litceysel.ru
добавить свой файл
1
УДК 532.526, 532.529


Д.И. Попов, Р.М. Утемесов

Мажоранты правой границы спектра в задаче об устойчивости параллельного течения двухфазной жидкости.

Получены оценки собственных чисел с наибольшей действительной частью в задаче об устойчивости внутреннего параллельного течения двухфазной жидкости. Качественно и численно описано влияние свойств смеси и режима течения на условия, определяющие правую границу спектра. Д.И. Попов, Р.М. Утемесов Мажоранты правой границы спектра в задаче об устойчивости параллельного течения двухфазной жидкости.

The estimations of eigen values with maximum real part in the stability problem of inner parallel flow of two-phase mixture are obtained. The effect of mixture properties and flow regime on conditions, defining right bound of spectra, is qualitatively and numerically concerned. D.I. Popov, R.M. Utemesov The estimations of right bound of spectra of the problem of two-phase parallel flow stability.

Ключевые слова: устойчивость параллельных течений, монодисперсная смесь, показатели Ляпунова.

Key words: parallel flow stability, monodisperse mixture, Lyapunov’s exponents

Введение. Теория уравнений Навье-Стокса в гильбертовых пространствах является вполне сформировавшейся, а полученные результаты предоставляют мощный инструментарий для решения различных предельных задач гидродинамики [1-3], особенно в двумерном случае. Например, в случае уравнения Орра-Зоммерфельда характер локализации собственных значений на плоскости известен в аналитической форме [4]. В случае многоскоростных, в частности, двухфазных течений, многие вопросы остаются открытыми. Например, результаты исследования устойчивости параллельных течений монодисперсной смеси методом нормальных мод (см. [5,6]) указывают на тот факт, что правая граница спектра, определяемая показателями Ляпунова с максимальной действительной частью, при некоторых значениях параметров задачи значительно смещается в левую полуплоскость. В этом случае говорят о повышении порога устойчивости.


Модельная задача. Будем задавать профиль сдвигового течения в двумерном плоскопараллельном канале в виде

.

Здесь  – орты декартовой системы координат. Решение задано в прямоугольной области , . Достаточные условия устойчивости некоторой неподвижной точки динамической системы, определяемой уравнениями движения монодисперсной смеси, необходимо приводят к следующей краевой задаче:

,

, , .

(1)

Здесь  – комплексное число, показатели экспонент Ляпунова [7]. Величина =SR () – безразмерное время стоксовой скоростной релаксации;  – число Рейнольдса;  – параметр, определяющий степень дисперсности примеси;  – обезразмеренная массовая плотность примеси (далее считается постоянной величиной, ). В случае будем говорить об уравнениях (2) с граничными условиями, как о спектральной задаче , на полном нормированном пространстве для оператора , вообще говоря, неограниченного. Для общей неоднородной задачи положим  и . Теперь соотношение (1) можно переписать, сохраняя обозначения при замене знака, в виде


,

(2)

заданного на некотором нормированном пространстве  ( – проектор в ) с нормой и скалярным произведением следующего вида:

, .

Здесь ,  – пары такие, что , , , , где штрих обозначает топологически сопряженное. Известно, что такому выбору нормировки соответствует равенство .

Функциональные пространства. Рассмотрим следующие обозначения:

, ,

оснащенные соответствующей нормой

.


Если весовая функция , то соответствующий индекс не указывается. Рассмотрим декартовы произведения

, ,

соответствующих пространств, оснащенных надлежащими нормами и скалярными произведениями. Определим следующие пространства:

,

.

Известно (см. [2,3]), что . Таким образом, областью определения оператора в соотношении (2) будет следующее множество:

.

Условие для  можно ослабить следующим образом:

.

Далее будут рассматриваться элементы, удовлетворяющие первому условию. Видно, что  всюду плотно в в первом и во втором случаях. Откуда сразу следует, что оператор  замыкаем в . Снабдим пространство скалярным произведением . Для величины , , , несложно получить следующее выражение:


, .

Здесь через обозначен интеграл Дирихле. Положим , тогда

.

Откуда следует оценка для величины 

.

Пусть компоненты вектора  – функции класса , тогда, используя свойства интеграла Лебега, для величины можно записать

,

, , .

Для оценки величины воспользуемся соотношением, справедливым для элементов ,

.

Отсюда легко получить следующую оценку:

, , .


Таким образом, установлено, что спектр целиком содержится в некоторой полуплоскости, расположенной левее прямой . Более того для функций класса справедливо отношение

.

Откуда можно по непрерывности получить следующую оценку:

.

Таким образом, спектр оператора  целиком содержится внутри полуполосы расширенной комплексной плоскости.

