litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 3
Петров А.Е.


Тензорный метод двойственных сетей
и управление устойчивым развитием



В статье рассматриваются тензорная методология в теории систем, метод двойственных сетей, алгоритмы расчета сетей при изменении структуры, постоянство мощности в двойственных сетях и применение метода двойственных сетей к управлению устойчивым развитием.


Виноват, — мягко отозвался неизвестный, — для того, чтобы управлять, нужно, как-никак, иметь точный план на некоторый, хоть сколько-нибудь приличный срок. Позвольте же вас спросить, как же может управлять человек, если он не только лишен возможности составить какой-нибудь план хотя бы на смехотворно короткий срок, ну, лет, скажем, в тысячу, но не может ручаться даже за свой собственный завтрашний день?

Булгаков М.А. «Мастер и Маргарита»


Управление устойчивым развитием социально-экономических систем требует применения математического моделирования, т.е. абстрактного представления реально происходящих явлений с помощью математической теории, математического метода. Для создания информационной технологии управления устойчивым развитием сетевая модель процессов и структуры обеспечивает необходимый и достаточный набор показателей, которые соответствуют измеримым величинам и являются основой проектирования структуры базы данных. Создание, пополнение, корректировка баз данных обеспечивают формы статистики и отчетности, которые формируются, в том числе, и на основе проектирования сетевой модели. Для практического управления системой осуществляется мониторинг значений показателей, соответствующих созданной модели, анализ событий в экономике, производственной и социальной сфере, технике, в научных исследованиях. Мониторинг динамики изменения показателей и пополнение соответствующих баз данных соответствует процедуре измерения.

Модель отражает взаимодействие показателей в реальной системе, закономерности изменения показателей при изменении внешних и внутренних условий, структуры связей элементов. Модель необходима для расчета вариантов достижения поставленных целей при заданных условиях, а также для расчета вариантов изменения результатов при изменении условий. Необходимы расчеты вариантов поведения систем с переменной структурой для приведения текущего состояния системы в состояние, заданное поставленными целями. Кроме того, необходим расчет вариантов путей достижения цели (при дополнительных условиях), а также расчет траектории движения системы в дальнейшем — в пространстве протекающих через нее потоков.


Существующие методы математического моделирования отражают либо процессы (метрические пространства теоретико-множественной топологии), либо структуру систем (комбинаторная топология). Тензорный метод двойственных сетей исследует фундаментальные свойства взаимного влияния материи процессов и структуры связей, как в абстрактном понимании, так и в приложении к изучению сложных систем. Полученные математические результаты применяются для анализа социально-экономической системы с целью управления устойчивым развитием.

Представляет научный, и не только научный, интерес найденный автором инвариант преобразования структуры, который состоит в том, что остается постоянной сумма метрических тензоров двух сетей с двойственной структурой, базисы подпространств замкнутых и разомкнутых путей которых взаимно дополняют друг друга до полного пространства. На этой основе получены алгоритмы расчета сетевых моделей при изменении структуры, включая разделение на подсистемы, что обеспечивает, например, расчет последствий структурных изменений в экономических и социальных системах.

В электротехнике этому соответствует постоянство рассеиваемой мощности в цепях с двойственной структурой при изменении соединения ветвей, что может рассматриваться как проявление закона сохранения потока энергии. Существование двойственных сетей, как условие постоянства потока энергии при изменении структуры, математически указывает на существование как минимум одного пространства, двойственного к наблюдаемому нами физическому пространству, дополняющее его до единого целого. Данный математический факт может изменить наше представление об окружающем мире. В частности, рассматривая мозг как электромагнитную систему, можно иначе, в более широком смысле, посмотреть на проблемы подсознания и другие вопросы. Известно, что академик Бехтерева обсуждала вопросы существования «зазеркалья» в мозге.


1. Тензорный метод в математике

Суть тензорного метода состоит в признании инвариантности объекта в пространстве (вектора, многомерного объема в геометрии; измеряемой величины в физике, технике или экономике). Реальный объект, измеряемый с помощью введенной меры, существует в пространстве независимо от заданных наблюдателем субъективных систем координат, в которых объект представлен своими компонентами (измерен), и вообще независимо от измерений со стороны наблюдателя. Если компоненты объекта при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по линейным законам, то это является признаком измеримости объекта и такой объект называется тензором.


Если тензор имеет ненулевые компоненты в одной системе координат, то он будет иметь ненулевые компоненты в любой системе координат. И, наоборот, если тензор имеет нулевые компоненты в одной системе координат, то он будет иметь нулевые компоненты в любой системе координат. Таким образом, реальный объект не исчезает при изменении координат и не возникает из ничего.

