litceysel.ru
добавить свой файл
1
________________________________________________________НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 

УДК 681.5.09
 
ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ
СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИК ОТДЕЛЬНЫХ
КОМПОНЕНТОВ
SEMI‐MARKOV MODEL OF MULTICOMPONENT SYSTEM BASED
ON PARAMETERS OF COMPONENTS OF SYSTEM
 
Никишенко А.Н., Обжерин Ю.Е. 
Nikishenko A.N., Obzherin Yu.E.
 
Построена полумарковская (ПМ) модель многокомпонентной системы 
на  основе  параметров  ПМ  моделей  компонентов  системы.  Рассматри‐
ваются  ПМ  модели  компонентов,  фазовое  пространство  которых  до‐
полнено  до  ПМ  с  использованием  «времени  вперед».  При  построении 
модели системы использован метод суперпозиции. Определены стаци‐
онарные характеристики системы. 
 
Semi‐Markov model of multicomponent systems based on parameters of semi‐
Markov models is built. The semi‐Markov models of the components, the phase
space which extended to a semi‐Markov with "time forward", are considered.
The method of superposition in model of the system is used. Stationary charac‐
teristics of the system are defined.
 
В производстве зачастую используются многокомпонентные си‐
стемы,  большинство  из  которых  состоят  из  независимо  функциони‐
рующих  компонентов.  Поэтому  особый  интерес  представляет  описа‐
ние  характеристик  (надежности,  эффективности)  многокомпонент‐
ных систем на основе характеристик отдельных компонентов. 
Параметры  однокомпонентных  технических  систем  во  многих 
случаях  могут  быть  описаны  с  применением  теории  полумарковских 
процессов. В литературе [1, 2, 3] процессы контроля, технического об‐
служивания  и  диагностики  компонента  описываются  с  помощью  по‐
лумарковских процессов (ПМП)  (
ξ t) с общим фазовым пространством 
состояний:  E = {jd }
,  

где  j  —  номер  узла,  изменившего  свое  физическое  состояние  по‐

следним; 
  —  вектор,  компоненты  которого  указывают  на  физическое  со‐
стояние узла
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012 

 


НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ________________________________________________________ 
  —  вектор,  компоненты  которого  дополняют  фазовое  простран‐
ство состояний, описывающее функционирование компонента, до по‐
лумарковского. 
При  построении  ПМП  компонентов  возникает  необходимость 
производить  дополнение  фазового  пространства,  чтобы  обеспечить 
свойство марковости рассматриваемого процесса. Возможно два вари‐
анта дополнения фазового пространства до полумарковского:  
1.  с  использованием  «времени  назад»  —  компоненты  вектора   
фиксируют времена, прошедшие с момента последнего изменения уз‐
лов  компонента  в  прошлом  до  ближайшего  изменения  состояния 
компонента системы; 
2.  с  использованием  «времени  вперед»  —  компоненты  вектора   
фиксируют времена с момента последнего изменения состояния ком‐
понента  системы  до  ближайшего  изменения  узлов  компонента  в  бу‐
дущем. 
При  описании  каждого  компонента  системы  ПМП  (
ξ t)  с  общим 
фазовым  пространством  состояний  система  в  целом  также  может 
быть  описана  с  использованием  полумарковских  моделей  и  метода 
суперпозиции. 
В [4] рассмотрено и дано определение суперпозиции конечного 
числа  независимых  процессов  Марковского  восстановления  (ПМВ), 
каждый  из  которых  может  находиться  в  дискретном  множестве  со‐
стояний.  В  этом  случае  непрерывные  компоненты  не  вводятся,  что 
можно интерпретировать как частный случай с нулевыми непрерыв‐
ными компонентами. 
В  [5]  приведена  теория  по  нахождению  стационарных  характе‐
ристик  многокомпонентных  систем,  состоящих  из  конечного  числа 

независимых компонентов с использованием метода суперпозиции. В 

данном источнике описывается суперпозиция ПМП  (i)
ξ (t) с общим фа‐
зовым  пространством  состояний,  дополненных  до  ПМП  по  первому 
варианту («время назад»). Фазовое пространство процесса суперпози‐
ции  расширяется  до  полумарковского  введением  дополнительного 
вектора  непрерывных  компонент,  фиксирующих  времена  до  следую‐
щего изменения компонент системы, что усложняет модель системы. 
В  данной  работе  показано,  что  при  использовании  описания 
функционирования  компонентов  с  помощью  ПМП  с  дополнением 
«временем вперед» (данное дополнение используется при построении 
модели контроля скрытых отказов в системе [1]), применение метода 

