litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 ... 4 5
Петров А.Е.


Тензорный метод двойственных сетей
и управление устойчивым развитием



В статье рассматриваются тензорная методология в теории систем, метод двойственных сетей, алгоритмы расчета сетей при изменении структуры, постоянство мощности в двойственных сетях и применение метода двойственных сетей к управлению устойчивым развитием.


Виноват, — мягко отозвался неизвестный, — для того, чтобы управлять, нужно, как-никак, иметь точный план на некоторый, хоть сколько-нибудь приличный срок. Позвольте же вас спросить, как же может управлять человек, если он не только лишен возможности составить какой-нибудь план хотя бы на смехотворно короткий срок, ну, лет, скажем, в тысячу, но не может ручаться даже за свой собственный завтрашний день?

Булгаков М.А. «Мастер и Маргарита»


Управление устойчивым развитием социально-экономических систем требует применения математического моделирования, т.е. абстрактного представления реально происходящих явлений с помощью математической теории, математического метода. Для создания информационной технологии управления устойчивым развитием сетевая модель процессов и структуры обеспечивает необходимый и достаточный набор показателей, которые соответствуют измеримым величинам и являются основой проектирования структуры базы данных. Создание, пополнение, корректировка баз данных обеспечивают формы статистики и отчетности, которые формируются, в том числе, и на основе проектирования сетевой модели. Для практического управления системой осуществляется мониторинг значений показателей, соответствующих созданной модели, анализ событий в экономике, производственной и социальной сфере, технике, в научных исследованиях. Мониторинг динамики изменения показателей и пополнение соответствующих баз данных соответствует процедуре измерения.

Модель отражает взаимодействие показателей в реальной системе, закономерности изменения показателей при изменении внешних и внутренних условий, структуры связей элементов. Модель необходима для расчета вариантов достижения поставленных целей при заданных условиях, а также для расчета вариантов изменения результатов при изменении условий. Необходимы расчеты вариантов поведения систем с переменной структурой для приведения текущего состояния системы в состояние, заданное поставленными целями. Кроме того, необходим расчет вариантов путей достижения цели (при дополнительных условиях), а также расчет траектории движения системы в дальнейшем — в пространстве протекающих через нее потоков.


Существующие методы математического моделирования отражают либо процессы (метрические пространства теоретико-множественной топологии), либо структуру систем (комбинаторная топология). Тензорный метод двойственных сетей исследует фундаментальные свойства взаимного влияния материи процессов и структуры связей, как в абстрактном понимании, так и в приложении к изучению сложных систем. Полученные математические результаты применяются для анализа социально-экономической системы с целью управления устойчивым развитием.

Представляет научный, и не только научный, интерес найденный автором инвариант преобразования структуры, который состоит в том, что остается постоянной сумма метрических тензоров двух сетей с двойственной структурой, базисы подпространств замкнутых и разомкнутых путей которых взаимно дополняют друг друга до полного пространства. На этой основе получены алгоритмы расчета сетевых моделей при изменении структуры, включая разделение на подсистемы, что обеспечивает, например, расчет последствий структурных изменений в экономических и социальных системах.

В электротехнике этому соответствует постоянство рассеиваемой мощности в цепях с двойственной структурой при изменении соединения ветвей, что может рассматриваться как проявление закона сохранения потока энергии. Существование двойственных сетей, как условие постоянства потока энергии при изменении структуры, математически указывает на существование как минимум одного пространства, двойственного к наблюдаемому нами физическому пространству, дополняющее его до единого целого. Данный математический факт может изменить наше представление об окружающем мире. В частности, рассматривая мозг как электромагнитную систему, можно иначе, в более широком смысле, посмотреть на проблемы подсознания и другие вопросы. Известно, что академик Бехтерева обсуждала вопросы существования «зазеркалья» в мозге.