При изменении системы координат измеряемые компоненты объекта могут меняться по двум законам:


  • по такому же закону, как векторы базиса системы координат — ковариантные компоненты (обозначают нижними индексами);

  • по закону, противоположному закону изменения векторов базиса системы координат — контравариантные компоненты (обозначают верхними индексами).

Каждая независимая координата соответствует одному измерению пространства. Факт наличия нового измерения в пространстве определяется его новым качеством — независимостью от остальных измерений. Если координат выбрано больше, чем размерность пространства, то «лишние» координаты можно выразить через независимые, которые охватывают все измерения. Если координат выбрано меньше, чем размерность пространства, то некоторые элементы пространства окажутся неразличимыми, т.е. им будут соответствовать одинаковые значения уже выбранных координат.

Пусть в n-мерном пространстве задан базис одной системы координат bα = (b1,…, bn) и базис другой системы координат kβ = (k1,…, kn). Преобразование компонент одного базиса в другой осуществляется по формуле kβ = Cαβ bα, где Cαβ — матрица преобразования, в элементах строк которой находятся коэффициенты, которые показывают выражение каждого вектора нового базиса через векторы старого базиса.

Компоненты произвольного вектора преобразуются контравариантно по отношению к векторам базиса, с помощью матрицы преобразования Aαβ, ортогональной по отношению к матрице Cαβ. Произведение ортогональных матриц дает единичную матрицу Cαβ Aαβ = I.


В общем виде тензор — это геометрический объект в пространстве n измерений, который в каждой точке задан (p + r) параметрами-функциями, имеющими n проекций-компонент по каждой оси координат:

. (1)

При этом p компонент преобразуются как ковариантные, т.е. матрицей Cαα’, а r — как контравариантные — обратной матрицей Cα’α. Формула преобразования тензора T, p раз ковариантного и r раз контравариантного, имеет вид:

(2)

Таким образом, при переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора преобразуются линейно и однородно, тип тензора определяется законом преобразования его компонент, а общее число индексов называется рангом тензора.

Базис системы координат может быть «прямой», т.е. по единичным векторам, касательным к линиям координат. При изменении системы координат векторы прямого базиса преобразуются ковариантно; обозначаются, например, bα. Базис системы координат может быть «взаимный», т.е. по координатным гиперплоскостям, ортогональным к линиям координат, и определяться касательными векторами к данным гиперплоскостям. При изменении системы координат векторы взаимного базиса преобразуются противоположно по отношению к векторам прямого базиса, т.е. контравариантно; обозначаются, например, bα.

Прямой и взаимный базисы равноправны, произвольный вектор можно разложить по векторам любого из них. Значения компонент (проекций) вектора будут при этом различны. Любой вектор в простейшем случае косоугольных координат на плоскости имеет компоненты четырех типов, относящихся к прямому и взаимному базисам. Это контравариантные и ковариантные компоненты вектора в прямом базисе, а также ковариантные и контравариантные компоненты во взаимном базисе.


Таким образом, геометрический объект можно представить (измерить) в различных системах координат контравариантными и ковариантными компонентами в прямом и взаимном базисах. Значения компонент для разных систем координат меняются, но объект остается прежний (пока с ним самим не происходит изменений). В геометрии такой подход называется пассивной точкой зрения на преобразование координат; на этом построен тензорный анализ.

Линии координат имеют единичную размерность, ортогональные им гиперплоскости в n-мерном пространстве имеют размерность (n-1). Таким образом, прямой и взаимный базисы дополняют друг друга до полного пространства. Вообще говоря, можно представить себе в многомерном пространстве другие пары взаимных координат: 2-мерные элементы и (n-2)–мерные, 3-мерные элементы и (n-3)–мерные, и т.д. Совокупная размерность (геометрическая) каждой пары составляет полную размерность рассматриваемого n-мерного пространства.

Обобщенная сложная система, категории системы. Процессы и структура — это основные свойства всех сложных систем. Задача исследования состоит в определении отношений между этими свойствами в динамике их изменения. Конкретные проявления категории системы в разных предметных областях определяются содержанием процессов (физической размерностью) и структуры (геометрической размерностью) элементов. Системы различаются по физической сути процессов, по виду структуры связей элементов (точки, линии, плоскости и т.д.), что позволяет их классифицировать. Обобщенная система может рассматриваться как тензор — это абстрактный объект, а классы систем, определяемые типами и количеством процессов, размерностью и составом элементов структуры — ее проекции в частные системы координат.

В пространстве-структуре возникает понятие простейшей системы и эталонной системы, которые играют важную роль при построении математических моделей систем и расчетах целого по частям, с использованием параллельных вычислений. Свойства тензоров проявляются здесь в том, что расчет системы, включая вывод уравнений поведения, производится только для одной, простейшей структуры. Например, для отдельных, свободных элементов. Расчет, решение для любой другой структуры производится как преобразование координат полученного решения для простейшей системы.