 
 
 
 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012
 


________________________________________________________НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 
суперпозиции  не  требует  введения  дополнительных  компонент,  т.е. 
усложнения системы. 
Построим  полумарковскую  модель  производственной  системы, 
состоящей  из  N  независимых  компонентов,  функционирование  каж‐
дого из которых описывается ПМП  (i)
ξ (t) c компонентами, фиксирую‐
щими время до ближайшего изменения («время вперед»). Как уже от‐
мечалось,  фазовое  пространство  состояний  ПМП  может  быть  пред‐
ставлено в следующем виде:  (i)
(i)
E = {jd x , где  =
 — ком‐
i
{d ,d ' ,d ''
i
i
i
}
,...
i
}
поненты  вектора,  указывающие  на  физическое  состояние  компонен‐
тов системы,  ∈ ,
 — номер элемента узла, изменившего свое физи‐
i
ческое  состояние  последним,    —  число  узлов  в  i‐м  компоненте  си‐
i
стемы.  Компоненты  вектора  (i)
(i)

(i)

(i)
(i)
= {,...,0
, ,,...,x
,  фиксируют 
1
1

1
+
}
i
время с момента последнего изменения системы (j‐го узла компонен‐
та) до ближайшего изменения состояния остальных узлов компонен‐
та системы. Узлы компонента могут быть как зависимыми, так и неза‐
висимыми. При рассмотрении компонента с зависимыми узлами, кро‐
ме того, что  (i)
= 0 , некоторые из оставшихся компонент вектора  (i)
 
j
могут  обращаться  в  ноль  (восстановление  системы  после  обнаруже‐
ния отказа) либо сохранять свое значение на некотором промежутке 
времени (остановка элемента на время проведения контроля). Все по‐
добные  изменения  учтены  на  этапе  описания  компонентов  системы, 
поэтому достаточно будет рассмотреть вектор  (i)
 в общем виде.  
Временная  диаграмма  функционирования  i‐го  компонента  си‐
стемы в общем случае приведена на рисунке 1. В данном компоненте 
показана работа зависимых узлов: при изменении состояния j‐го узла 
– изменяется состояние m‐го узла. 
Считаем,  что  определены  следующие  параметры  ПМП  i‐го  ком‐
понента системы, состоящего из   узлов: 
i
•  фазовое пространство состояний  —  (i)
(i)
E = {jd x , разбитое на под‐
i
}
пространство рабочих  (i)
E
i
E
+  и отказовых 
( )
−  состояний; 

(i)
  времена пребывания ПМП  (i)
ξ (t) в состояниях — θ

()
jd x
i
•  плотности вероятностей (вероятности) переходов ВЦМ  (i)
{ξ , k ≥ : 
k
i
}0
i
(i)
(i)
(i)
ψ (x ,...,x 

1

)
di
•  стационарные 
распределения 
состояний 
ВЦМ 
(i)
{ξ , k ≥ : 
k
i
}0
i
(i)
(i)
ρ [jd x = ρ x ,...,x ,0,x ,...,x 
i
(i) (i) (i) (i) (i)
( 1
1

+
)
i
1
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012 

 


НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ________________________________________________________ 
•  среднее стационарное время восстановления  (i)
 и среднее стацио‐

нарное время наработки на отказ  (i)
 компонента.  
+
 
 
 
 
Рис. 1. Временная диаграмма функционирования i‐го  
компонента системы 
 
Приведем  формальное  определение  суперпозиции  ПМП  (i)
ξ (t)  с 
общим фазовым пространством состояний  (i)
E . 
Определение. Суперпозицией ПМП  (i)
ξ (t) с общим фазовым про‐
странством состояний  (i)
E  называется n‐компонентный процесс  ξ(t) с 
компонентами  ξ()
(1)
= {ξ (t) (2)
,ξ (t)
(N)
,...,ξ ()}. 
Заметим, что построенный таким образом процесс  ξ(t) является 
полумарковским. Действительно, он не меняет своего значения между 
двумя соседними скачками процессов  (i)
ξ (t),  = 1,, т.е. является про‐
цессом с кусочно‐постоянными траекториями, к тому же он уже обла‐
дает марковским свойством. 

