litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 ... 4 5



Бухмиров В.В. Лекции по ТМО декабрь, 2008_часть2_в7


РАЗДЕЛ 3. Конвективный теплообмен в однофазных средах


§3.1. Основные понятия и определения


Конвекция теплоты осуществляется за счет перемещения макрообъемов среды из области с одной температурой в область с другой температурой. Конвекция протекает совместно с процессом теплопроводности. Сочетание конвекции и теплопроводности, наблюдаемое в текучих средах, называют конвективным теплообменом. Поэтому плотность теплового потока при конвективном теплообмене рассчитывается по формуле:

,

где – плотность теплового потока при конвективном теплообмене, Вт/м2; – плотность теплового потока при кондуктивном (за счет теплопроводности) теплообмене, Вт/м2; – плотность теплового потока за счет конвекции текучей среды, Вт/м2; – коэффициент теплопроводности флюида, Вт/(м2·К); – градиент температур, К/м; – плотность флюида, кг/м3; – скорость движения флюида, м/с; – удельная энтальпия флюида, Дж/кг; T – температура, ºC или К.

Таким образом, для расчета теплового потока, передаваемого в неизотермической текучей среде необходимо предварительно рассчитать температурное поле и поле скорости.



В зависимости от причины, вызывающей движение текучей среды, различают конвекцию при вынужденном движении или вынужденную конвекцию и конвекцию при свободном движении или свободную конвекцию. При вынужденной конвекции движение текучей среды происходит под действием внешней силы – разности давлений в потоке, которую создает какое-либо транспортирующее флюид устройство, например, вентилятор, насос и т.п. При свободной конвекции движение среды происходит без приложения внешней силы, а вследствие разности плотностей различных объемов среды, которая может возникать из-за переменного поля температуры, т.к. плотность . Переменное поле температур вызывает переменное поле плотности и, вследствие этого, в поле земного тяготения происходит перемещение масс с разной плотностью ( легкие слои поднимаются вверх, тяжелые опускаются вниз). В этом случае говорят о свободной тепловой или естественной конвекции. Заметим, что переменная по объему плотность текучей среды может быть создана и путем механического перемешивания сред с различной плотностью (например, при продувке жидкой стальной ванны кислородом).


По интенсивности движения различают два основных режима течения: ламинарный и турбулентный. Для большинства флюидов существует и переходный от ламинарного к турбулентному режим течения.

Признаки ламинарного режима течения:

— частицы среды движутся по плавным взаимно непересекающимся траекториям;

— параметры течения (температура, скорость, давление и концентрация примесей) являются гладкими функциями координат и времени;

—перенос субстанции (теплоты, импульса и массы) осуществляется за счет взаимодействия микрочастиц среды (атомов, молекул, ионов и т. п.). Поэтому коэффициенты переноса субстанции (коэффициент температуропроводности, коэффициент кинематической вязкости и коэффициент диффузии) являются физическими характеристиками вещества. Коэффициенты переноса субстанции для разных веществ определяют экспериментально и приводят в справочных таблицах в зависимости от температуры.


Признаки турбулентного режима течения:

— частицы среды движутся по сложным, ломаным, взаимно пересекающимся траекториям;

— параметры течения (температура, скорость, давление и концентрация примесей) являются пульсирующими функциями координат и времени;

—перенос субстанции (теплоты, импульса и массы) осуществляется за счет взаимодействия макрообъемов среды (турбулентных молей). Поэтому коэффициенты переноса субстанции (коэффициент температуропроводности, коэффициент кинематической вязкости и коэффициент диффузии) зависят от самого режима движения и не являются физическими характеристиками вещества. Коэффициенты турбулентного переноса субстанции рассчитывают по, так называемым, полуэмпирическим моделям турбулентности, изучение которых выходит за рамки нашего краткого курса.


Существование ламинарного или турбулентного режима течения зависит от соотношения двух сил, действующих в текучей среде: силы инерции ()и силы трения (). При условии имеет место ламинарный режим течения и, соответственно, наоборот, при – турбулентный режим.


§3.2. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена


В общем случае однофазная химически однородная текучая среда характеризуется:


  1. полем температуры скалярное поле;

  2. полем скорости – векторное поле;
  3. полем давления – скалярное поле,


где xi – ортогональная система координат (например, для декартовой системы координат ); – время. При этом физические свойства среды (плотность, коэффициенты вязкости, коэффициент теплопроводности) должны быть известны.

