litceysel.ru
добавить свой файл
  1 ... 4 5 6 7 8

8. Ответ. Нет.

Решение.

Предположим. Что число жителей острова – нечетное. Тогда возможно два случая:

1) рыцарей – четное число, лжецов – нечетное,

2) рыцарей – нечетное число, лжецов – четное.

Разберем первый случай. В этом случае оба высказывания жителей правдивы, а т.к. каждый житель что-то заявлял, то получается, что все лжецы сказали правду, чего быть не может.

Во втором случае оба высказывания жителей лживы, получается, что все рыцари солгали, чего быть не может.


9. Ответ. 3 замка, причем 1-й человек не имеет ключа от замка №1, но имеет ключи от замков №2 и №3; 2-й человек не имеет ключа от замка №2, но имеет ключи от замков №1 и №3; 3-й человек не имеет ключа от замка №3, но имеет ключи от замков №1 и №2.


10. Ответ. .

Решение.

, иначе число не наибольшее. Далее, и , поэтому . Пусть , тогда , но , т.е. , что невозможно. Пусть , тогда и . Поскольку , то . Пусть , тогда . Аналогично , и . Из построения примера следует, что полученное число 967453878120 – наибольшее из возможных.



11. Ответ. На 25%.

Решение.

За 20 дней, работая с прежней производительностью, Папа Карло смог бы сделать четыре деревянные куклы, а, работая с новой производительностью, - пять. Т.е. за одно и то же время он сможет сделать на одну куклу больше. Если 4 куклы составляют 100%, то одна кукла – 25%.


12. Ответ. 8 тестов.

Решение.

Пусть - количество тестов, - количество баллов, набранное до последнего теста. Тогда из условия задачи следует, что и . Отсюда , , .


13. Ответ. 1, 1, 1, 1.

Решение.

Пусть имеем числа , и .

(равенство достигается, когда и взаимно простые), . Значит, . Но из условия . Значит, взаимно просто с , взаимно просто с . Аналогично доказывается, что все числа взаимно просты.


Получаем

, следовательно, (1).

, следовательно, (2).

Перемножив почленно (1) и (2) получаем: . Разделив (1) на (2), получаем . Проделав аналогичные операции с другими парами, получим, что .

Т.е. .


14. Ответ. Да, например 36. ()


15. Ответ. Площадь треугольника больше.

Р
ешение.

Пусть - площадь квадрата. Тогда площадь каждого из треугольников , , равна , поэтому площадь треугольника равна . Но треугольник - часть треугольника , поэтому его площадь меньше , а это означает, что площадь треугольника больше . С другой стороны, площадь четырехугольника меньше , так как он составляет часть треугольника .



16. Решение.

Занумеруем монеты 1, 2, …, 7. Первое взвешивание: 1, 2, 3 на одной чаше и 4, 5, 6 на другой.

а) В случае равенства среди 1, 2, 3 и 4, 5, 6 по одной фальшивой монете, а 7 – настоящая. Второе взвешивание: 1 и 2. При равенстве 1, 2, 7 – настоящие, Если 1>2, то 1, 3, 7 – настоящие.

б) Если 1, 2, 3 > 4, 5, 6, то 1, 2, 3 – настоящие.


17. Решение. Например, так:




















2




2










3










2




2




















18. Доказательство.

Предположим, что это не так, тогда в каждой из строк количество клеток каждого из цветов различно. Следовательно, всего в таблице клеток каждого цвета должно быть не менее чем 0+1+…+14=105, т.е. клеток всех трех цветов должно быть не менее чем 315, что противоречит тому, что в таблице 225 клеток.


19. Ответ. а) Да.

б) Да.

Решение.

а) Выворачиваем первую лампочку, вворачиваем годную, если гирлянда не горит, то первая лампочка – годная и перегорела какая-то другая, выворачиваем годную, вворачиваем первую. Итого, 10+10+10+10=40 секунд на одну лампочку. На 9 лампочек: секунд. На десятую лампочку требуется только 20 секунд (вывернуть ее и ввернуть годную). Всего будет потрачено 380 секунд (или меньше, если перегоревшая лампочка обнаружится раньше), что меньше 10 минут.

б) Выворачиваем первую лампочку, вворачиваем годную (20 секунд). Если гирлянда не горит, то первая лампочка – годная. Выворачиваем вторую лампочку, вворачиваем первую (20 секунд) и т.д. Всего времени будет потрачено секунд (или меньше), что меньше 5 минут.



20. Ответ.15 км.

Решение.

Рассмотрим какую-нибудь табличку. Пусть на одной стороне написано км, тогда на другой будет написано км, где - расстояние между селами. Если НОД=3, то делится на 3. Аналогично получаем, что делится на 5, т.е. расстояние от Ёлкино до Палкино равно км. Если , то найдется столб с табличкой, на сторонах которой написаны числа и , НОД которых равен 15, что противоречит условию. Нетрудно убедиться, что число 15 удовлетворяет условиям задачи.


21. Ответ. Может.

Решение.

Например, , но


22. Ответ. Леня прав.

Решение.

Пусть исходное число .

Так как получилась разность, равная нулю, то - простое (иначе произведение всех делителей этого числа было бы больше самого числа). Докажем, что при - составное число.




Т.е. число делится на (причем при ). Значит, не может быть простым и, следовательно, Люся ошиблась.

23. Доказательство.

Пусть a – сторона квадрата и длина каждого из прямоугольников, b – ширина одного прямоугольника, с – ширина другого прямоугольника (bc). Тогда имеем:

, где - целое положительное число.

Заменяя a на b + с, после преобразований получаем:

,

откуда следует, что k 2.


  1. k=2. Тогда 3c = 0, что невозможно.

  2. =1. Тогда с = b, что и требовалось доказать.


24
. Ответ. Выигрывает второй.

Решение.

Второй игрок может добиться того, чтобы число делилось на 1001 – для этого достаточно разбить все 12 мест на пары.


25. Решение.

Заметим, что между клетками одного цвета обязательно должен пройти разрез, и получим решение:















































2

















3














































4












































1






































































































































































4







2































3




























1









26. Ответ. 8 км.

Решение.

За один час шпионы проползают вместе 5 км, т.е. встретятся они через 2 часа. Комар летает со скоростью 4 км/час, следовательно, за два часа он пролетит 8 км.



<< предыдущая страница   следующая страница >>