litceysel.ru
добавить свой файл
1
Муниципальное общеобразовательное учреждение


Чикская средняя общеобразовательная школа №7


Элементы статистики и теории вероятностей

АЛГЕБРА 7 – 9 классы

Урок

Введение в вероятность


Выполнила: Зацепина Н. В.

Учитель математики

I квалификационная категория


пгт. Чик

Коченёвский район

Новосибирская область

2009-2010 год

Урок 1


Тема урока: Введение в вероятность


Цели урока:


  1. Дать основное представление о случайности нашей жизни. Формирование представлений о понятиях: «событие», «достоверное событие», «невозможное событие», «случайное событие».

  2. Развитие умений определения вида событий.

  3. Воспитывать уважение к мнению других, умение слушать и рассуждать.


Структура урока:

    1. Постановка цели урока (организационный момент) – 2 минуты.

    2. Подготовка к изучению нового материала (веселая разминка)– 5 минут.

    3. Ознакомление с новым материалом – 10 минут.

    4. Первичное осмысление и применение изученного – 10 минут.

    5. Проблемная задача – 6 минут.

    6. Обобщение и систематизация полученных знаний – 5 минут.

    7. Подведение итогов (выставление оценок) – 4 минуты.

    8. Постановка домашнего задания– 3 минуты.

Ход урока:

Постановка цели урока

Добрый день, ребята. Думаю, что все вы прочитали название темы нашего урока: «Введение в вероятность».

Каждый из вас, наверное, неоднократно слышал: «это невероятно», «совершенно невозможно», «чисто случайно». Что же значат эти высказывания? Сегодня мы с вами и постараемся ответить на этот вопрос.



Веселая разминка

Прежде, чем приступить к изучению новой темы я предлагаю вам немного размяться. Разгадайте эти ребусы:




1)


(событие)


2)


(случайность)


3)


(опыт)


Ознакомление с новым материалом

Вы разгадали слова: событие, случайность, опыт. А теперь мы постараемся сформировать представление об этих понятиях.

Во многих играх используют кубик, у которого на каждой грани отмечено различное количество точек от 1 до 6. Играющий бросает кубик, смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (считается та, которая сверху) и делает соответствующее число ходов: 1,2,3,4,5 или 6.

Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, полученный результат – событием.

Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик?

Первое предсказание: выпадет одна из цифр 1,2,3,4,5 или 6. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит.


Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.


Приведите примеры достоверных событий.

(Сейчас - урок алгебры; сегодня - вторник; меня зову Машей; мне 13 лет…)

Второе предсказание: При бросании кубика выпадет цифра 7. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, нет.



Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.


Приведите примеры невозможных событий.

(Сейчас – урок литературы; завтра – понедельник; мне один год…)


Третье предсказание: выпадет цифра 1. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? На этот вопрос с полной уверенностью ответить нельзя, поскольку предсказанное событие может наступить, а может и не наступить.

Событие, которое в данном опыте может наступить, а может и не наступить, называют случайным событием.


Приведите примеры случайных событий.

(сейчас я получу «пять», на уроке все задания будут лёгкими…)


Первичное закрепление изученного:

Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как

достоверные, невозможные или случайные.

1) Ученик задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:

а) задумано четное число (случайное);

б) задумано нечетное число (случайное);

в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным (невозможное, так как любое натуральное число либо четное, либо нечетное);

г) задумано число, являющееся четным или нечетным (достоверное).

2) В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие:

а) из мешка вынули 4 шара и они все синие (невозможное, в мешке только 3 синих шара);

б) из мешка вынули 4 шара и они все красные (случайное);

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета (невозможное, в мешке шары только трех разных цветов);

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета (достоверное – в мешке нет черных шаров).



Проблемная задача

А теперь ребята подумайте, как можно охарактеризовать следующие события?


  1. наступление дня или ночи;

  2. при подбрасывании монеты выпадает «орёл» или «решка»;

  3. изделие «стандартное» или «бракованное»;

  4. день будний или выходной.

В результате обсуждений, учащиеся должны охарактеризовать эти события, как противоположные. Прийти к выводу, что появление одного из них в данном опыте, влечет не появление другого.


Обобщение и систематизация полученных знаний

  1. Какие виды событий вы узнали?

  2. Какие события называются:

    1. достоверными;

    2. невозможными;

    3. случайными;

    4. противоположными?


Достоверные и невозможные события встречаются в жизни сравнительно редко, можно сказать, что живём мы в мире случайных событий. Поэтому важно понять, можно ли найти какие-то закономерности в случайном мире, но об этом мы будем говорить на следующем уроке.


Выставление оценок


Задание на дом:

1. Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное:

а) летних каникул не будет (невозможное);

б) бутерброд упадет маслом вниз (случайное, может упасть маслом вверх);

в) учебный год когда-нибудь закончится (достоверное).

2. Миша и Костя сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

а) их дни рождения не совпадают (случайное);

б) их дни рождения совпадают (случайное);

в) Петя родился 29 февраля (случайное), а Толя – 30 февраля (невозможное);

г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня) (случайное).


3. Подбросьте дома 50 раз монету и запишите сколько раз выпал «орёл» (гербом вверх) и сколько раз выпала «решка» (цифрой вверх).


Резервные задания.

На случай досрочного выполнения всем классом рассмотренных заданий и обеспечения занятости и развития, учащихся планируется использовать дополнительные задания.

Для каждого из событий определите, каким оно является – невозможным, достоверным или случайным:

а) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 января;

б) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 февраля;

в) из списка 7 класса выбрали одного ученика и это – мальчик;

г) из списка 7 класса выбрали одного ученика и это – девочка;

д) из списка 7 класса выбрали одного ученика и ему – 14 месяцев;

е) из списка 7 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет;

ж) измерили стороны треугольника, и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны.