Дискретность спектра. В методе нормальных мод к уравнениям (2) применяется преобразование Фурье по однородной координате. Условие несжимаемости в двумерном случае непременно приводит к аналитичности решения , с условиями на границе . При этом поле скоростей в несущей фазе связано с полем скоростей в дисперсной посредством отображения , где  –фурье-трансформанта соответствующей производной. Видно, что отображение  определено для всех функций из и для всех точек комплексной плоскости, кроме множества

.

Тогда систему (2) можно записать в виде


.

(3)

Определим следующие обозначения:

, , .

Тогда, используя выражение для , получим

.

(4)

В вариационная форме соотношение (4) для пучка T(z) будет определено на элементах класса , где . Оператор T(z) замкнут, а резольвента пучка T(z) вполне непрерывна. Действительно, положим , а величину возьмем столь малой, чтобы (для этого ). В результате для некоторого (регулярной точки оператора , описывающего задачу Орра-Зоммерфельда [8]) можно записать

. (5)

Здесь голоморфный по  ограниченный оператор, – константа, а с . Тогда, применяя результаты теорем об устойчивости замкнутости, получим, что оператор  замкнут. Отметим, что ограниченность  в представлении (5) явилась следствием того, что в уравнении (3) мы пренебрегли слагаемыми порядка  при операторе . Если же в выражении для  оставить слагаемые порядка , то , где – ограниченный оператор. Тогда оператор будет ограничен относительно , и в виду малости  можно применить результат теоремы об устойчивости замкнутости. Следует так же отметить, что в случае, когда оператор ограничен, выбором  можно добиться, чтобы <1. Тогда ограниченно обратим одновременно с для всех  из некоторой компактной подобласти комплексной плоскости за исключением изолированных особых точек. Более того, вполне непрерывен вместе с (рассматриваемый как резольвента оператора ). Очевидно, что аналогичный результат будет справедлив и для оператора . Далее свойства замкнутости и полной непрерывности резольвенты пучка можно установить, используя принцип продолжения по непрерывности относительно параметра .


Каждый оператор в уравнении (4) при некоторой степени t замкнут на классе функций . Более того каждый оператор в (4) имеет плотную в область определения, которую непрерывно отображает в . Функция  является ограниченной, как непрерывная с производными функция конечной вариации, и имеет ограниченный обратный в некоторой полуплоскости. Таким образом, уравнением (4) действительно определен голоморфный пучок замкнутых операторов T(z). Теперь, применяя аналог теоремы Аткинсона [9] для пучка замкнутых операторов, можно заключить о существовании дискретной компоненты в точечном спектре задачи. Однако, помимо дискретной составляющей, спектру будет принадлежать и множество .

Области знакопостоянства характеристических чисел. Рассмотрим полуторалинейные формы , ассоциированные с операторами пучка (4), в гильбертовом пространстве . Несложно установить, что соответствующие формы плотно определены в . Более того форма, ассоциированная с пучком (4), является секториальной [9]. Используя определение полуторалинейных форм, несложно получить многочлен четвертой степени относительно характеристического числа x (здесь применяется подстановка x=z+1)

, где

, ,


,

,



.

Здесь . Действительно, справедливы следующие соотношения:

.

Положим , тогда . Величины , поскольку замкнутая форма является ограниченной на любом конечномерном подпространстве. Таким образом, можно переписать в виде или, используя подстановку , . Выделим полный квадрат следующим образом:

.

Далее примем . Параметр s можно выбрать так, чтобы выполнялось для некоторого . Пусть, например, , тогда . Согласно теореме Руше функции f и h, где , имеют одинаковое число корней внутри области, ограниченной замкнутым контуром, в точках которого . Важным вопросом является характер расположения такого контура на комплексной плоскости, а, именно, контур следует подбирать из условий таких, чтобы характеристические числа z надежно были локализованы в левой полуплоскости. Целая функция имеет два кратных корня, расположенных на круге радиусом . Таким образом, внутри полуплоскости найдется искомый контур. Далее, вспоминая принятые замены переменных, несложно получить аналогичные условия для z-плоскости . Отсюда следует необходимое отношение


.

Однако определение величины w с помощью коэффициентов невероятно громоздко. Величина является знакоопределенной и имеет одинаковый порядок с величиной , где

.

Поэтому справедлива оценка , где M– константа. Таким образом, получаем следующее трансцендентное отношение, которое в определенном смысле усиливает предыдущее условие:

или .

Вспоминая выражение для величин , и , перепишем при полученное условие следующим образом:

, (6)

где , .

Здесь приняты следующие обозначения:

, , , , ,


, ,

.

При этом справедливы следующие оценки:

,

, , где , .

Учитывая эти оценки, можно вполне избавить себя от необходимости оперировать элементами . Вместо этого в нашем распоряжении оказались дополнительные вещественные параметры– числовые значения соответствующих функционалов. В частности, можно принять условие, определяемое каким-либо видом нормировки собственных элементов. Таким образом, условие (6) перепишется в виде

(7)

Числовое значение мажорирует максимальную величину Re{z} в спектре. Минимизация производится элементах . Полученное отношение полезно для определения интервала значений чисел Рейнольдса, при которых будут выполняться условия устойчивости, если рассматривать левую часть (7) в качестве полинома второй степени относительно параметра . Рассмотрим соответствующий дискриминант


.

