litceysel.ru
добавить свой файл
1
Открытый урок-презентация по алгебре и началам анализа по теме: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ»


(2 урока).

Учитель ОГАОШИ с ПЛП Чуманова В.В.

Цель урока: 1) сформировать навыки введения новой переменной при решении

уравнений понижением порядка;

2) развивать вычислительные навыки, математическую зоркость;

3) помочь в выборе элективного курса, и, в целом, образовательной

траектории, воспитывать интерес к самообразованию.

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО УЧИТЕЛЯ:

Содержание данного урока должно помочь воспитанникам выбрать для себя из перечня наиболее интересный элективный курс, который поможет углубить и систематизировать знания по математике, успешно подготовиться к ЕГЭ. Предлагаемый мною сегодня курс «Методы решения уравнений» познакомит вас с разнообразными методами и приёмами, а также предоставит возможность выбора тем проекта по данной проблеме.

Темы проектов: 1. Возвратные уравнения.

2. Решение уравнений введением параметра.

3. Решение уравнений путём использования геометрической интер-

претации.

4. Решение уравнений исследованием области определения и мно-

жества значений функции.

II. УСТНАЯ РАБОТА.

1) Решить уравнения: а) х+1/х=50/7;

б) х+1/х=37/6;

в) а+1/а=10/3;

г) х2+1/х2=82/9;

д) 3sin 2х=6;

е) х3+х-2=0;

ж) х2 -2007х+2006=0.

В ходе решения каждого вспоминаем тип уравнения, метод и приём.

2) Предложите метод решения уравнения, конкретизируйте его:

а) ; в)

б);

Подвожу воспитанников к обозначению подстановки в каждом уравнении, записываем его с новой переменной, называем его тип, обсуждаем способ решения. В качестве домашнего задания предлагаю по одному уравнению (3 варианта).


III.ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ.

На данном уроке рассмотрим другие виды уравнений, решаемые с помощью подста-новки, с целью понижения степени уравнения.

1.УРАВНЕНИЯ ВИДА С ОДИНАКОВЫМИ ПАРНЫМИ СУММАМИ: или или .


ПРИМЕРЫ: 1. (х+2)(х-3)(х+1)(х+6)=-96;

2. (х+1)(х-2)(х+3)(х-4)=144;

3. х(х+1)(х+2)(х+3)=0,5625;

4. (2х-1)(2х+3)(3х-2)(3х-8)+25=0.

По желанию воспитанников решаем пример 1.

1. (х+2)(х+1)(х-3)(х+6)=0

Очевидно, что 1+2=6-3

((х+2)(х+1))((х-3)(х+6))=-96

2 +3х+2)(х2 +3х-18)=-96

Вводим подстановку: х2 +3х =t или х2 +3х+2=b

После введения подстановок получаем уравнения: ( t+2)(t-18)=-96 и b(b-20)=-96.

Решаем одно из них: t2 -18t+2t-36+96=0

t 2 -16t+60=0; Д=4; t1 =4 , t2 =10.

Решая обратные подстановки, имеем: х1 =-4, х2 =1, х3,4 =

ОТВЕТ: -4, 1,

В качестве закрепления решаем пример 2, пример 3 рекомендован для домашнего за-

дания.

ПРИМЕР 2. ((х+1)(х-2))((х+3)(х-4))=144 так как 1-2=3-4=-1;

=144;


=144;

Пусть х2-х-2=а, тогда х2-х-12=а-10;

Уравнение имеет вид: а(а-10)=144;

а2-10а-144=0, Д1=169, а1=-8, а2=18.

Решаем обратные подстановки: х2-х-2=-8 и х2-х-2=18.

х2-х+6=0 х2-х-20=0.

Д<0 , Д=81.

Решений нет. х1=5, х2=-4.

ОТВЕТ: -4; 5.

Особое внимание уделено решению 4-го примера, для этого проводим перегруппиров- ку множителей, совместными рассуждениями делаем вывод о том, что сформировать

подстановку с помощью парных сумм не удаётся. Пробуем найти другие закономерности.

((2х-1)(3х-2))((2х+3)(3х-8))+25=0;

(6х2-4х-3х+2)(6х2-16х+9х-24)+25=0;

(6х2 -7х+2)(6х2 -7х-24)+25=0;

Пусть 6х2-7х=а, тогда уравнение имеет вид: (а+2)(а-24)+25=0;

а2-24а+2а-48+25=0;

а2-22а-23=0 (*);

Д1=121+23=144, а1=23, а2=-1.