 
 
 
 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012
 

________________________________________________________НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 

Общее  фазовое  пространство  состояний  для  ПМП  ξ(t)  может 

быть  представлено  в  следующем  виде:  E = {idz, i = 1,N}.  Компоненты 
вектора  ××...× указывают на физическое состояние узлов в 
1
2
n
компонентах;  i  —  номер  компонента,  изменившего  свое  физическое 
состояние последним. 
Компоненты  вектора  = {,...,0
, ,,...,,  где 
(m)
= ∧  
1
1

1
+
}
m
j
j∈1,ki
фиксируют  времена  с  момента  последнего  изменения  системы  до 
ближайшего изменения состояния m‐х компонентов ( ≠ ). 
Множество  значений  вектора  ,  при  котором  ПС  работоспособ‐
на, обозначается через  , а множество значений, при котором ПС не‐
+
работоспособна, — через   ( ∪ ,   ∩ = Ø). 

+

+

Следует отметить, что построение суперпозиции для ПМП  (i)
ξ (t), 
фазовое пространство которых было дополнено компонентой «время 
вперед»,  не  нуждается  во  введении  дополнительных  непрерывных 
компонент,  т.к.  введенные  ранее  компоненты  i‐го  ПМП 
(i)
ξ (t
(i)
(i)
(,..., однозначно определяют фазовое пространство ПМП супер‐
1
)
i
позиции.  
На рисунке 2 приведена диаграмма функционирования системы 
в  целом.  Рассмотрено  два  возможных  перехода  в  системе:  последнее 
изменение  системы  было  в  одном  компоненте  (b‐м),  а  последующее 
происходит в другом компоненте системы (i‐м); последнее и последу‐
ющее изменения происходят в одном и том же компоненте системы. 
 
 
 
Рис. 2. Функционирование системы, состоящей  

из N независимых компонентов 

 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012 

 


НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ________________________________________________________ 
Для  задания  ПМ  ядра  суперпозиции  воспользуемся  очевидной 
формулой  для  времени  пребывания  в  состояниях  на  n‐м  шаге  
( ∧  — знак минимума): 
 
()
(i)
θ = θ ( ∧
)

 
 
 
(1) 
id z
d
 
(i)
= ∧ 
 
 
 
 
(2) 
j
j∈1,N
ji
 
Опишем  плотности  вероятностей  переходов  ВЦМ  {ξ ,n ≥   су‐
n
}
0
перпозиции. Пусть  (i)
 — совокупность состояний i‐го компонента, из 
di '
которых возможен переход в состояние  '

i
Из состояния id z , переходы бывают следующих типов: 
1)  в  совокупность  состояний  id w
'   (переход  в  состояние  m   i‐го 
i
компонента)  с  плотностью  распределения  вероятности  перехода 
id' w
(i)
(i)
(i)
p
= ψ (x ,...,x ,  где  = (w ,w ,...,w 
(i)
= ∧ ,  ∈ ,1,  ' = 
1
2
)
id z
1
)
d
i
k
i
i
i
k
(i)
,  (i)
= 0 ,  (i)
(i)
,  k
∀ ≠ m' = ,  ( j)
j)
,  j
∀ ≠ ,  ∈ kj 
m
m
k
k
j

j

k
k
2)  в  совокупность  состояний  jd w
'   (переход  в  состояние    j‐го 
j
компонента системы) с плотностью распределения вероятности пере‐
хода  jd'w
(i)
(i)
(i)
p
= ψ (x ,...,x , где  = (w ,w ,...,w 
(i)
= ∧ i∈1,,  
1
2
)
i d z
1
)
d
i
k
j
j
i
k
' = ,  ( j)
= 0 ,  (j)
j)
,  k
∀ ≠ m' = ,  (i)
(i)
,  i
∀ ≠ kj 
j
j
m
k
k
j
i
i
k
k
j
Предположим,  существование  стационарных  плотностей  рас‐
пределения  ВЦМ  {ξ ,n ≥   [
ρ idz]  для  состояний  idz∈1,.  Составим 
n
}
0
для них систему интегральных уравнений с учетом полученных плот‐
ностей  распределения  вероятности  переходов  из  одного  состояния  в 
другое: 
 

⎛∞
i
i
i


⎜ ∫ [
ρ idz] ( )
( )
( )
ψ(,...,y dt
1
)
+

⎪ [
i
ρ
0
id'w]


= ∑ ⎜ 
⎟, 
,
()
⎪⎪
E
j
j
j
i
'
⎜ + ∑ ∫ [
ρ jdz] ( )
( )