Для расчета температуры, давления и, в общем случае, трех составляющих вектора скорости необходимо решить пять дифференциальных уравнений:

— дифференциальное уравнение переноса энергии в текучей среде – уравнение Фурье-Кирхгофа;

— три дифференциальных уравнения переноса импульса в текучей среде – уравнения Навье - Стокса;

— дифференциальное уравнение неразрывности или сплошности.


Дифференциальное уравнение Фурье-Кирхгофа


В векторном виде уравнение переноса энергии в текучей среде имеет вид:

,

где – слагаемое в правой части уравнения энергии, которое отражает нестационарность процесса теплообмена; – конвективный член уравнения энергии – учитывает перенос теплоты за счет движения среды; – диффузионный член уравнения – учитывает перенос теплоты теплопроводностью; – источниковый член уравнения – учитывает поступление или убыль энергии за счет действия внутренних источников или стоков теплоты; – слагаемое уравнения энергии, учитывающее нагрев среды вследствие диссипации кинетической энергии движения за счет трения; – динамический коэффициент вязкости; Ф – диссипативная функция; – слагаемое уравнения энергии, учитывающее изменение энергии флюида при его сжатии или расширении.


Последние два слагаемых в уравнении переноса энергии в значительной степени зависят от скорости движения и для скоростей менее 100 м/с, характерных для энергетических и теплотехнологических агрегатов, в расчетах теплообмена не учитываются в силу их малости. Принимая допущение о независимости физических свойств среды от температуры и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение Фурье-Кирхгофа принимает вид:

,

где – коэффициент температуропроводности текучей среды, м2/с; ρ – плотность, кг/м3; с – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг·К).

Заметим, что для неподвижной среды () уравнение Фурье-Кирхгофа переходит в уравнение теплопроводности – уравнение Фурье.

Для решения уравнения Фурье-Кирхгофа необходимо предварительно рассчитать поле скорости, решив уравнения Навье - Стокса.


Дифференциальные уравнения движения текучей среды

(уравнения Навье - Стокса)


Вывод уравнений Навье–Стокса основан на законе сохранения количества движения для фиксированной массы М текучей среды, согласно которому изменение импульса равно сумме внешних сил, действующих на элементарный объем массой М:

,

где – импульс, кг·м/с; – внешние силы, действующие на элементарный объем флюида, Н.

Запишем без вывода уравнения Навье – Стокса в векторной форме для текучих сред с постоянной плотностью:

.


В этом случае уравнение неразрывности принимает вид:



В уравнении движения текучей среды все слагаемые имеют размерность [Н/кг] и представляют собой массовую плотность силы: – нестационарный член уравнения, имеющий смысл локальной силы; – конвективный член уравнения – характеризует силу инерции; – слагаемое, имеющее смысл объемной или массовой силы (силы тяжести); – характеризует силу давления; – диффузионный член уравнения – характеризует силу трения.

Замечание. Знак можно читать, как «соответствует» или «характеризует».


Условия однозначности, необходимые для решения системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена


Для выделения единственного решения необходимо задать:

— геометрию расчетной области, ее размеры и время процесса;

— физические свойства текучей среды;

— закон изменения внутренних источников теплоты (в частном случае );

— начальные и граничные условия.

Начальные условия определяют распределение температуры, скорости, и давления в начальный момент времени процесса конвективного теплообмена во всей расчетной области






Граничные условия для уравнения энергии могут иметь вид граничных условий I, II, III и IV родов на твердых ограничивающих течение флюида поверхностях. Например, граничные условия IV рода в этом случае имеют вид

,

где – коэффициенты теплопроводности ограждений и флюида; n – нормаль к, ограждающей поток, поверхности.

Скорость на твердых, ограничивающих текучую среду поверхностях, равна нулю в силу условия прилипания. На свободных поверхностях расчетной области скорость должна быть, либо задана, либо рассчитана в ходе итерационного процесса.

Для расчета поля давления на твердых ограничивающих поверхностях, как правило, задают граничное условие:

.

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена с соответствующими условиями однозначности пока не получено. В настоящее время для моделирования теплообмена в текучих средах применяют численные методы решения вышеуказанной системы дифференциальных уравнений, оформленные в виде вычислительных комплексов (пакетов прикладных программ), изучение которых далеко выходит за рамки нашего курса. Однако, не решая систему уравнений конвективного теплообмена, мы ее тем не менее будем использовать при изучении экспериментального метода расчета конвективного теплообмена, основанного на теории подобия физических процессов.


