litceysel.ru
добавить свой файл
1
ПРОГРАММА ФАКУЛЬТАТИВА ПО МАТЕМАТИКЕ


8 «Э» КЛАСС


АЛГЕБРА

90

ГЕОМЕТРИЯ

72

ИТОГО

162

учебный год 2009-2010

136

летняя школа

26


ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ


занятия

Содержание материала

Кол-во часов




АЛГЕБРА







ГЛАВА I. Введение (6)




7

Кванторы. Правило формулирования противоположного высказывания. Применения кванторов. Доказательство от противного.

1

Теорема. Критерий. Различные способы чтения теорем.

8

Уравнение (условное равенство). Что означает «решить уравнение»?

1


Множество. Операции над множествами: объединение, пересечения, разность, симметричная разность и системы, совокупности уравнений.

9

Системы и совокупности уравнений. Примеры применений теории множеств для решения системы уравнений и совокупности уравнений. Геометрический смысл решения системы уравнений.

1

10, 11, 12

Понятие делимости в целых числах. Применение формул сокращенного умножения в задачах на делимость.

3

ГЛАВА II. Три важнейшие теоремы в теории чисел или три взгляда на целые числа (4)

19

Простые числа. Основная теорема арифметики.

1

Теорема о делении с остатком. Геометрический смысл неполного частного и остатка при делении.

20

Задача о взятке. Теорема о системах счисления.

1

21

Алгоритм разложения на простые множители.

1

22

Устный счет: нахождение остатком при делении.

1

ГЛАВА III. Основная теорема арифметики: решение уравнений в целых числах (10)

23

Постановка задачи: отличие тем «решение уравнений» и «решение уравнений в целых числах»


1

24, 25

Текстовые задачи, приводящие к решению уравнений в целых числах.

2

26, 27

Уравнение первой степени с двумя неизвестными: частное решение, общий вид решения.

2

28, 29, 30

Уравнение второй степени с двумя неизвестными: метод неопределенных коэффициентов (I-V уровни).

3

31, 32

Применение формул сокращенного умножения для решения уравнений в целых числах.

2

ГЛАВА IV. Теорема о делении с остатком: решение уравнений в целых числах (6)

37

Конечные и бесконечные множества. Пример «гостиница». Примеры уравнений с конечным и бесконечным числом решений.

1

38, 39

Доказательство отсутствия решения с помощью остатков

2

40

Доказательства существования решения.

1

41, 42

Решение уравнений в целых числах с конечным числом решений с помощью остатков

2

ГЛАВА V. Основная теорема арифметики (4)


43

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК): определение, простейшие свойства.

1

44, 45

Теорема о НОД и НОК нескольких чисел. Теорема о произведении НОД и НОК двух чисел.

2

46

Количество делителей и сумма делителей целого числа.

1

ГЛАВА VI. Теорема о делении с остатком (10)

47

НОД: дальнейшие свойства.

1

48

Алгоритм Евклида: 4 формы записи, преимущества и недостатки. Применения.

1

49

Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя двух чисел.

1

50

Сравнения по модулю: определение, свойства, подобные свойствам равенств.

1

51

Дальнейшие свойства сравнений.

1

52

Полная система вычетов.

1

Приведенная система вычетов.

53

Функция Эйлера: определение, свойства.


1

54

Теорема Ферма

1

55

Теорема Эйлера. Усиление теоремы Эйлера (без доказательства).

1

56

Применение теории сравнений в задачах на делимость.

1

ГЛАВА VII. Теорема о системах счисления (10)

57

Теорема Лежандра (о разложение n! на простые множители).

1

58

Различные системы счисления: определение.

1

59, 60, 61, 62

Арифметические операции в системах счисления.

4

63

Десятичная запись натуральных чисел. Цифры и числа. Восстановления цифр в десятичной записи натуральных чисел.

1

64

Признак делимости Паскаля.

1

65

Эстафетные признаки делимости.

1

66

Последняя теорема Ферма. Пифагорские тройки.

1

ГЛАВА VIII. Принцип Дирихле (8)


67, 68

Целая и дробная части числа. Задача Эрмита.

2

69, 70

Задача о кроликах. Обобщенный дискретный принцип Дирихле.

2

71

Принцип Дирихле и делимость целых чисел.

1

72

Принцип Дирихле и дополнительные соображения.

1

73

Принцип Дирихле в геометрии (непрерывный принцип Дирихле).

1

74

Окраска плоскостей и её частей. Таблицы.

1

ГЛАВА IX. Метод математической индукции (6)

75

Последовательность: определение, способы задания.

1

76

Метод математической индукции. Рекомендации.

1

77

Формула бинома Ньютона.

1

78, 79

Доказательство тождеств.

2

80

Применение метода математической индукции в задачах на делимость.

