litceysel.ru
добавить свой файл
1



Теория вероятностей.

УРОК № 5.


Тема: Классическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель: выработать умение решать задачи на определение классической вероятности с использованием основных формул комбинаторики.

Оборудование: презентация «ver_Urok№5».

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны?

Решение.
Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через m1, m2, m3 -числа благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3, m2=8, m3=9. Поэтому   P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.

Задача 2. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена – билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть?


Задание 3. В настольной игре потеряли кубик. Как заменить его с помощью разноцветных фишек?

Ответ. Каждой стороне кубика определить цвет фишки.


  1. Самостоятельная работа (проверочного характера).

Заполнить таблицу:

задания


Испытание

Число возможных исходов испытания (n)

Событие А

Число исходов, благоприятствующих событию А (m)

Вероятность наступления события А

Р(А)=m/n

1

Подбрасывание игрального кубика

6

Выпавшее число очков нечетно

3



2

Подбрасывание игрального кубика

6

Выпавшее число очков кратно трем

2



3

Раскручивание стрелки рулетки, разделенной на 8 равных секторов, занумерованных числами от 1 до 8

8

Остановка стрелки на секторе с номером, кратным 4

2



4

Игра в лотерею (1500 билетов, из которых 120 выигрышных)

1500

Выиграли, купив один билет

120



5

Случайный выбор двузначного числа

90

Число состоит из одинаковых цифр

9


IV. Практикум по решению задач.

Задача 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение. На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит,


Задача 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:



Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:

(только один вариант расположения букв – «КРОТ»)



Задача 3. На четырех карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: а) число 123; б) число 312 или 321; в) число, первая цифра которого 2?


Решение. Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен). Общее число исходов:

Рассмотрим события и их вероятности:

а) Событие А={из трех карточек образовано число 123}, (единственный вариант);

б) Событие В={ из трех карточек образовано число 312 и 321}, (два варианта размещения карточек);


в)Событие С={из трех карточек образовано число, первая цифра которого 2}. Если первая цифра фиксирована, то на оставшихся двух местах можно разместить любую из оставшихся трех цифр (с учетом порядка), то есть

Задача 4. В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и черный шар?

Решение. Исходы – все возможные пары шаров, выбираемые из четырех шаров в ящике; порядок выбора шаров не учитывается. Общее число исходов

1) Событие А={вынуты два черных шара};

2) Событие В={вынуты белый и черный шары}; (выбор белого, затем – черного);

Задача 5. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:


1) обе они согласные;

2) среди них есть «ъ»;

3) среди них нет «ъ»;

4) одна буква гласная, а другая согласная.

Решение. Исходы – все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов

Рассмотрим события:

1) А={ обе выбранные буквы – согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует исходов.



2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака , выбор второй буквы из оставшихся .



3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.



4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.



V. Домашнее задание.

Задача 1. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр !, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал правильный номер?

Решение. Исходы – перестановки из трех элементов (1, 5, 9); общее число исходов:


Событие А={абонент набрал верный номер};



Задача 2. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

а) 3-х карточек получится слово РОТ;

б) 4-х карточек получится слово СОРТ;

в) 5-ти карточек получится слово СПОРТ?

Решение. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в определенном порядке, то есть размещения .

Исходное множество содержит т=5 элементов.

Обозначим буквами А, В, С случайные события, указанные в условии задачи. Найдем их вероятности.

а) Выбираются 3 карточки, k=3, общее число исходов



б)

в)

Задача 3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Общее число возможных исходов

А={все три тетради в наборе – в клетку}.



 Дополнительные задачи.

Задача 1. Четыре билета на елку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова векроятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?


Решение.

Задача 2. Случайно нажимают три клавиши из одной октавы. Найдите вероятность того, что:


  1. звучат ноты «си» и «до»;

  2. не звучит нота «фа»;

  3. звучит нота «ля»;

  4. получится до-мажорное звучание.

Решение. Исходами являются все наборы по 3 клавиши из 7 имеющихся в октаве; порядок расположения клавиш в наборе не учитывается. Общее количество исходов

  1. А={ звучат ноты «си» и «до»}. К двум клавишам добавляют третью – любую из 5 оставшихся,

  2. В={ не звучит нота «фа»}. Выбираем три клавиши из шести, исключая «фа»,

  3. С={звучит нота «ля»}. Выбираем две клавиши из шести, исключая «ля»,

  4. D={получилось до-мажорное звучание}; (должны быть нажаты три соседние клавиши в начале октавы, единственный вариант).