§3.3. Основные положения теории подобия

При расчете и проектировании теплообменных устройств, как правило, требуется рассчитать тепловой поток при конвективной теплоотдаче от флюида к стенке или, наоборот, от стенки к флюиду. Как мы уже знаем (см. раздел 1), в этом случае тепловой поток находят по закону теплоотдачи, который в 1701 году предложил великий английский ученый Исаак Ньютон:


или ,

где – модуль разности температур между стенкой и флюидом, оС (К); ); Tw – температура поверхности теплообмена (стенки), оС (К); Tf – температура текучей среды (флюида) вдали от стенки, оС (К);Q – тепловой поток, Вт; q = Q/F – поверхностная плотность теплового потока, Вт/м2; F – площадь поверхности теплообмена (площадь поверхности стенки), м2;  – средний коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К).

При заданных геометрических размерах системы теплообмена, температурах стенки и текучей среды задача расчета теплового потока сводится к определению коэффициента теплоотдачи (). Заметим, что коэффициент теплоотдачи не имеет физического смысла и выступает в роли коэффициента пропорциональности в законе теплоотдачи Ньютона. Из анализа закона Ньютона следует, что численно равен тепловому потоку с 1 м2 поверхности теплообмена при разности температур между стенкой и текучей средой в один градус ( или ).

Коэффициент теплоотдачи находят, используя закон Ньютона, определив экспериментально тепловой поток и разность температур:

.


В этом случае для сложных систем теплообмена необходимо, в принципе, выполнить бесконечное множество экспериментов, поскольку коэффициент теплоотдачи зависит от многих параметров: координат, скорости, температуры, физических свойств среды и т.д.:

.

Для уменьшения числа независимых переменных была разработана теория подобия. Теория подобия также дает правила моделирования и позволяет распространить результаты ограниченного числа экспериментов на группу подобных явлений. Теория подобия базируется на трех положениях теоремы Кирпичева-Гухмана:


  1. Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу.

  2. В модели и объекте моделирования (образце) должно выполняться подобие условий однозначности, а именно: геометрическое подобие, кинематическое подобие (подобие скоростей), динамическое (подобие сил), тепловое подобие (подобие температурных полей и тепловых потоков).

  3. В модели и объекте моделирования (образце) определяющие критерии должна быть равны. В этом случае равны и определяемые критерии.

Критерий – безразмерный комплекс, который характеризует отношение физических эффектов, но не является этим отношением. Другими словами критерий представляет собой меру отношения физических эффектов. Определяемые критерии также называют числами подобия.

Все критерии можно разделить на две основные группы: определяемые и определяющие. Определяемые критерии находят из эксперимента, а от определяющих критериев зависит результат эксперимента. Существует и группа независимых критериев или параметров, к которым следует отнести безразмерные координаты и безразмерное время. Однако в обратных задачах конвективного теплообмена безразмерное время может быть определяемым критерием.

Любая комбинация критериев является тоже критерием.


Если процесс течения и теплообмена не зависит от какого-либо критерия, то этот процесс называют автомодельным (независимым) по отношению к этому критерию.


Определяемые критерии конвективного теплообмена


Пусть флюид (f) омывает стенку произвольной формы (w). Вблизи стенки возникают гидродинамический и тепловой пограничные слои. Внутри гидродинамического пограничного слоя скорость флюида уменьшается от скорости невозмущенного потока (w0) до нуля на стенке () в силу условия прилипания. В тепловом пограничном слое происходит изменение температуры от T0 – температуры за пределами пограничного слоя до Tw – температуры стенки. Пограничный слой имеет сложную структуру, которая описана в специальной литературе, например []. Для нас важно, что в области теплового пограничного слоя, непосредственно примыкающей к стенке, теплота передается только теплопроводностью. Тогда по закону Фурье:

,

где – коэффициент теплопроводности текучей среды.

Наиболее часто в инженерных расчетах конвективного теплообмена для расчета безразмерного коэффициента теплоотдачи используют критерий Нуссельта (Нуссельт) и критерий Стантона (Стантон).




Рис. 3.1. К выводу критерия Нуссельта


Нуссельт характеризует отношение двух форм представления теплового потока, которым обмениваются флюид и стенка. Получим число Nu как отношение тепловых потоков:

,

где – плотность теплового потока конвективной теплоотдачей, рассчитываемая по закону теплоотдачи Ньютона, а – плотность теплового потока кондукцией в теплопроводной части пограничного слоя, рассчитываемая по закону Фурье. Учитывая, что градиент температур () прямо пропорционален отношению () окончательно получим выражение критерия Нуссельта:





где R0 – определяющий или характерный размер в системе теплообмена, м; – коэффициент теплопроводности текучей среды, Вт/(м∙К).

Критерий Нуссельта характеризует отношение плотности теплового потока конвективной теплоотдачей к плотности теплового потока кондукцией в слое текучей среды вблизи стенки.