1


ГЛАВА X. Применения теории чисел: выделение элемента из подмножества (8)

81

Упорядочивание конечных наборов.

1

82

Троичная система счисления и взвешивания на чашечных весах без гирь.

1

83, 84

Задача о короле и 30 рыцарей. Взвешивания на весах со стрелкой.

2

85, 86

Составление наборов с заданными весовыми свойствами.

2

87, 88

Задачи на переливание и решение уравнений в целых числах.

2

ГЛАВА XI. Приложения теории чисел в криптографии (8)

89

Из истории криптографии: скитала, «квадрат Полибия», шифр Ю. Цезаря, шифр императора Августа, «решетка Карно»,

1

90, 91

Из истории криптографии: шифр А.Тритемиуса.

2

92

Шифры подполья.

1

93, 94

Криптосистема с открытым ключом.

2

95

Электронная подпись.


1

96

Критерии простоты: теорема Вильсона, теорема Лейбница.

1

ГЛАВА XII. Неравенства (10)

137

Метод выделения полного квадрата. Простейшие неравенства.

1

138, 139

Использование метода Штурма.

2

140

Метод использования соотношений между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными.

1

141, 142

Метод применения неравенства Коши-Буняковского.

2

143

Метод использования свойств симметрии и однородности.

1

144, 145, 146

Применения неравенств для решений уравнений.

3




ГЕОМЕТРИЯ




ГЛАВА I. Введение в геометрию (6)

1, 2, 3

Геометрия как аксиоматическая наука. Различные системы аксиом: Гильберт, Атанасян, Бутузов, Погорелов, Шарыгин, Лобачевский.

3


4

О чертежах в геометрии. Рисунок Р. Пенроуза, лестница Схоутена.

1

5

Софизм: все прямые параллельны.

1

6

Софизм: все треугольники равнобедренные.

1

ГЛАВА II. Треугольники (6)

13

Неравенство треугольника.

1

14, 15

Равенство фигур. Еще признаки равенства треугольников. Софизмы, связанные с псевдо признаками равенства треугольников.

2

16

Задача на разрезание треугольника.

1

17

Сумма углов треугольника.

1

18

Средняя линия треугольника.

1

ГЛАВА III. Многоугольники (4)




33, 34

Ломанная. Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Замкнутая линия.

2

35

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника.

1


36

Теоремы Вариньона и Гаусса.

1

ГЛАВА IV. Подобие фигур (12)

97

Подобие фигур. Обобщенная теорема Фалеса – как первое упоминание подобия фигур.

1

98

Другие признаки подобия фигур.

1

99

Теорема о серединах оснований, точки пересечения диагоналей и точки пересечения продолжения боковых сторон трапеции.

1

100

Следствия теоремы Пифагора: одно свойство прямой, перпендикулярной данному отрезку. Критерий перпендикулярности диагоналей выпуклого четырехугольника.

1

101, 102

Теорема косинусов без формул тригонометрии. Следствия теоремы косинусов: обратная теорема Пифагора, теорема Стюарта, теорема Эйлера о сумме квадратов диагоналей выпуклого четырехугольника.

2

103, 104

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. Следствия: теорема Чевы, теорема Менелая.

2

105

Теорема об основаниях высот треугольника.

1

106

Теорема о произведении расстояния от ортоцентра до основания высоты треугольника.


1

107, 108

Еще замечательные точки в треугольнике.

2

ГЛАВА V. Окружность (10)

109

Теорема Паскаля.

1

110, 111

Вневписанные окружности.

2

112, 113

Вписанные и описанные многоугольники.

2

114, 115

Вписанные и описанные четырехугольники.

2

116, 117, 118

Одна задача Архимеда об арбелосе.

3

ГЛАВА VI. Геометрические построения (12)

119

Измерение отрезков и углов. Соизмеримые отрезки. Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата.

1

120, 121

Основные (базовые) геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

2

122

Теорема Фалеса: построение соизмеримых отрезков.

1

123

Теорема Пифагора: построение отрезков, длины которых выражаются с помощью арифметического корня.


1

124

Задачи на построение: среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное двух отрезков.

1

125, 126

Задачи на построение: метод подобия.

2

127, 128

Геометрические построения с помощью одного циркуля. Основная теорема в задачах на построение с помощью циркуля и линейки.

2

129

Геометрические построения с ограничениями.

1

130

Различные геометрические построения.

1

ГЛАВА VII. Ортогональные проекции (6)

131, 132

Ортогональные проекция: определение, свойства.

2

133, 134

Формулы проекций и их следствия.

2

135, 136

Арифметизация прямой. Критерий расположения трех точек на прямой (теорема Шаля).

2

ГЛАВА VIII. Разрезание фигур (4)

147

Разрезание многоугольников.