Отсюда возникает необходимость построения эквивалентной модели исследуемой системы, для которой метод решения не разработан, с помощью другой системы (эталонной), для которой метод решения разработан [4].

Пространство потоков. Можно рассматривать физическое пространство, в котором существуют реальные системы, как пространство потоков энергии. Тогда все величины, составляющие поток энергии, будут представлены как его компоненты (ковариантные и контравариантные) в системах координат замкнутых и разомкнутых путей (прямой и взаимный базисы) пространства-структуры.

Такая трактовка физического пространства наиболее близка к математическому определению пространства как множества однородных объектов (точек). Отличие состоит в том, что векторы, составляющие такое пространство (потоки энергии), их компоненты в системах координат (воздействия и отклики) имеют разные физические размерности и могут существовать в элементах разной геометрической размерности. Если есть объекты, неоднородные с элементами данного пространства, то следует вводить пространство новых объектов, а затем рассматривать отношения между этими пространствами.

Вместе с тем метрические «элементы», т.е. характеристики материи природного вещества, которое составляет рассматриваемые системы, где протекают процессы, в такую трактовку не вписываются. Более того, материя, составляющая элементы сложных систем, существует и в отсутствии возбуждения, вызванного потоками энергии. Свойства элементов определяют поведение потоков энергии, когда эти потоки попадают в систему. Крон назвал невозбужденную сеть «мертвая сеть», а возбужденную — «живая сеть».

Таким образом, для исследования поведения процессов в системах с переменной структурой представляется целесообразным рассматривать двойную конструкцию пространства. Во-первых, сеть (возможно, многомерная), состоящая из соединенных элементов, обладающих метрическими характеристиками (или без них), свойствами базисов замкнутых и разомкнутых путей, двойственной сетью и инвариантом относительно преобразований структуры двойственных сетей. Во-вторых, наложенные на эту мертвую сеть потоки энергии, которые ее возбуждают, «оживляют» и компоненты которых распределяются по метрическим элементам в соответствии с их характеристиками и структурой соединения.


Выход из противоречия математического пространства и физического пространства находят в понятии математической модели. Для представления модели, включающей два или более класса объектов, вводят системы отсчета для каждого класса. Получаемое множество систем отсчета называется системой мер, изменение которой включает в себя преобразование координат «пассивного» типа для каждого класса объектов.

Метрика как мера характеристик материи элементов систем. Возможность измерения в пространстве вводится через понятие «метрика», которое обобщает понятие «масштаб измерения». В простейшем случае для этого задают единичный масштаб по каждой оси координат, т.е. величину некоторых векторов считают единицей измерения. Величина компонент других объектов измеряется по отношению к единичным векторам.

Из понятий линейной независимости векторов, базисов, ковариантных и контравариантных законов преобразования не следует понятие расстояние между двумя точками векторного пространства. Это обстоятельство отмечал Иммануил Кант, рассуждая о различии между синтетическими и аналитическими суждениями. «Что прямая линия есть кратчайшая между двумя точками, это — синтетическое понятие, так как мое понятие прямого не содержит ничего о величине, а содержит только качество. Понятие кратчайшего, следовательно, целиком прибавляется, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии. Здесь, следовательно, необходимо прибегнуть к помощи созерцания, посредством которого только и возможен синтез» [2].

Следующий шаг синтетического суждения относится к построению типа пространства и тем инвариантам, которые в нем используются для построения группы преобразований. Понятие группы играет ключевую роль. Группа объединяет множество объектов, действия над парами объектов дают объект того же множества; последовательность действий в любом порядке дает один результат; есть единичное действие, которое ничего не меняет, а каждому действию есть обратное, которое возвращает в исходное положение. Преобразования координат в пространстве образуют группу, и это гарантирует, что мы не выйдем за пределы пространства и ничего не потеряем, оставаясь в рамках таких преобразований.


В геометрии метрика вводится через понятия «скалярного произведения» и «двойственного пространства». Герман Вейль подчеркивает, что двойственное пространство вводится дополнительно, синтезируется с ранее введенными понятиями, а не выводится из них аналитически. Это необходимо для введения понятия абсолютной величины вектора с помощью квадрата абсолютной величины [3]. Квадрат абсолютной величины вектора r есть действительное число r2, которое в случае евклидовой геометрии является суммой квадратов его компонент, а в общем случае — это положительно определенная эрмитова форма от компонент вектора r.