Без вывода запишем критерий Стантона или Стантон:

,

где – плотность флюида, кг/м3; ср – изобарная теплоемкость, Дж/(кгК); Pe – критерий Пекле – критерий теплового подобия.

К группе определяемых критериев также относят критерий Эйлера (безразмерную силу давления) или Эйлер:

,

который характеризует отношение силы давления к силе инерции или отношение энергии давления к кинетической энергии потока.

Замечание. Формально запись критерия Нуссельта
и критерия Биó совпадают. Действительно: – критерий Биó и – критерий Нуссельта.

Однако можно выделить три принципиальных отличия этих критериев подобия:

— во-первых, Биó относится к группе определяющих критериев, а Нуссельт – к группе определяемых критериев;

— во-вторых, в критерий Биó входит коэффициент теплопроводности твердого тела, а в критерий Нуссельта коэффициент теплопроводности текучей среды;


— в-третьих, определяющие размеры , входящие в оба критерия имеют разный смысл и разное значение, поскольку характеризуют разные расчетные области теплообмена.


Определяющие критерии конвективного теплообмена


Для вывода определяющих критериев конвективного теплообмена, запишем систему дифференциальных уравнений конвективного теплообмена в векторной форме:

;



Зададим базовые или определяющие параметры расчетной области конвективного теплообмена, которые характеризуют условия однозначности краевой задачи конвективного теплообмена:

— определяющий размер – ;

—время процесса в нестационарных задачах конвективного теплообмена – ;

— определяющую температуру – ;

— определяющую скорость – ;

— давление флюида – ;

— физические свойства флюида, взятые из справочника при определяющей температуре: плотность, – коэффициент температуропроводности, – кинематический коэффициент вязкости).


Критерии теплового подобия получим отношением всех слагаемых уравнения Фурье-Кирхгофа к диффузионному члену уравнения, который моделирует перенос теплоты теплопроводностью или кондукцией. Отношение локального теплового потока, который характеризует изменение энтальпии элементарного объема, к кондуктивному тепловому потоку дает:

,

где – критерий Фурье – безразмерное время в задачах теплообмена.

Отнесем конвективный тепловой поток к кондуктивному тепловому потоку и получим определяющий критерий теплового подобия – критерий Пеклé:

.

Т.о. критерий Пеклé характеризует отношение теплового потока, переданного конвекцией к кондуктивному тепловому потоку в данной расчетной области теплообмена.

Критерии гидродинамического подобия получим отношением членов уравнения Навье–Стокса к конвективному члену уравнения, который моделирует силу инерции.

Найдем отношение локальной силы к силе инерции:

,

где – критерий гомохронности (однородности во времени) – характеризует отношение силы инерции к локальной силе (безразмерное время в задачах движения текучей среды).

Три силы, стоящие в правой части уравнения Навье–Стокса (fg, fp, fтр) также отнесем к силе инерции. Получим:

;

;


.

В вышеприведенных формулах:

– критерий Фруда или Фруд – характеризует отношение силы тяжести (гравитационной силы) к силе инерции;

– критерий Эйлера или Эйлер – характеризует отношение силы давления к силе инерции;

– критерий Рéйнольдса или Рéйнольдс (критерий динамического подобия) – характеризует отношение силы инерции к силе трения. По значению критерия Рейнольдса (Re) судят о режиме течения флюида при вынужденной конвекции.

В правой части уравнений Навье–Стокса стоят три критерия: Fr, Eu и Re, два из которых критерия однозначно определяют третий критерий. При моделировании, как правило, cчитают Fr и Re определяющими критериями, а Eu – определяемым критерием.

При решении задач теплообмена при свободной конвекции скорость течения флюида определить довольно сложно, поэтому ее исключают из критериев подобия и учитывают косвенно, рассчитывая гравитационную силу, возникающую из-за переменного поля плотности в неоднородном поле температур. В этом случае используют критерии Галлилея (Ga), Архимеда (Ar), Грасгофа (Gr) и Рэлея (Ra).

Используя правило о том, что комбинация критериев представляет собой тоже критерий, получим:

,

где Ga – критерий Галилея, который характеризует отношение силы тяжести к силе вязкого трения:

.


Для учета свободной конвекции, возникающей из-за переменной плотности в данном объеме, умножим критерий Галлилея (Ga) на параметрический критерий и получим критерий Архимеда:

,

где – изменение плотности флюида, а – значение плотности флюида при определяющей температуре .

Критерий Архимеда характеризует отношение подъемной силы из-за разности плотностей к силе вязкого трения.