1. Тензорный метод в математике

Суть тензорного метода состоит в признании инвариантности объекта в пространстве (вектора, многомерного объема в геометрии; измеряемой величины в физике, технике или экономике). Реальный объект, измеряемый с помощью введенной меры, существует в пространстве независимо от заданных наблюдателем субъективных систем координат, в которых объект представлен своими компонентами (измерен), и вообще независимо от измерений со стороны наблюдателя. Если компоненты объекта при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по линейным законам, то это является признаком измеримости объекта и такой объект называется тензором.


Если тензор имеет ненулевые компоненты в одной системе координат, то он будет иметь ненулевые компоненты в любой системе координат. И, наоборот, если тензор имеет нулевые компоненты в одной системе координат, то он будет иметь нулевые компоненты в любой системе координат. Таким образом, реальный объект не исчезает при изменении координат и не возникает из ничего.

При изменении системы координат измеряемые компоненты объекта могут меняться по двум законам:


  • по такому же закону, как векторы базиса системы координат — ковариантные компоненты (обозначают нижними индексами);

  • по закону, противоположному закону изменения векторов базиса системы координат — контравариантные компоненты (обозначают верхними индексами).

Каждая независимая координата соответствует одному измерению пространства. Факт наличия нового измерения в пространстве определяется его новым качеством — независимостью от остальных измерений. Если координат выбрано больше, чем размерность пространства, то «лишние» координаты можно выразить через независимые, которые охватывают все измерения. Если координат выбрано меньше, чем размерность пространства, то некоторые элементы пространства окажутся неразличимыми, т.е. им будут соответствовать одинаковые значения уже выбранных координат.

Пусть в n-мерном пространстве задан базис одной системы координат bα = (b1,…, bn) и базис другой системы координат kβ = (k1,…, kn). Преобразование компонент одного базиса в другой осуществляется по формуле kβ = Cαβ bα, где Cαβ — матрица преобразования, в элементах строк которой находятся коэффициенты, которые показывают выражение каждого вектора нового базиса через векторы старого базиса.

Компоненты произвольного вектора преобразуются контравариантно по отношению к векторам базиса, с помощью матрицы преобразования Aαβ, ортогональной по отношению к матрице Cαβ. Произведение ортогональных матриц дает единичную матрицу Cαβ Aαβ = I.


В общем виде тензор — это геометрический объект в пространстве n измерений, который в каждой точке задан (p + r) параметрами-функциями, имеющими n проекций-компонент по каждой оси координат:

. (1)

При этом p компонент преобразуются как ковариантные, т.е. матрицей Cαα’, а r — как контравариантные — обратной матрицей Cα’α. Формула преобразования тензора T, p раз ковариантного и r раз контравариантного, имеет вид:

(2)

Таким образом, при переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора преобразуются линейно и однородно, тип тензора определяется законом преобразования его компонент, а общее число индексов называется рангом тензора.

Базис системы координат может быть «прямой», т.е. по единичным векторам, касательным к линиям координат. При изменении системы координат векторы прямого базиса преобразуются ковариантно; обозначаются, например, bα. Базис системы координат может быть «взаимный», т.е. по координатным гиперплоскостям, ортогональным к линиям координат, и определяться касательными векторами к данным гиперплоскостям. При изменении системы координат векторы взаимного базиса преобразуются противоположно по отношению к векторам прямого базиса, т.е. контравариантно; обозначаются, например, bα.

Прямой и взаимный базисы равноправны, произвольный вектор можно разложить по векторам любого из них. Значения компонент (проекций) вектора будут при этом различны. Любой вектор в простейшем случае косоугольных координат на плоскости имеет компоненты четырех типов, относящихся к прямому и взаимному базисам. Это контравариантные и ковариантные компоненты вектора в прямом базисе, а также ковариантные и контравариантные компоненты во взаимном базисе.


Таким образом, геометрический объект можно представить (измерить) в различных системах координат контравариантными и ковариантными компонентами в прямом и взаимном базисах. Значения компонент для разных систем координат меняются, но объект остается прежний (пока с ним самим не происходит изменений). В геометрии такой подход называется пассивной точкой зрения на преобразование координат; на этом построен тензорный анализ.

