litceysel.ru 1

УДК 519.673 : 532.5


Математическое моделирование движения водного потока

в нижнем бьефе (трехмерная модель)


М.В. Землянникова – канд. техн. наук, доцент

ФГОУ ВПО «Московский государственный университет природообустройства»,

г. Москва, Россия

В.А. Фартуков – канд. техн. наук, доцент

ЗАО «Бюро сервиса и эксплуатации», г. Москва, Россия


Целью математического моделирования 3-мерного движения водного потока в нижнем бьефе является получение пространственной картины течения, характеристик потока (скорости, глубин) как при установившемся режиме, так и в процессе его развития во времени.

Математическая модель представляет собой систему уравнений в частных производных, определяющих законы сохранения (энергии, массы, импульса) и уравнений состояния жидкости [3, 8].

Модель турбулентного тепломассопереноса основана на уравнении Навье – Стокса (закон сохранения импульса), уравнении неразрывности (закон сохранения массы жидкости), закона сохранения энергии, уравнения диффузионного переноса (закон сохранения массы), к-е модели турбулентности, уравнения переноса «концентрации жидкости в воздухе» для цели аппроксимации свободной поверхности [2, 3, 9].

Моделирование трехмерного течения воды в рассматриваемом створе основано на конечно-объемном методе решения уравнений гидродинамики с применением прямоугольной адаптивной сетки и локальным измельчением [4, 5, 6].

Аппроксимация криволинейной геометрии рассчитываемого участка нижнего бьефа с повышенной точностью, основана на применении технологии подсеточного разрешения геометрии, что позволяет импортировать рассчитываемую геометрию (рассчитываемый объект) из систем САПР (система автоматического проектирования), а также обмениваться данными с системами конечно-элементного анализа. Применение этой технологии позволило проводить автоматическую генерацию расчетной сетки.


Моделирование проводилось для трехмерной турбулентной модели потока воды с применением к–е модели турбулентности, переноса скалярных величин и их флуктуаций. Отображение результатов вычислений осуществляется в виде векторов на плоскости или поверхности течения воды. Интегрирование параметров течения жидкости по сечению и поверхности с отображением в виде изолиний, тоновой заливкой.

Процесс расчета течения воды в нижнем бьефе ГЭС производился в следующей последовательности:

cоздание расчетной области (геометрии объекта), то есть построение цифровой модели нижнего бьефа ГЭС;

задание математической модели;

установка граничных условий;

установка расчетной сетки и критериев адаптации ее (сетки) по граничным условиям;

установление параметров метода расчета, определяющего скорость сходимости алгоритма;

выбор шага по времени расчета;

визуализация результатов расчета, определение и сохранение числовых значений характеристик параметров течения;

оценка точности расчетов методом сходимости по сетке.

Задание граничных условий производилась на основе установленных расчетных границ (входное сечение, такие как поверхностный водосброс, турбины, донное водопропускное сооружение), русло реки в нижнем бьефе и выходное сечение (граница расчетной модели по длине).

Входное сечение состоит из трех рассматриваемых участков:

донное водопропускное, здесь задается граничное условие, где скорость втекания воды в расчетную область V ≥ 0;

поверхностный водосброс – граничное условие заключается в задании трех компонент скорости втекания воды в область расчета (Vx, Vy, Vz) – так как в конце конструкции водосброса установлен носок схода под углом 350;

выход из турбин, – здесь граничное условие такое же, как и для донного водовыпуска, то есть значение скорости втекания в расчетную область V ≥ 0.


На выходе из расчетной области. То есть в конце рассматриваемой модели нижнего бьефа ГЭС – ставится условие свободного выхода, иначе - нулевой поток и P/∂n = 0, а давление на границе Р = 0.

Составленная математическая модель движения воды в нижнем бьефе ГЭС представляет собой совокупность уравнений конвективно-диффузионного переноса, которые решаются методом конечных объемов. Производится интегрирование рассчитываемых переменных по объему каждой i-й ячейки расчетной сетки и отрезку времени. Ячейка расчетной сетки имеет форму произвольного многогранника. Решение конвективного – диффузионного переноса осуществляется способом восстановления рассчитываемой переменной в ячейке.

Трехмерное восстановление решается линейной комбинацией трех одноразмерных функций потока жидкости вдоль осей координат X, Y, Z внутри ячейки. Для расчета были применены два способа вычисления:

первый – расчет течения по схеме против потока, имеет первый порядок точности по пространственной переменной (V, h) и дает грубое решение с большой схемной диссипацией, что, в свою очередь, приводит к занижению результатов вычислений (градиентов). Расчет по этой схеме позволил получить максимальную скорость сходимости решения и итерация по времени выполняется значительно быстрее.

Эта схема расчета была применена на предварительных этапах расчета с целью получения первого приближения решения, оценки общего времени расчета и объема вычислений, с последующим расчетом схемой высокого порядка точности. Последующие расчеты проводились схемой высокого порядка точности ступенчатой функцией, принимающей только два значения min и max во всей расчетной области.

Вычисления проводились явным методом расчета, то есть интегрирование проводилось шагом по времени t, значение которого определяется из условий устойчивости вычислительного алгоритма.


Шаг по времени в явном алгоритме определяется условием Куранта-Фридрихса-Леви

ttmin = Xki/Vki.

где tmin – min шаг, по времени определяемый в результате обхода всех расчетных ячеек; Xki, Vki – линейный размер к-й ячейки и скорость в направлении – Х.

Предварительное определение явного шага по времени осуществлялось с помощью числа Куранта-Фридрихса-Леви.

