырку из валентной зоны, осуществляя их рекомбинацию, называется рекомбинационной ловушкой. В этом случае исчезновение пары – электрона про­водимости и дырки проводимости – осуществляется следующим образом. Нейтральная рекомбинационная ловушка захватывает электрон из зоны проводимости, который затем через некоторое время перейдет в валентную зону.


В зависимости от способа расхо­дования энергии  E при переходе электрона на более низкий энер­гетический уровень рекомбинация через рекомбинационные ловушки также может быть фотонной или фононной.


Рекомбинация носителей заряда, идущая на поверхности полу­проводника, называется поверхностной рекомбинацией. Поверхност­ная рекомбинация происходит через поверхностные рекомбинацион­ные ловушки и может протекать с излучением и без излучения света.


Линейная и Квадратичная релаксация (Шалимова, с.224)

7.2. БИПОЛЯРНАЯ СВЕТОВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

Рассмотрим полупроводник, в котором в результате поглощения света создается некоторая избыточная концентрация электронов и дырок. Генерацию носителей заряда, при которой в результате возбуждения возникают пары – электрон и дырка, будем называть биполярной генерацией. В этом случае поглощение кванта света сопровождается разрывом валентной связи и количество генерируе­мых избыточных электронов и дырок одинаково:

n = p (7-13)

Параллельно с процессом генерации идет процесс рекомбина­ции, и в стационарном состоянии число электронов и дырок, воз­буждаемых за единицу времени в результате разрыва валентных связей, равно числу электронов и дырок, рекомбинирующих за это же время. Поскольку неравновесные носители заряда через очень малое время становятся физически неотличимыми по энергии от равновесных, можно считать, что они имеют тот же коэффициент рекомбинации r, что и равновесные носители заряда.

После выключения возбуждающего света концентрации элек­тронов и дырок уменьшаются в результате рекомбинации. При этом скорость убывания числа свободных электронов и дырок опреде­ляется разностью скоростей рекомбинации и тепловой генерации

–(dn/dt)r = (dp/dt)r = rnpG0. (7-14)


(Здесь G0 – число генерируемыхэлектронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду, к – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициен­том рекомбинации.)

Принимая во внимание соотношения (7-1), (7-2), (7-3) и (7-13), равенство (7-14) можно переписать следующим образом:

–(dn/dt)r = r(np n0p0) = r(n0 + p0 + n)n. (7-15)


Учитывая, что в случае малого уровня возбужденияn << n0 + p0, получаем:

(dn/dt)
r = –r(n0 + p0)n = – r(n0 + p0)(n n0). (7-16)

{Рекомбинация называется линейной, так как ее скорость линейно зависит от концентрации избыточных носителей. Любопытно, что скорость рекомбинации пропорциональна и концентрации тепловых носителей}



следующая страница >>