Решая данное уравнение, воспитанники могут предложить иную подстановку. При

решении уравнения (*) предоставляется возможность использовать свойство коэффи-

циентов трёхчлена: а-в+с=0, отсюда,х1=-1, х2=.

Реализуем обратные подстановки: 6х2 -7х=-1; 6х2 -7х=23.

х1=1; х3,4=

х2=


ОТВЕТ: 1, ,

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫДЕЛЕНИЕМ ПОЛНОГО КВАДРАТА.

(а+в)2 2 +2ав+в2 ; (а-в)2 2 -2ав+в2.

ПРИМЕР 1. х2 + =7;

ОДЗ: х≠3.

Для формирования навыков выделения полного квадрата, подстановки предлагаю

применить обе формулы и убедиться в целесообразности применения.

Пусть х =а, , тогда применяя формулы квадрата суммы или разности, уравнение можно записать так:

· или

;

;

Невозможно выделить подстановку. Пусть; тогда уравнение имеет вид:

;

; или ;


Реализуем обратные подстановки.

; ;



Д<0, решений нет.

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 2. +;

;

-3=0;

;

Пусть , тогда имеем: а2-2а-3=0;

а1=3, а2=-1. Решая обратные подстановки, получаем .

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 3. (х2 -16)(х-3)+9х2=0.


Убеждаемся, что х=3 не является корнем уравнения, поэтому разделим обе части урав- нения на (х-3). Получаем уравнение:

х2 -16+=0;

+ ;

;

;

;

Пусть , тогда уравнение имеет вид , а1=8, а2=-2.

Используя обратные подстановки, имеем:

или;

, .

Д1<0, решений нет. Д1=7, -1±√7.

ОТВЕТ: -1±√7.

3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА ПОДСТАНОВКИ

или .


ПРИМЕРЫ: 1 .(х+2)44=82;

2 .(х+6)4+(х+4)4=82

3. (х+3)4+(х+1)4=272.

В соответствии с выбором воспитанников подробно разбираем решение примера №2.

(х+6)4+(х+4)4=82

Вводим подстановку: , t=x+5; следовательно, х = t-5;

(t-5+6) 4+ (t-5+4 )4 =82;

(t+1)4+( t-1)4=82;

Применяем известную формулу: а22=(а+в)2-2ав.

((t+1)2)2+((t-1)2)2=82;

((t+1)2+(t-1)2)2-2(t+1)2( t-1)2 =82;

(t2 +2t +1+t2 -2t+1)2 –2( t2-1)2 =82;

(2t2 +2)2-2(t4 -2t2 +1)=82;

4(t4 +2t2 +1)-2(t4 -2t2 +1) =82;

4t4 +8t2 +4-2t4 +4t2 -2-82=0;

2t4 +12t 2-80 =0;

t 4+6t2 -40=0;

Пусть t2=у, у≥0, уравнение примет вид: у2 +6у-40 =0;

Д1=49; у1=4, у2=-10-не удовлетворяет условию у≥0.

Итак, t2 =4, t1= 2, t2=-2. Используя подстановку х=t-5, имеем х=-7

или х=-3.

ОТВЕТ: х=-3, х=-7.

Для закрепления применения данной подстановки решаем 1-ый пример ( воспитанни-ки – в тетрадях, один ученик- за доской в качестве обучающей самостоятельной работы).

Далее проводится подробный анализ полученных решений.


(х+2)44 =82; вводим подстановку t=х+1; х =t -1.

(t-1+2)4+( t-1)4=82;

(t+1) 4 +( t-1)4 =82;

После преобразований получаем уравнение: t4 +6t2 +40=0 ; t2 =а, а≥ 0,

а2 +6а-40=0; а1=-11-не удовлетворяет условию а≥ 0,

а2 =1.

t 2 =1, t=1 ; t=-1

Значит, х=1 -1 или х=-1-1;

х=0,х=-2.

ОТВЕТ: 0;-2.

В качестве домашнего задания задаю пример№3.

IV. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Учитель задаёт вопросы:

а) какой метод решения уравнений сегодня изучили на более продвинутом уровне;

б) какие типы уравнений решали;

в) запишите вновь изученную подстановку, какую формулу в ходе решения при-

меняли для преобразований;

г) запишите формулу для выделения полного квадрата.

Учитель напоминает воспитанникам о предложенных темах проекта и просит опре-

делиться в выборе.

V. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

Проводится обзор уравнений для домашнего задания, заданных в ходе урока.