Выбранная мера вводится через метрический (фундаментальный) тензор. Он определяется как произведение локальных векторов прямого базиса, дважды контравариантный тензор gαβ = bα bβ, или как произведение векторов взаимного базиса, дважды ковариантный тензор gαβ = bα bβ = (gαβ)-1. При изменении системы координат метрический тензор преобразуется двукратным умножением на матрицу преобразования.

Наиболее простым примером является метрический тензор, представленный единичной матрицей. Ему соответствует декартово пространство с прямоугольными координатами, в котором ковариантные и контравариантные компоненты не различаются.

Метрический тензор преобразует ковариантные компоненты в контравариантные, как векторов базиса bβ, так и произвольно заданных векторов r = rα bα, и наоборот. В тензорном анализе данная операция называется подниманием и опусканием индексов.

bβ = gαβ bα, rβ = gαβ rα, или bα = gαβ bβ, rα = gαβ rβ (3)

По сути, преобразование ковариантных компонент произвольного вектора в контравариантные компоненты (или наоборот) есть общее представление уравнений описания процессов. Процессы измеряет отклик системы на приложенное воздействие, преодолевающее сопротивление материи. Свойства материи элементов характеризует метрический тензор. Если воздействием являются ковариантные компоненты вектора потока (энергии), то отклик — контравариантные компоненты. Наоборот, если воздействием являются контравариантные компоненты, то отклик — ковариантные компоненты.


Произвольный вектор в пространстве, который может представлять, например, вектор потока энергии в системе, характеризует его абсолютная величина (длина). Квадрат величины вектора равен сумме произведений его ковариантных и контравариантных компонент по каждой оси координат.

r2 = Σ rα rβ (4)

Ковариантные и контравариантные компоненты имеют обратные законы преобразования при изменении базиса, поэтому квадрат величины вектора является инвариантом относительно преобразования координат. В физике этому соответствует мощность, которая характеризует величину потока энергии в единицу времени.

В электрической цепи мощность равна сумме произведений тока и напряжения по всем ветвям (квадрат величины вектора потока энергии), а сопротивление (импеданс) как метрический тензор связывает в уравнении закона Ома напряжение и ток, когда они играют роль воздействия или отклика. При изменении структуры связи ветвей в цепи вектор тока преобразуется по контравариантному закону, а вектор напряжения преобразуется по ковариантному закону. Первым это заметил Герман Вейль в 1923 г. [5], а систематически применил в тензорном анализе сетей Габриэль Крон в 1939 г. [6].

Поскольку квадрат величины вектора является инвариантом относительно преобразования координат, то казалось логичным предположение о том, что мощность в электрической цепи является инвариантом при изменении соединения ветвей. В реальности этого не происходит, мощность меняется. Например, при соединении двух ветвей с источниками навстречу друг другу мощность уменьшается пропорционально разности мощности двух источников, а при соединении друг за другом мощность увеличивается пропорционально сумме двух источников. Автор нашел, что мощность постоянна при изменении структуры связей двух цепей с двойственной структурой. Это является основой тензорного метода двойственных сетей.

2. Тензорная методология в теории систем



Мы говорим с тобой на разных языках, как всегда, — отозвался Воланд, — но вещи, о которых мы говорим, от этого не меняются.

Булгаков М.А. «Мастер и Маргарита»


В теории систем применение тензорного метода имеет ряд особенностей. Подход Крона позволил посмотреть на понятие тензора в более широком смысле — теоретическом, методологическом, философском. Под тензором следует понимать не просто геометрический объект, а реально существующую величину, которая дана нам в ощущениях через измерение. Тензорная величина однозначно определяется своими компонентами в заданной системе координат, которая должна охватить все независимые направления-размерности в пространстве, где производится измерение. В этом и состоит смысл определения тензора как функции, которая характеризуется многими значениями в каждой точке.

Структура и сети. Структура соединения элементов играет определяющую роль при формировании физической сути процессов, которые происходят в физических, технических и экономических системах. Структура играет важнейшую роль в информационных и биологических системах. Все физические явления порождены возникновением новых связей между элементами, структура которых становится все сложнее и образует системы новых уровней сложности. Элементарные частицы (нуклоны и мезоны) связаны в ядро, в котором возникают ядерные процессы. Само ядро, вместе с электронными оболочками, составляет структуру атома. На уровне атома возникают электромагнитные явления, когда нуклоны и электроны соединяются в единую систему. Многообразие химических процессов возникает при соединении атомов в молекулы. И так далее.

Поток энергии распространяется по выделенным направлениям. Каналы, по которым может проходить поток энергии и на протяжении которых материя обладает одинаковым сопротивлением, принято рассматривать как отдельные элементы. Эти элементы составляют систему, играя роль отдельных измерений в пространстве такой системы. Схема соединения элементов образует структуру системы.