( )


ψ (,...,)ds 
d
j
1
j
k
j
  (5) 
j

⎜ j=1 0

⎝ ji



∞ ∞
∑∑∫...∫ [
ρ idz]dz =1,
∈1, .
n
⎪⎩ dE 0 0

 
 
 
 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012
 


________________________________________________________НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 
Лемма 1. Решение системы (5) для суперпозиции N независимых 
ПМП  (i)
ξ (t) являются функции вида: 
 
[
)
j
j
N
(s
,...,s
)
ρ idz]
( )
( )
∞ ⎡ρ
+
+
× ⎤
()
(i)
(i)
= ρ ρ (,...,x
j
1
)
ds   (6) 
d
1
k
i
∏∫⎢ d j
j
k

)
j)
( )
j
j
j=1 0 ⎢× ψ
(,...,x

)
ji

d
j
1
j
k
j

 
где  ρ —  находится  из  условия  нормировки,  последнее  уравнение  в 
0
системе  (5),  (i)
(i)
ρ [jd x   —  стационарные  распределения  состояний 
i
]
ВЦМ  (i)
{ξ ,k ≥ ,  (i) (i)
(i)
ψ (x ,...,x   —  плотности  вероятностей  (вероятно‐
1
)
k
i
}0
i
di
сти) переходов ВЦМ  (i)
{ξ , k ≥ . 
k
i
}0
i

Доказательство.  Покажем,  что  выражения  (6)  являются  реше‐

нием системы уравнений (5), для этого рассмотрим решение первых n 
уравнений системы (5) в общем виде: 
 
⎛∞
⎜ ∫ [
ρ idz] (i)
(i)
(i)
ψ t y
t y dt
( +
,...,

+
+
1
)

[
i
i
0
ρ id'w]= ∑ ⎜


=
() ⎜
j
j
j

E
i
di
+
ρ jdz ψ y
y ds
'
∑ ∫ [
] ( )
( )
( )
(
,...,
)
d
j
1
⎜⎜
j
k
j
1
=
j
j
0
⎟⎟
⎝ ji

⎡∞
()
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
= ∑ ∫ρ ρ (,...,)ψ y
y dt ×
d
1
k
(
,...,
1
)
() ⎢
i
i
i
i
E
i
⎣0
'
i
d
 
∞ ( j)
j)
j)
j)
j)
j)
× ∏ ∫ρ (,...,)ψ (,...,)ds +
d
j
1
j
k
d
j
1
j
k
j
1
=
j
j
j
j
0
ji
⎛∞
j
j
j
j
j
j
⎞⎤
( )
( )
( )
( )
( )
( )

⎜ ∫ρ ρ (,...,)ψ (,...,)ds ×

d
k
d
j
j
k
j

0
1
1
j
j
j

j
N
0

⎟⎥
+ ∑

.

h
h
h
h
h
h

1
( )
=
( )
( )
( )
( )
( )
×
s
x
s
x
s
x
s
x ds
ji
∏ ∫ρ ( +
,..., +
)ψ ( +
,..., +
)

d
h
1
h
k
d
h
1
⎜⎜
h
k
h
=
h
h
h
h
h

1 0
⎟⎟
⎝ ≠hj
⎠⎥⎦
 
Проведем замену переменных  t = s , тогда: 
i
 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012 

 


НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ________________________________________________________ 
[

ρ id'w]

()
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
= ∑ ⎜ ∑ ∫ρ ρ (,...,)ψ (,...,)ds ×
()
d
1
k
d
i
1
i
k
i
i
i
i
E
i
1
i
= 0
'
i
d


)
j)
j)
)
j)
j)
× ∏ ∫ρ (,...,)ψ (,...,) ⎟
ds =
d
j
1
j

k

d
j
1
j
k
j
j=
j
j
j
j

1 0
ji

 
⎛ 
()
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
= ∑ ⎜ ∑ ∫ρ ρ (,...,)ψ (,...,)ds ×
()
d
i
1
i
k
d
i
1
i
k
i
i
i
i
i
E
i
1= 0
'
i
d


j)
j)
j)
j)
j)
j)
× ∏ ∫ρ (,...,)ψ (,...,)ds .⎟
d
i
j
1
i
j
k
d
i
j
1
i
j
k
j
j=
j
j
j
j

1 0
ji

 
Для функций  (i)
(i)
ρ [jd x  и  (i) (i)
(i)
ψ (x ,...,x  выполняется следующее 
1
)
i
di
тождество: 
 