Линии координат имеют единичную размерность, ортогональные им гиперплоскости в n-мерном пространстве имеют размерность (n-1). Таким образом, прямой и взаимный базисы дополняют друг друга до полного пространства. Вообще говоря, можно представить себе в многомерном пространстве другие пары взаимных координат: 2-мерные элементы и (n-2)–мерные, 3-мерные элементы и (n-3)–мерные, и т.д. Совокупная размерность (геометрическая) каждой пары составляет полную размерность рассматриваемого n-мерного пространства.

Обобщенная сложная система, категории системы. Процессы и структура — это основные свойства всех сложных систем. Задача исследования состоит в определении отношений между этими свойствами в динамике их изменения. Конкретные проявления категории системы в разных предметных областях определяются содержанием процессов (физической размерностью) и структуры (геометрической размерностью) элементов. Системы различаются по физической сути процессов, по виду структуры связей элементов (точки, линии, плоскости и т.д.), что позволяет их классифицировать. Обобщенная система может рассматриваться как тензор — это абстрактный объект, а классы систем, определяемые типами и количеством процессов, размерностью и составом элементов структуры — ее проекции в частные системы координат.

В пространстве-структуре возникает понятие простейшей системы и эталонной системы, которые играют важную роль при построении математических моделей систем и расчетах целого по частям, с использованием параллельных вычислений. Свойства тензоров проявляются здесь в том, что расчет системы, включая вывод уравнений поведения, производится только для одной, простейшей структуры. Например, для отдельных, свободных элементов. Расчет, решение для любой другой структуры производится как преобразование координат полученного решения для простейшей системы.


Отсюда возникает необходимость построения эквивалентной модели исследуемой системы, для которой метод решения не разработан, с помощью другой системы (эталонной), для которой метод решения разработан [4].

Пространство потоков. Можно рассматривать физическое пространство, в котором существуют реальные системы, как пространство потоков энергии. Тогда все величины, составляющие поток энергии, будут представлены как его компоненты (ковариантные и контравариантные) в системах координат замкнутых и разомкнутых путей (прямой и взаимный базисы) пространства-структуры.

Такая трактовка физического пространства наиболее близка к математическому определению пространства как множества однородных объектов (точек). Отличие состоит в том, что векторы, составляющие такое пространство (потоки энергии), их компоненты в системах координат (воздействия и отклики) имеют разные физические размерности и могут существовать в элементах разной геометрической размерности. Если есть объекты, неоднородные с элементами данного пространства, то следует вводить пространство новых объектов, а затем рассматривать отношения между этими пространствами.

Вместе с тем метрические «элементы», т.е. характеристики материи природного вещества, которое составляет рассматриваемые системы, где протекают процессы, в такую трактовку не вписываются. Более того, материя, составляющая элементы сложных систем, существует и в отсутствии возбуждения, вызванного потоками энергии. Свойства элементов определяют поведение потоков энергии, когда эти потоки попадают в систему. Крон назвал невозбужденную сеть «мертвая сеть», а возбужденную — «живая сеть».

Таким образом, для исследования поведения процессов в системах с переменной структурой представляется целесообразным рассматривать двойную конструкцию пространства. Во-первых, сеть (возможно, многомерная), состоящая из соединенных элементов, обладающих метрическими характеристиками (или без них), свойствами базисов замкнутых и разомкнутых путей, двойственной сетью и инвариантом относительно преобразований структуры двойственных сетей. Во-вторых, наложенные на эту мертвую сеть потоки энергии, которые ее возбуждают, «оживляют» и компоненты которых распределяются по метрическим элементам в соответствии с их характеристиками и структурой соединения.