Оценка точности полученного результата вычислений весьма сложна и потребовала большого объема времени по отладке математической модели, которая заключалась в следующем:

проверялась сходимость расчета по сетке, то есть проводилась серия расчетов при одних и тех же начальных условиях на сетке, которая последовательно сгущалась по всей области расчета. Уменьшение расчетных ячеек увеличивало точность решения пропорционально их размерам, с применением порядка аппроксимации расчетной сетки n = 2. Применение этого способа оценки точности расчета позволило оценить точность решения исходных уравнений. Заданная точность вычислений составляла для объема – 0,01, для рассчитываемых характеристик – 0.01.

В основе вычислительного процесса лежит стандартная модель к-е турбулентности, основанная на уравнениях Навье – Стокса. Моделирование турбулентной вязкости осуществляется через выражения величины к-е,

где к – турбулентная энергия, м22; е – скорость диссипации турбулентной энергии, м23; μ – турбулентная вязкость, кг/с/м.

Модель движения двухфазной жидкости включает в себя следующие уравнения:

уравнения Навье – Стокса;

уравнения для энтальпии;

уравнения для концентрации;

уравнения для к и е;


уравнения для переноса функций заполнения жидкостью ячейки.

Моделирование трехмерного конвективно–диффузионного переноса скалярных величин осуществляется методом расщепления, то есть трехмерная функция скалярной величины (например, скорость V) реконструируется с помощью суперпозиции трех функций, каждая из которых представляет собой одномерную реконструкцию вдоль осей декартовой системы координат.

На основе имеющейся информации о рельефе местности, характере течения реки, грунте слагающего ложе русла реки, была составлена цифровая модель участка нижнего бьефа, то есть область расчета.

Исследуемый участок нижнего бьефа охватывал всю ширину (2000 м) и по длине составил – 1500 м.

Построение цифровой модели нижнего бьефа ГЭС проводилась, как указывалось раньше, с помощью САПР. Расчет проводился с помощью адаптивной сетки размером 20 х 15 х 1 с общим числом расчетных ячеек порядка 1700000 и количеством вычислений на расчетном шаге более 680000. Среднее машинное время расчета составила более 40 ч.

Результаты проведенных расчетов показали, что в месте слияния водных потоков водопропускных сооружений, наблюдается сильная турбулентность, с образованием многочисленных завихрений с неравномерным распределением скоростей потока по осям координат X, Y, Z. На рисунках 1, 2, 3, 4 показаны векторы скорости водного потока по направлениям осей координат X, Y, Z. Ближе к донной части их абсолютная величина уменьшается, а на уровне свободной поверхности достигает величины начальных скоростей (V1 = 7,77…8,0 м/с – скорости потока донного водовыпуска при пропуске расхода и уровнях воды в верхнем бьефе 208,0 и 209,5, соответственно, V2 = 20,0 м/с – скорость на сходе с носка водосброса и V3 = 1,3…1,9 м/с скорости потока на выходе из турбин).

Общий характер течения воды в нижнем бьефе характеризуется довольно сильной неравномерностью распределения скорости потока как по ширине русла, так и по длине.


По мере удаления от водопропускных сооружений наблюдается выравнивание поля скоростей, векторные значения по осям координат X, Y, Z сглаживаются, что приводит к затуханию циркуляций потока и снижению вихревых зон. Однако вдоль всего левого берега прослеживается незначительная поперечная циркуляция. Абсолютные значения скорости потока в центре поперечного сечения нижнего бьефа находятся в диапазоне 3,2… 3,4 м/с, по мере приближения к левому берегу скорость несколько снижается, достигая величины в 3,0 м/с.




Рис.1. Компонента скорости Vx при Х = 50 –

расстояние от водопропускного сооружения




Рис.2. Компонента скорости Vx при Х = 800 – расстояние от водопропускного

сооружения







Рис. 3. Компонента скорости Vy при Х = 500 –

расстояние от водопропускного сооружения





Рис. 4. Компонента скорости Vz при Х = 600 –

расстояние от водопропускного сооружения

Выше приведены рисунки, отображающие моменты течения водного потока в нижнем бьефе. Представлены все характерные участки русла обтекания водным потоком. Виды под разными углами позволяют детально рассмотреть конкретные места русла (течение вдоль берегов, обтекание острова и т.п.).



Библиографический список


  1. Дьяконов В.П. VisSim+Mathcad+Matlab. Визуальное математическое моделирование. – М.: СОЛОН-Прес, 2004. 384 с.

  2. Бирктоф Г.,Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. /Пер. с анг. – М.: Мир, 1964.

  3. Лятхер В.М., Прудовский А.М. Гидравлическое моделирование. – М.: Энергоатомиздат, 1984. 392 с.

  4. Гиневский А.С. и др. Методы расчета турбулентного пограничного слоя. //Итоги науки. Механика жидкости и газа. 1978. т. 11.

  5. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. /Пер. с англ. – М.: Мир, 1986.

  6. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. – М.: Наука, 1979.

  7. Алямовский А.А. Solid Works 2007/2008 Компьютерное моделирование в инженерной практике. – СПб.: БХВ – Петербург, 2008. 1040 с.

  8. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD, DCW Industries, Inc, 460p, 1994.

  9. Menter F.R., Kuntz M/, and Langtry, R., 2003, Ten years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model, Turbulence, Heat and Syred N., Swirl Flows, Abacus Press, 1894.

  10. Ричард С., Бенджамин Л. Open GL. Суперкнига. /Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вестник», 2006. Изд. 3-е. 1040 с.

  11. Дьяконов В.П. Mathcad11/12/13 в математике. Справочник. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. 958 с.