∞ (i )
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
ρ ( t y
t
,..., y )

ψ
+ +
+ +
=
d
i
1
i
k
(t
s
y
t
,...,
s
y

i

1
i
)dsi
i
i
i
0
 
∞ (i )
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
= ρ ( s y ,...,s y )

ψ
+
+
d
i
1
i
k
(s
y ,...,s
y
i
1
i
)ds .
i
i
i
i
t
 
С учетом этого равенства, продолжим преобразование: 
 
[
⎛ 
ρ id'w]
()
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
= ∑ ⎜∑ ρ ρ (,...,)ψ (,...,)ds ×
∫ 0 d i
1
i
k
d
i
1
i
k
i
(
i
i
i
i
)
E
i
⎝ 1
= 0
'
i
  (7) 


)
j)
j)
j)
j)
j)

×∏ ρ (,...,)ψ (,...,)ds .
∫ d j
1
j
k
d
j
1
j
k
j
j
j
j
j
1
si
⎟⎟
ji


Лемма  2.  
Пусть  ϕ (t
∈1
—  непрерывные  функции,  опреде‐
i
), i ,N

ленные в диапазоне  [ ,
0 +∞) и интегралы  ∫ ϕ (t
 являются сходящими‐
i
)dt
0

ся. Тогда справедливо следующее утверждение: 

 



∑ ∫ϕ z dz
(s ds
)
s ds 
 
 
(8) 
( )
∏ ∫ ϕ
=
j
j
j
∏ ∫ ϕi
i=1 0
j=1 z
i=1 0
ji
10 
 
 
 
 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012
 


________________________________________________________НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 
 
Доказательство леммы 2 приводится в [6]. 
С учетом (8) выражение (7) примет следующий вид: 
 
[


i
i
i
i
i
i

ρ id'w]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= ρ ∑ ⎜⎜∏ ρ (,...,)ψ (,...,)ds .⎟ 
0
∫ d i
1
i
k
d
i
1
i
k
i
(
i
i
i
i
)
E
1
=
i

0

'
i
 
Напомним, что  (i )
(i)
(i)
ρ ( s y ,...,s y )  — стационарные распреде‐
d
i
1
i
k
i
i
ления  состояний,  а  (i)
(i)
(i)
ψ ( s y ,...,s y )  —  вероятности  переходов 
d
i
1
i
k
i
i
ВЦМ  (i)
{ξ , k ≥ . Очевидно, что: 
k
i
}0
i
 
∞ (i)
(i)
(i)
(i)
(i)

(i)

()
(i)
(i)
∑ ρ (,...,)ψ (,...,)dt = ρ ( ,..., ).

  (9) 
d
1
k
d
1
k
d
1
k
(
i
i
i
i
)
i
i
d E
i
0
'
i
 
С учетом выражения (9) уравнение (7) примет вид: 
 
[
)
j
j
∞ ⎛ ρ
y
y
× ⎞
ρ id'w]
( )
( )
(
,...,
)
()
(i)
(i)
= ρ ρ ( ,..., )
d
j
1
j
j
ds  
d
k
i
i
∏ ⎜
j
k
⎟ .
0
1
∫⎜ (j)
j)
( ) ⎟ j
j
1
= 0 × ψ
(,...,)
d
j
1
ji

j
k
j
j

 
Таким образом, лемма 1 доказана. 
Для вычисления стационарных показателей надежности много‐
компонентной  системы  можно  использовать  полученные  средние 
времена пребывания в состояниях ПМП  ξ(t) и стационарное распреде‐
ление вложенной цепи Маркова  {ξ ,n ≥ . С другой стороны, коэффи‐
n
}
0
циент готовности Кг, средняя наработка на  отказ Т+  и среднее время 
восстановления Т– системы не зависит от метода дополнения фазово‐
го  пространства  до  полумарковского.  Поэтому  для  вычисления  дан‐
ных параметров используем формулы, приведенные в [5]: 
 

(i)

(i)