Наиболее простой пример структуры — когда элементы являются одномерными линиями, отрезками-ветвями, соединенными концами между собой. Совокупность таких соединенных (или не соединенных) между собой элементов-ветвей называют сеть. От графа сеть отличается тем, что возможны любые соединения ветвей, при которых меняется число узлов-вершин в сети. Разные соединения рассматриваются как разные проекции одной и той же сети, заданной количеством элементов, в разные системы координат — структуры сети.

Пространство путей. Потоки энергии распространяются по ветвям сети, от одной ветви к другой. Ветви составляют пути, которые являются координатами. Совокупность путей образует пространство путей в сети. Линейно независимые наборы путей образуют базисы, как в обычном пространстве. Если путь начинается и заканчивается в одном узле, то он замкнутый, если нет — разомкнутый. Замкнутые и разомкнутые пути образуют в сети ортогональные подпространства. При изменении структуры, соединений ветвей, замкнутые пути превращаются в разомкнутые (открытые) — и наоборот. При этом меняется размерность их подпространств. Разделение пространства сети на подпространства замкнутых и разомкнутых путей, размерность которых меняется при соединении и разъединении, делает матрицы преобразования путей прямоугольными. Метод двойственных сетей с новым инвариантом изменения структуры обеспечивает моделирование и расчет сложных систем. Инвариант двойственности обеспечивает групповые свойства преобразований при изменении соединений элементов структуры.

Воздействия и отклики. Энергия — основная характеристика вещества, которая связана с массой соотношением Эйнштейна, т.е. энергия и масса связаны движением, которое представлено скоростью света в квадрате. Поток энергии измеряется как количество энергии в единицу времени через единичную площадь (сечение). Иначе можно сказать, что поток энергии измеряется как объем, проходимый единицей (плотности) энергии в единицу времени через единичную площадку в определенном направлении. Появление понятия «направление» показывает, что само понятие потока энергии связано со структурой, т.е. с выделенными в пространстве направлениями, по которым происходит движение.


Потоки энергии предстают наблюдателю для измерения как сочетание двух величин — воздействия и отклика. Воздействие является причиной, побудительным мотивом, которая прикладывается к материи, веществу, чтобы вызвать изменение, движение. Отклик является следствием взаимодействия причины, т.е. воздействия, и материи вещества (обладающей свойствами инерционности, косности, как говорил В.И. Вернадский). Косная материя всегда оказывает сопротивление распространению потока энергии. Материя оказывает сопротивление возникновению и поддержанию движения — в меру своей инертности. Такая инерционность, различная для разных видов энергии, характеризует материальные, метрические свойства материи, определяет метрику (пространства, системы).

Поток энергии как отклик материи на воздействие можно описать соотношением:

воздействие = сопротивление * отклик.

Такой вид имеют все уравнения описания процессов в элементах. Для совокупности элементов получаем систему уравнений. Решение получается из обратного отношения. Считаем, что воздействие и сопротивление можно измерить, а отклик надо рассчитать, т.е.:

отклик = воздействие / сопротивление.

В случае системы уравнений для многих взаимодействующих элементов воздействие и отклик представляют векторы, а сопротивление — матрица, которую надо обратить, тогда это решение задачи принимает вид:

отклик = (сопротивление) -1 * воздействие.

Постоянство мощности. Величина потока энергии измеряется как произведение воздействия и отклика. Эту величину называют мощность и определяют в зависимости от ситуации, как: энергия, потребляемая в единицу времени; или энергия, производимая в единицу времени; или энергия, рассеиваемая в единицу времени. Это можно записать так:

(поток энергии) = мощность = воздействие * отклик.


Такое соотношение перекликается с представленной выше связью воздействия, отклика и метрики, выраженной сопротивление материи, которую можно записать так:

(метрика) = сопротивление = воздействие / отклик.

Инвариантность, или постоянство мощности при изменении соединений элементов (структуры) двух двойственных сетей, является фундаментальной закономерностью пространства потоков для моделирования сложных систем.

Продольные и поперечные величины. Величины воздействия и отклика по способу их измерения делятся на два типа. Величины, которые измеряют в одной точке (например, электрический ток), называют продольными величинами. Этому соответствует прямой базис. Величины, которые измеряют как разность значений в двух пространственно различных точках (например, электрическое напряжение измеряется как разность значений потенциала между эквипотенциальными поверхностями), называют поперечными. Этому соответствует взаимный базис (две гиперплоскости, ортогональные к оси координат, как это представлено в работе Схоуттена [7]). Воздействие и отклик, компоненты вектора потока энергии, всегда представлены парой: продольной и поперечной величинами.