1


148

Равносоставленные многоугольники.

1

149, 150

Разрезание квадрата.

2

ГЛАВА IX. Площадь (12)

151

Площадь многоугольника в узлах целочисленной решетки.

1

152

Равновеликие и равносоставленные многоугольники. Теорема Бойяи-Гервина.

1

153

Метод Евклида (триангуляция).

1

154

Метод площадей: теоремы об отношение площадей треугольников.

1

155

Признак равенства треугольников по двум сторонам и биссектрисе, проведенной из одной вершины.

1

156

Критерий параллельности отрезков через площадь треугольников. Признаки параллелограмма, трапеции.

1

157, 158

Применения теорем об отношении площадей треугольников.

2

159, 160

Различные способы вычисление площадей треугольников (более 15).

2

161, 162


Нахождение связи между элементами треугольника через площадь.

2



Список использованной литературы


  1. под ред. Агаханова Н.Х. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993-2006: Окружной и финальный этапы. – М.: МЦНМО, 2007.

  2. сост. Агаханов Н.Х., Терешин Д.А., Кузнецова Г.М. Школьные математические олимпиады. – М.: Дрофа, 2003.

  3. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. 1993-2005– М.: Физматкнига, 2006.

  4. Берлов С.Л., Иванов С.В., Кохась К.П. Петербургские математические олимпиады. – СПб.: Лань, 2005.

  5. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Шестаков С.А., Юдина И.И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

  6. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами. – Челябинск: Взгляд, 2005.

  7. Гашков С.Б. Системы счисления и их применения. – М.: МЦНМО, 2004.

  8. Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. – М.: Высш. шк., 2000.

  9. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 кл. – М.: Дрофа, 2005 г.

  10. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2004.

  11. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы. – М.: МЦНМО, 2006.

  12. Зубов А.Ю., Овчинников В.Н., Рамоданов С.М. Олимпиады по криптографии и математике для школьников. – М.: МЦНМО, 2006.

  13. Каннель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. – М.: МЦНМО, 2004.

  14. Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем. – М.: Наука, 1984.

  15. сост. Котельникова М.Л. Геометрические задачи на построение. – Чебоксары: Чуваш. ун-т., 2006.
  16. сост. Кохась К.П., Храбров А.И., Берлов С.Л. и др. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2005 г. – СПб: Невский Диалект, БХВ- Петербург, 2005.


  17. сост. Кохась К.П., Иванов С.В., Храбров А.И. и др. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2003 г. – СПб: Невский Диалект, БХВ- Петербург, 2003.

  18. сост. Кохась К.П., Храбров А.И., Иванов С.В. и др. Петербургские олимпиады школьников по математике 2000-2002 г. – СПб: Невский Диалект, БХВ- Петербург, 2006.

  19. Кузьмин О.В. Комбинаторные методы решения логических задач. – М.: Дрофа, 2006.

  20. Купилалари А. Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математиков. – М.: Техносфера, 2002.

  21. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. – М.: Просвещение, 2003.

  22. авт. – сост. Маркова И.С. Новые олимпиады по математике. – Ростов н/Д: Феникс, 2005.

  23. Мерзляков А.С. Четность и аналоги четности. – Ижевск: Удмуртский университет, 2002.

  24. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – М.: МЦНМО, 2002.

  25. Нечаев В.И. Элементы криптографии (основы защиты информации). – М.: Высшая школа, 1999.

  26. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: в 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2008.

  27. Понарин Я.П. Афинная и проективная геометрия. – М.: МЦНМО, 2009.

  28. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. – М.: Мир, 2003.

  29. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

  30. Толпыго А.К. Тысяча задач Международного математического Турнира городов. – М.: МЦНМО, 2009.

  31. Под. ред. Фомина Д.В., Кохася К.П. Петербургские математические олимпиады, 1961 – 1993. – СПб.: Лань, 2007.

  32. сост. Храбров А.И., Иванов С.В., Берлов С.Л. и др. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2006 года. – СПб.: Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2006.
  33. Черемушкин А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. – М.: МЦНМО, 2002.


  34. Шарыгин И.Ф., Букубаева К.О. Геометрия. 7-9 кл. – Алматы: Кітап, 2007.

  35. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. – М.: ООО “Издательство Оникс 21 век”: ООО “Издательство “Мир и Образование””, 2001 г.

  36. Шень А. О «математической строгости» и школьном курсе математики. – М.: МЦНМО, 2006.

  37. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

  38. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

  39. Яглом И.М. Как разрезать квадрат? – М.: КомКнига, 2006.

  40. Ядрухин А.К., Ядрухина С.А. Избранные теоремы элементарной геометрии (планиметрия). - Чебоксары: Чуваш. ун-т., 2008.

  41. Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. – М.: МЦНМО, 2002.

- –