Если переменная плотность среды возникает вследствие процесса теплообмена, то и критерий Архимеда переходит в критерий Грасгофа:

,

где – модуль разности температур между стенкой и флюидом, °C (K); – коэффициент объемного расширения флюида, 1/K.

Т.о. критерий Грасгофа является частным случаем критерия Архимеда и характеризует отношение термо-гравитационной силы к силе вязкого трения.

Замечание. Коэффициент объемного расширения капельных жидкостей приведен в справочниках в зависимости от температуры флюида, а для газов его рассчитывают по формуле:

,

где – определяющая температура в Кельвинах!


По величине критерия Gr судят о режиме течения в задачах теплообмена при свободной конвекции для конкретного флюида.

Для обобщения экспериментальных данных о режиме течения флюидов разной физической природы используют критерий Рэлея:


,


где – критерий Прандтля:

.


Критерий Прандтля представляет собой отношение двух характеристик молекулярного переноса импульса () и теплоты (a) и является физическим параметром среды, значение которого приводят в справочниках в зависимости от температуры.

По величине критерия Прандтля (Pr) все текучие среды можно разделить на три группы:

— Pr << 1 – жидкие металлы;

— Pr 1 – газы;

— Pr > 1 – вода, минеральные масла и органические жидкости.


Уравнения подобия


Функциональную связь между определяемыми и определяющими критериями называют уравнениями подобия. Для расчета безразмерного коэффициента теплоотдачи – критерия Нуссельта в стационарных задачах конвективного теплообмена используют следующие уравнения подобия:

– свободная конвекция;

– вынужденная конвекция (ламинарный режим течения);

– вынужденная конвекция (переходный и турбулентный режимы течения),


где – среднее по всей поверхности теплообмена значение критерия Нуссельта.

Уравнения подобия получают в два этапа. На первом этапе строят физическую модель процесса, соблюдая правила моделирования, и выполняют эксперимент на модели. В модели и объекте моделирования добиваются равенства определяющих критериев. Например:

и т.д.,

где индекс "мод" означает "модель", а индекс "обр" – "образец" или объект моделирования.

На втором этапе моделирования выполняют статистическую обработку результатов эксперимента, рассчитывают коэффициент теплоотдачи по закону Ньютона и получают конкретный вид уравнений подобия или т.н. критериальные уравнения, используя правило теории подобия:

или .

При построении модели и обработке результатов эксперимента в виде критериальных формул необходимо задать определяющие параметры, которые прямо или косвенно входят в критерии подобия. В стационарных задачах конвективного теплообмена к определяющим параметрам относят: определяющий размер (), определяющую температуру () и в задачах вынужденной конвекции – определяющую скорость (w0). Теория подобия не дает однозначного ответа на вопрос: "Какие величины принимать в качестве определяющих параметров?" Поэтому эту задачу решает сам ученый – автор критериального уравнения.

В качестве определяющего размера принимают тот размер системы конвективного теплообмена, от которого зависит конвекция. Например, при свободной конвекции около вертикальных поверхностей в качестве логично принять высоту объекта (), а при вынужденном течении в трубах – внутренний диаметр трубы ().


В качестве определяющей температуры, как правило, принимают температуру, которую несложно измерить или рассчитать. За определяющую температуру чаще всего принимают средние температуры в системе теплообмена (в трубах и каналах, в трубных пучках и т.д.) – , температуру флюида за пределами теплового пограничного слоя – и среднюю температуру пограничного слоя – .

Определяющую скорость находят из уравнения неразрывности:

,

где G – расход флюида, кг/c; – плотность, кг/м3; f – площадь поперечного сечения для прохода теплоносителя, м2.

Внимание! При использовании критериальных уравнений определяющие параметры необходимо принимать точно так же, как это сделал автор формулы. Назначенные автором характерные или определяющие параметры , и указывают в комментариях к критериальной формуле.

Конкретный вид функциональной зависимости в уравнениях подобия задает ученый – автор формулы. В принципе для аппроксимации экспериментальных данных можно использовать любую полиноминальную зависимость. В отечественной литературе, как правило, в качестве аппроксимирующих уравнений применяют степенные функции вида:

– свободная конвекция;


– вынужденная конвекция (ламинарный режим течения);

– вынужденная конвекция (переходный и турбулентный режимы течения),

где с, n, m, k – эмпирические коэффициенты, которые находят путем статистической обработки экспериментальных данных; – поправка, учитывающая зависимость физических свойств флюида от температуры; – поправка, учитывающая особенности течения и теплообмена в заданной системе тел.



следующая страница >>