Физико-геометрический смысл таких двойственных пар состоит в самой природе потока энергии как объема, движущегося в определенном направлении. Продольная величина измеряет составляющую потока в направлении движения — например, поток жидкости или электрический ток. Поперечная величина измеряет составляющую потока как разность значений на плоскостях, перпендикулярных направлению движения потока, и отстоящих друг от друга на единицу расстояния. Таким образом, поперечная величина как бы соответствует двум измерениям. Геометрический смысл состоит в том, что одномерное измерение продольной величины вдоль линии, умноженное на двумерное измерение поперечной величины, соответствует трехмерному течению потока, в данном случае — потока энергии. Такой характер парности задан трехмерностью наблюдаемого пространства.


Продольные и поперечные величины представляют компоненты вектора потока энергии в системах координат прямого базиса (вдоль линий координат) и взаимного базиса (на векторах, которые касательные к гиперплоскостям, ортогональным к линиям координат). Например, электрическое напряжение определяют как разность потенциалов между эквипотенциальными поверхностями, ортогональными проводнику с током.

В каждой предметной области произведение соответствующих пар продольных и поперечных величин имеет физическую размерность мощности (потока энергии). В терминах таблицы физических величин Бартини-Кузнецова это [L5 T-5]. Например, электрические ток и напряжение; в механике сила в точке и скорость (как разность положения тела в двух точках в единицу времени); в гидродинамике поток жидкости (объем в единицу времени) и давление; в термодинамике поток тепла и температура; поток массы и концентрация (химический потенциал) и т.д. Распределение размерностей в каждой паре различное, но их произведение всегда имеет размерность [L5 T-5]. Например, ток имеет размерность [L3 T-3], а напряжение — [L2 T-2]; давление — [L4 T-2], а поток жидкости — [L1 T-3], и т.д.

Вместе с тем продольные величины играют роль контравариантных компонент вектора, а поперечные величины — роль контравариантных компонент. Мощность представляет собой, таким образом, квадрат величины вектора, т.е. вектора потока энергии. Продольные и поперечные величины в описании процессов могут быть как воздействиями, так и откликами, но содержание этой роли зависит от структуры связей элементов системы, по которой распространяются и преобразуются потоки энергии.

Продольные и поперечные величины (переменные — variables) ввел Файрстоун в работе «Новая аналогия между механическими и электрическими системами» [8]. Об этом упоминается в сборнике «Физическая структура в теории систем» [9]. Эпиграфом к этому сборнику взята цитата Крона: «Удивительно, как мало существует первичных типов элементов, образующих строительные блоки всего разнообразия технических структур… Огромное разнообразие структур отличается только способом соединений…, а многообразие теорий только типом рассматриваемой гипотетической системы отсчета» [10].


Физическая размерность величин воздействий и откликов меняется в зависимости от того, в структуре какого типа (замкнутых путях или разомкнутых путях) они заданы. Это определяет свойства системы как замкнутой или открытой. Если потоки энергии заданы в замкнутых путях (контурах) сети, то воздействиями являются поперечные величины, а откликами — продольные. Это описание замкнутых систем. Если потоки энергии заданы в разомкнутых путях сети, то воздействиями являются продольные величины, а откликами — поперечные. Это описание открытых систем.

Если часть источников представляет внешние воздействия, то система реагирует на них как открытая. Потоки распространяются в подпространстве разомкнутых путей. Если часть источников представляет внутренние воздействия, то система реагирует на них как замкнутая. Потоки распространяются в подпространстве замкнутых путей. Базисы разомкнутых и замкнутых путей взаимно дополняются до полного пространства, но независимы, ортогональны по отношению друг к другу. По этой причине одна система может вести себя и как замкнутая, и как открытая, в зависимости от вида приложенного к ней воздействия.

Например, в электрической цепи источники напряжения (воздействия) определяют токи (отклики) в замкнутых контурах. Расчет цепи производится контурным методом Кирхгоффа. Если заданы источники тока, то они определяют отклики-напряжения на разомкнутых путях (пары узлов). Расчет цепи производится узловым методом Кирхгоффа. Любые пути — это выбранные наблюдателем абстрактные координаты. Реальные измерения производятся в отдельных ветвях сети. Через каждую ветвь можно провести произвольное число путей. Сумма числа независимых замкнутых путей и разомкнутых путей постоянна и равна размерности пространства, т.е. количеству элементов системы (в сети это число ветвей).

Здесь возникает различие тензорного метода в теории систем и физике. В физике размерность пространства постоянна при изменении координат. В теории систем при изменении структуры размерность пространства меняется. Замыканию разомкнутого пути соответствует размыкание замкнутого пути. При соединении и разъединении меняется число независимых замкнутых путей и, естественно, разомкнутых путей. Меняется размерность подпространств: при соединении размерность подпространства замкнутых путей растет, для разомкнутых путей она уменьшается, а при разъединении — наоборот. Матрицы преобразования базисов путей оказываются прямоугольными, они не имеют обратных матриц, т.е. не образуют группу в обычном понимании. Процедура соединения или разъединения становится вырожденной, если преобразование производится от меньшей размерности к большей размерности.