Выход из противоречия математического пространства и физического пространства находят в понятии математической модели. Для представления модели, включающей два или более класса объектов, вводят системы отсчета для каждого класса. Получаемое множество систем отсчета называется системой мер, изменение которой включает в себя преобразование координат «пассивного» типа для каждого класса объектов.

Метрика как мера характеристик материи элементов систем. Возможность измерения в пространстве вводится через понятие «метрика», которое обобщает понятие «масштаб измерения». В простейшем случае для этого задают единичный масштаб по каждой оси координат, т.е. величину некоторых векторов считают единицей измерения. Величина компонент других объектов измеряется по отношению к единичным векторам.

Из понятий линейной независимости векторов, базисов, ковариантных и контравариантных законов преобразования не следует понятие расстояние между двумя точками векторного пространства. Это обстоятельство отмечал Иммануил Кант, рассуждая о различии между синтетическими и аналитическими суждениями. «Что прямая линия есть кратчайшая между двумя точками, это — синтетическое понятие, так как мое понятие прямого не содержит ничего о величине, а содержит только качество. Понятие кратчайшего, следовательно, целиком прибавляется, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии. Здесь, следовательно, необходимо прибегнуть к помощи созерцания, посредством которого только и возможен синтез» [2].

Следующий шаг синтетического суждения относится к построению типа пространства и тем инвариантам, которые в нем используются для построения группы преобразований. Понятие группы играет ключевую роль. Группа объединяет множество объектов, действия над парами объектов дают объект того же множества; последовательность действий в любом порядке дает один результат; есть единичное действие, которое ничего не меняет, а каждому действию есть обратное, которое возвращает в исходное положение. Преобразования координат в пространстве образуют группу, и это гарантирует, что мы не выйдем за пределы пространства и ничего не потеряем, оставаясь в рамках таких преобразований.


В геометрии метрика вводится через понятия «скалярного произведения» и «двойственного пространства». Герман Вейль подчеркивает, что двойственное пространство вводится дополнительно, синтезируется с ранее введенными понятиями, а не выводится из них аналитически. Это необходимо для введения понятия абсолютной величины вектора с помощью квадрата абсолютной величины [3]. Квадрат абсолютной величины вектора r есть действительное число r2, которое в случае евклидовой геометрии является суммой квадратов его компонент, а в общем случае — это положительно определенная эрмитова форма от компонент вектора r.

Выбранная мера вводится через метрический (фундаментальный) тензор. Он определяется как произведение локальных векторов прямого базиса, дважды контравариантный тензор gαβ = bα bβ, или как произведение векторов взаимного базиса, дважды ковариантный тензор gαβ = bα bβ = (gαβ)-1. При изменении системы координат метрический тензор преобразуется двукратным умножением на матрицу преобразования.

Наиболее простым примером является метрический тензор, представленный единичной матрицей. Ему соответствует декартово пространство с прямоугольными координатами, в котором ковариантные и контравариантные компоненты не различаются.

Метрический тензор преобразует ковариантные компоненты в контравариантные, как векторов базиса bβ, так и произвольно заданных векторов r = rα bα, и наоборот. В тензорном анализе данная операция называется подниманием и опусканием индексов.

bβ = gαβ bα, rβ = gαβ rα, или bα = gαβ bβ, rα = gαβ rβ (3)

По сути, преобразование ковариантных компонент произвольного вектора в контравариантные компоненты (или наоборот) есть общее представление уравнений описания процессов. Процессы измеряет отклик системы на приложенное воздействие, преодолевающее сопротивление материи. Свойства материи элементов характеризует метрический тензор. Если воздействием являются ковариантные компоненты вектора потока (энергии), то отклик — контравариантные компоненты. Наоборот, если воздействием являются контравариантные компоненты, то отклик — ковариантные компоненты.

Произвольный вектор в пространстве, который может представлять, например, вектор потока энергии в системе, характеризует его абсолютная величина (длина). Квадрат величины вектора равен сумме произведений его ковариантных и контравариантных компонент по каждой оси координат.


следующая страница >>