N
1
(
N
T
d
E
i
⎪⎧
 
если
 ,

,
i) ⎧
(i)
(i)
=
, где  ( )
=
+
i
+
 
Г
∑ ∏T
T
T
d
di

i

⎨ (

+
+
− )⎬
(i)
(i)

d E
i 1
⎩ 1

T
 
если
 ,
∈ ,
+
=
=
⎩ −
i

 
−1
−1
N
(i) ⎧
N
(i)
1 ⎫
N
(i) ⎧
N
(i)
1 ⎫
T =
T
T
T
T
,  
d ⎨
d
i
i
j ⎬
=
+
∑ ∏
∑ ∏ ∑ ( )
∑ ∏ d ⎨
i
∑ ∏ di ∑ (j) ⎬

d E
'
T
'
T
+ i=1
⎩ ∈
d E+ i=1

j G

+ ⎭
d E+ i=1
⎩ ∈
d E− i=1

j
− ⎭
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012 
11 
 


НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ________________________________________________________ 
 
1

1

N
( ⎧



i)
N
(i)
1
N
(i)
N
(i)
1
T =

⎬ =
 

∑ ∏T ∑ ∏T ∑
∑ ∏ ⎨ ∑ ∏ ∑
d
d

i
i
(j)
T
T
d
d
i
i
(j)
,
d E
∈ − i 1
=
d
⎩ E'

i 1
=
j G
∈ T
d E

+ ⎭
⎩ ∈ =

+
− i 1
=
d E' i 1
T

− ⎭
 
где  '
 – множество векторов  d∈E  таких, что изменение значения неко-
+
+
торой  компоненты  с  работоспособной  на  отказовое  переводит  вектор d в 
множество  ;  '
 – множество векторов  d∈E  таких, что изменение зна-



чения некоторой компоненты с отказовой на работоспособную переводит 
вектор  d   в  множество  ; G – множество  номеров  компонент  вектора 
+
d∈E , изменение значения каждой из которых с работоспособной на отка-
+
зовое переводит вектор  d  в множество  ; L – множество векторов  d∈E  


таких, что изменение значения каждой компоненты с отказовой на работо-
способную переводит вектор d в множество  
+
Полученные результаты позволяют определять стационарные харак-
теристики  многокомпонентных  систем,  исходя  из  параметров  каждого 
компонента системы, что, в свою очередь, позволяет упростить построение 
полумарковских моделей многокомпонентных систем. Данная модель поз-
воляет выбрать оптимальную конструкцию и определить оптимальное вза-
имодействие между компонентами (проведение совместного контроля, ди-
агностики, ТО). В дальнейшем планируется нахождение стационарных ха-
рактеристик производственной системы, состоящей из произвольного чис-
ла компонент, в каждом из которых проводится контроль наличия скрытых 
отказов. 
 
 
Литература

1.  Бойко  Е.Г.  Модель  контроля  скрытых  отказов  автоматизированной  системы  / 
Е.Г. Бойко  // Автоматизация процессов и управление: Вестн. СевГТУ: Сб. науч. 
тр. – Севастополь, 2010. – Вып. 108. – С. 52–56. 
2.  Бойко  Е.Г.  Анализ  влияния  периода  контроля  на  надежность  технической  си‐
стемы/  Е.Г.  Бойко,  Ю.Е.  Обжерин,  Н.В.  Казакова  //  Оптимизация  производ‐
ственных  процессов  —  Севастополь:  Изд‐во  СевНТУ,  2005.  –  Выпуск  7.  –  
С. 23‐27. 
3.  Обжерин  Ю.Е.  Полумарковская  модель  календарного  контроля  параметриче‐
ских отказов автоматизированной восстанавливаемой системы/ Ю.Е. Обжерин, 
12 
 
 
 
 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012
 


________________________________________________________НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 

Е.Г.  Бойко//  Автоматизация  процессов  и  управление:  Вестн.  СевГТУ:  Сб.  науч. 
тр. – Севастополь, 2007. – Вып. 83. – С. 61 – 64. 
4.  Королюк В.С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности си‐
стем/ В.С. Королюк, А.Ф. Турбин – К.: Наук. думка, 1982. – 236 с. 
5.  Корлат А.Н. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем мас‐
сового обслуживания/ А.Н. Корлат, В.Н. Кузнецов, М.М. Новиков, А.Ф. Турбин – 
Кишинев: Штиинца, 1991. – 276 с. 
6.  Кузнецов В.Н. Полумарковская модель восстанавливаемых систем/ В.Н. Кузне‐
цов,  А.Ф.  Турбин,  Г.Ж.  Цатурян  –  К.:  Ин‐т  математики  АН  УССР,  1968,  №8.  − 
С. 56–57. 
 
 
 
 
 
Статья поступила в редакцию 25.09.12 
НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА  № 4, 2012 
13