Очевидно, что полином всегда будет иметь вещественные корни. Поэтому гарантированно будут наблюдаться различные режимы устойчивости и ее смена. Возможны несколько вариантов: во-первых, корни имеют различные знаки– этому соответствует классический переход от устойчивости к неустойвости; во-вторых, два положительных корня– в этом случае будем говорить об “окне” (в дальнейшем, “островке”) устойчивости; в-третьих, все остальные. Когда парабола (7) касается своей вершиною оси абсцисс, наблюдается нейтральная устойчивость.

Отношение (7) выражает условие знакоопределенности некоторого функционала, для этого достаточно рассмотреть мажоранту . Вспоминая выражение для и используя отношение , без труда получим следующие оценки:

, .

В результате мажоранту можно представить в виде произведения двух действительных квадратичных форм , где

– положительно определенная квадратичная форма.

Коэффициенты записываются следующим образом:

, ,


, , , , .

Форма является положительно определенной, что следует из неравенств

, . (8)

Вещественные постоянные  подбираются из требования

.

Однако последнее условие может оказаться излишним, тогда . Левая часть неравенств (8) позволяет в параметрической форме задать соотношения между характеристиками потока. В качестве параметра выступает величина . Несложно установить, что левая часть второго отношения (8) представлена многочленом  четвертой степени относительно величины  с действительными коэффициентами. В таких случаях существует достаточно много способов определения числа вещественных корней. Мы не станем останавливаться на представление подобных условий в аналитической форме. Скажем лишь то, что области знакоопределенности многочлена выявлялись наиболее простым графическим способом. Обнаружено, что при определенных реальных значениях параметров потока у функции наблюдается более двух областей знакопостоянства.


Заключение. Нами полностью рассмотрена спектральная задача для уравненений движения монодисперсной смеси. Установлена область комплексной плоскости, содержащая спектр. Для задачи об устойчивости внутреннего параллельного течения двухфазной жидкости установлено, что наряду с точечным множеством, представленным дискретными собственными числами, в спектре наблюдается непрерывное множество . Установлено, что зависимость действительной части наиболее опастной моды от параметров задачи имеет такую форму, что может наблюдаться неоднократная смена режимов устойчивости. Рисунками 1-4 продемонстрированы численные результаты, описывающие как возможность сильного усиления диссипации за счет примеси (см. рис.1), так и смену режимов устойчивости при различных значениях параметров задачи (см. рис. 2-4).

Работа выполнена в рамках программы “Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области механики” (2009-2013) No 2010-1.1-112-129-003.


Библиографический список


[1] Foias C., Manley O., Rosa R., Temam R. Navier–Stokes Equations and Turbulence.– Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

[2] Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. – М.: Мир, 1981.

[3] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1970.

[4] Шкаликов А.А. спектральные портреты уравнения Орра-Зоммерфельда при больших числах Рейнольдса // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2003.– том 3.– С. 89–112.

[5] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. – М.: Наука, 1989.

[6] Никитенко Н. Г., Сагалаков А. М., Попов Д. И. О достаточных условиях устойчивости течения Куэтта−Пуазейля монодисперсной смеси // Теплофизика и аэромеханика. 2011. № 2. С. 233–243.

[7] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1970.


[8] Drazin P. G. & Reid W. R. Hydrodynamic stability. – Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

[9] Като Т. Теория возмущения линейных операторов. – М.: Мир, 1972.




Рисунок 1. Зависимость критического числа Рейнольдса от параметра при . A=: 1- 0.01; 2- 0.025; 3- 0.045; 4- 0.2.



Рисунок 2. Зависимость максимум величины для первой моды спектра от значения числа Рейнольдса. : 0-чистая жидкость; 1- 0.1; 2- 0.15; 3- 0.17; 4- 0.2.



Рисунок 3. То же. A=: 1- 0.01; 2- 0.015; 3- 0.017; 4- 0.022; 5- 0.035; 6- 0.043; 7- 0.07; 8- 0.1.




Рисунок 4. То же. S=: 0-чистая жидкость; 1- 1.E-6; 2- 3.E-6; 3- 5.E-6; 4- 1.5E-5; 5-2.E-5; 6- 5.E-5; 7- 1.E-4; 8- 1.E-3.


Попов Дмитрий Иванович, к.ф.-м.н., ведущий инженер, каф. Общей и Экспериментальной физики физико-технического факультета АГУ.

Утемесов Равиль Муратович, к.т.н., старший преподаватель, каф. Общей и Экспериментальной физики физико-технического факультета АГУ.