В результате становится неопределенным расчет и анализ изменения процессов при изменении структуры. Как отмечал Освальд Веблен: «То, что преобразование координат образует группу, является важнейшей аксиомой геометрии» [11]. Изменение размерности подпространств в сети является причиной изменения мощности.

Как отмечалось, проблему решает инвариант изменения структуры двух двойственных сетей. В совокупности таких сетей сумма разомкнутых путей и замкнутых путей постоянна при любой структуре; каждому разомкнутому пути в одной сети соответствует замкнутый путь в другой сети — и наоборот. Этот инвариант представляет собой сумму метрических тензоров двух двойственных сетей, образующих единое пространство.

Существование нового инварианта позволило автору построить общий алгоритм расчета изменения процессов при любых изменениях структуры сетей [12]. Это позволяет исследовать отношения процессов и структуры для многомерных сетей, построить соответствующие алгоритмы. Постоянство мощности двойственных электрических цепей при изменении структуры является проявлением закона сохранения потока энергии.

Данный закон является логическим развитием известной теоремы Нётер, которая устанавливает связь между инфинитезимальными симметриями функционала и законами сохранения для соответствующей системы уравнений Эйлера-Лагранжа, дающей необходимые условия экстремума функционала. Инвариантность функций Лагранжа различных физических полей относительно параллельных переносов и преобразований Лоренца (следствие однородности и изотропности пространства-времени Минковского) приводит по теореме Нётер к тензору энергии-импульса и тензору момента количества движения поля и к соответствующим им законам сохранения энергии, импульса и момента количества движения [13].

Закон сохранения потока энергии в большей степени является физико-структурным законом, чем законы сохранения импульса (однородность пространства), момента импульса (изотропность пространства), сохранения энергии (симметрия времени). Известные законы сохранения связаны со структурой однородного, симметричного пространства. Закон сохранения потока энергии связан со структурами, которые возникают в пространстве, и эти структуры не являются ни однородными, ни изотропными. Вместо симметрии появляется двойственность, т.е. взаимное дополнение двух структур, только в совокупности образующих целое. Собственно двойственность возникает из понятия ориентации. Поток может распространяться только в одном направлении в заданной сети. В двойственной сети его дополняет противоположно ориентированное направление.


Двойственность характеристик сетевых моделей сложных систем. Основные двойственные пары понятий следующие:


  • воздействия и отклики — по их роли в поддержании процесса;

  • продольные и поперечные величины — по способу измерения величины в одной точке, или как разность измерений в двух точках;

  • контравариантные и ковариантные величины — по типу изменения при изменении базиса;

  • материальные характеристики метрики, материи элементов системы — по их роли в качестве «сопротивления» или «проводимости»;

  • замкнутые и разомкнутые пути;

  • открытые и замкнутые системы.

На рис. 1 представлены отношения между метрикой и структурой, воздействиями и откликами для возбужденной и невозбужденной систем. Виды двойственности представлены на рис. 2 для системы, в которой один процесс протекает в структуре из одномерных элементов.





Рис. 1. Отношения между характеристиками невозбужденной и возбужденной системы.


Физические величины воздействий и откликов, характеризующие потоки энергии, по типу измерения (продольные и поперечные) для открытых и закрытых (замкнутых) систем меняются местами. Базисом для процессов в открытой системе являются разомкнутые пути. Базисом для процессов в замкнутой системе являются контуры (замкнутые пути).





Рис. 2. Двойственность замкнутых и открытых сложных систем.

Эти понятия используются для создания сетевых моделей систем разных предметных областей. Вместе с тем нельзя автоматически перенести установленные аналогии и соотношения между, например, продольными и поперечными величинами, воздействиями и откликами, определяющими потоки энергии, на любую систему, в которой распространяются потоки энергии данного вида. На основе аналогий надо создать сетевую модель, свойства которой будут адекватны свойствам исходной системы.


Сама возможность построения сетевой модели является критерием правильности понимания исследуемой предметной области. А значит возможности проектирования и управления процессами в системах данной предметной области. Поскольку это означает, что все измеримые величины, составляющие существо данной системы, получили свое место на структурной схеме, описывающей связи между элементами системы. Количественные отношения между величинами задают уравнения поведения в связях сетевой модели.


3. Метод двойственных сетей


Сеть — совокупность n одномерных ориентированных отрезков (ветвей), соединенных узлами на концах в различные схемы. Структура — схема связи ветвей в сети. Преобразование структуры — изменение соединения ветвей, включая изменение числа узлов.

Путь — набор ветвей, порядок их прохождения определяет ориентацию пути. Замкнутый путь заканчивается в узле начала; разомкнутый путь — заканчивается не в узле начала. Замкнутые и разомкнутые пути образуют базисы в пространстве путей в сети.

Любая ветвь имеет две части — замкнутую и разомкнутую, которые являются двойственными по отношению друг к другу. Отношения между ними показаны на рис. 3.



Замкнутая часть ветви образует замкнутый путь (контур) - mp

Ветвь - элемент двух двойственных сетей






α-сеть – заданное

подпространство cети






Разомкнутая часть ветви образует разомкутый путь - jp



α-сеть – двойственное

подпроcтранство cети


Рис. 3. Двойственность в одной ветви.


Топологические соотношения между двумя двойственными частями (замкнутой и разомкнутой) в одной ветви имеют следующий вид.





Замкнутая часть

Разомкнутая часть

Сумма

Ветви

nα = 1

nα = 1

nα0 = 2

Узлы

Jα = 1

Jα = 2


Jα0 = 3

Подсети

sα = 1

sα = 1

sα0 = 2

Разомкнутые пути

jα = Jα – sα = 0

jαα = Jαsα = 1

jα0 = jα + jα = 1

Замкнутые пути (контуры)

mα = nα – jα = 1

mα = nαjα = 0

mα0 = 1


Соединение и разъединение. С точки зрения проективной геометрии, одномерная ветвь, как элемент сети, всегда замкнута и образует контур. Если она разомкнута, то ее можно рассматривать как замкнутую на бесконечности. Ветвь замкнута, когда все ее точки собственные. Если одна произвольная точка контура удаляется из контура на бесконечность (становится несобственной точкой), то это можно рассматривать как размыкание. Превращение собственной точки в несобственную размыкает контур, делает ветвь разомкнутой. Тогда ветвь образует разомкнутый путь, причем он разомкнут на бесконечности. Возвращение несобственной точки из бесконечности (или другого измерения) замыкает разомкнутую ветвь.

Таким образом, преобразования соединения и разъединения кажутся связанными с бесконечностью. Однако есть и другая возможность представить преобразования структуры. Расположим контур на плоскости. Для размыкания нужно удалить хотя бы одну точку из контура (тогда возникнут границы — узлы), а для замыкания нужно вернуть удаленную точку, т.е. совместить границы. Не обязательно для этого использовать бесконечность.


Можно удаляемую точку приподнять над плоскостью, выйдя в другое измерение. Как только хотя бы одна точка удалена из непрерывного контура, он становится разомкнутым, но теперь это означает, что часть контура перешла в другое измерение. При этом не исключено, что в другом измерении удаленная часть контура данной плоскости замкнет там другой контур, который до этого был разомкнутым. При таком рассмотрении преобразования структуры оказываются связанными с увеличением числа измерений рассматриваемого пространства и переходами от одного измерения к другому измерению.

Преобразования соединения и разъединения ветвей в трехмерном пространстве и на проективной плоскости представлены на рис. 4.




Рис. 4. Размыкание и замыкание ветвей


Ориентация ветвей. Ветвь, как и любая геометрическая линия, может обладать ориентацией, определяемой порядком прохождения составляющих ее точек. Ориентация каждой ветви выбирается исходно и в данной сети уже не меняется. Выбор и изменение ориентации путей в ветвях является одним из способов преобразования координат в пространстве сети. Ориентации путей и ориентации ветвей в двойственных сетях взаимно дополняют друг друга. Это один из инвариантов двойственных сетей.

На рис. 5 представлена процедура соединения трех свободных ветвей в связанную сеть. Когда в заданной сети свободные ветви замкнуты, то в двойственной сети они разомкнуты. При наложении связей в заданной сети часть замкнутых путей размыкается. Соответственно, в двойственной сети такое же количество разомкнутых путей замыкается.

Свободные ветви

Данное пространство – три контура


nα1 = 3, Jα1 = 3, sα1 = 3, jα1 = 0, mα1 = 3


Заданная сеть





Двойственная сеть

Двойственное пространство — три разомкнутых пути

nα1 = 3, Jα1 = 6, sα1 = 3, jα1 = 3, mα1 = 0


Связанные ветви

Сумма: nα = 6, Jα0= 5, sα0= 2, jα = 3, mα = 3




Данное подпространство — два контура

nα2 = 3, Jα2 = 2, sα2 = 1, jα2 = 1, mα2 = 2




Двойственная сеть

Двойственное подпространство — один контур

n α3 = 3, J α3 = 3, s α3 = 1, j α3 = 2, m α3 = 1



следующая страница >>