Урок 2


Тема урока: Вероятность случайного события


Цели урока:


      1. Дать основное представление о случайности нашей жизни. Формирование представлений о понятиях: «теория вероятностей», «частота случайного события».

      2. Развитие вероятностного мышления.

      3. Воспитывать уважение к мнению других, умение слушать и рассуждать.


Структура урока

        1. Постановка цели урока (организационный момент) – 2 минуты.

        2. Ознакомление с новым материалом – 10 минут.

        3. Первичное осмысление и применение изученного – 15 минут.

        4. Проблемная задача – 6 минут.

        5. Обобщение и систематизация полученных знаний – 5 минут.

        6. Подведение итогов (выставление оценок) – 4 минуты.
        7. Постановка домашнего задания– 3 минуты.



Ход урока:

Постановка цели урока

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать. Все эти события, можно назвать какими? (случайными). Можно привести и более обыденные примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в контрольной работе. (Учащиеся могут привести свои примеры случайных событий).

Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо. Теория вероятностей — математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления определенных событий. Рассмотрим решения нескольких простых задач этой сложной науки.


Ознакомление с новым материалом

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятность», например: «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает» и т.д. Здесь интуитивно оценивается возможность того или иного события, исходя из здравого смысла, интуиции. Например, мы заранее знаем, что на детский сеанс пойдет большинство школьников, чем взрослых, или что при выполнении многих видов работ вредна торопливость, так как в спешке можно сделать ошибки.

Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции, невозможно и трудно. Например, это можно сказать про события «герб появится 2 раза при пятикратном бросании монеты». Каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, то есть определенной оценкой. Такую оценку называют вероятностью события.


Обозначим какое – либо случайное событие большой латинской буквой A. Вероятность события обозначается большой латинской буквой P. Первой буквой французского слова probabilite, что в переводе означает – возможность, вероятность.

Тогда вероятность события А будем обозначать: Р(А) = m/n , где m–число благоприятных исходов, а n – число всех возможных исходов.


Запишем результаты домашней задачи №3 в таблицу:


№ эксперимента по 50 опытов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Число выпадений «орла»

23

26

25

24

23

26

27

25

24

25

26

23

25

24


28

Число выпадений «решки»

27

24

25

26

27

24

23

25

26

25

24

27

25

26

22



Найдем вероятность появления «орла» (учащиеся считают и сообщают свои результаты). Нетрудно заметить, что результат у многих из вас похож и примерно равен числу 0,5. Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, не означает, что в любой серии экспериментов (это было и в ваших опытах) «орёл» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, то можно дать прогноз, что «орёл» выпадет примерно в половине случаев. То есть, если монета однород­на и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпаде­ния орла и решки одинаковы.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках отве­та на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?


Первичное закрепление изученного

Рассмотрим такие примеры:

1. Бросают игральный кубик, то есть небольшой куб, на гранях которого нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. При бросании игрального кубика на его верхней грани может вы­пасть одно очко, два очка, три очка и т. д. Каждый из этих исходов является случайным. Какова на ваш взгляд вероятность выпадения 4 очков?

Решение: Р(А) = m/n, Р(А) = 1/6).

2. Какова вероятность появления четных очков при одном бросании игрального кубика?


Решение: Пусть А – событие «выпадет четное число» n =6, так как число возможных исходов 6 (1; 2; 3; 4; 5; 6); n =3, так как только 3 четных очка (2; 4; 6;). Значит Р(А) = 3:6 = 0,5.

3. Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

Решение: Всего в слове статистика 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5; буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10; буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5; буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5; буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10. Вероятнее всего вытащить карточку с буквой «т». Вероятность одинакова у букв «с», «а», «и»: P(с) = Р(а) = Р(и) = 2/10 = 1/5.


4. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны трое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?

Решение: Число всех возможных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать троих учащихся из 30, то есть n = C330. Число благоприятных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать троих учащихся из числа девочек, то есть m = C318. Тогда Р(А) = m/n = 204/1015, где Скn = n!/k!(nk)!.


Проблемная задача

Найти вероятность следующих событий и сделать выводы:


  1. Какова вероятность того, что после зимы будет осень?

  2. Какова вероятность того, что после ночи наступит утро?

  3. Какова вероятность того, что вас вызовут к доске, если в классе 25 человек?

Учащиеся должны сделать выводы и сформулировать свойства вероятности:


1.Вероятность достоверного события равна 1.

2.Вероятность невозможного события равна 0.

3.Вероятность события А не меньше нуля, но не больше единицы.


Обобщение и систематизация полученных знаний


  1. Как называется наука, изучающая случайные события?

  2. По какой формуле можно вычислить вероятность случайного события?

  3. Какие события называют равновероятными?


Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятных событий ко всем возможным событиям. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого исходов.


Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Этот раздел изучения великой математики подготовит нас к:

  • выбору наилучшего из возможных вариантов;

  • оценке степени риска;

  • шансу на успех; и т. д.


Выставление оценок


Задание на дом:

1. . Из карточек составили слово «математика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

2. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наугад извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что они окрашены.

3. В классе 25 учеников, 8 из них – отличники. По списку наугад отобрали 9 человек для участия в конкурсе. Найти вероятность того, что среди них – 5 отличников.


Резервные задания

На случай досрочного выполнения всем классом рассмотренных заданий и обеспечения занятости и развития, учащихся планируется использовать дополнительные задания:


1. Бросаются 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше13?

Решение: (n = 36, и любой из этих исходов благоприятствует наступлению события А, заключает в том, что сумма выпавших очков меньше 13, m =36, P=).

2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь, б) нестандартная деталь.

Решение: (n = 21+10 – 1 = 30, а) m = 21 – 1 = 20, Р = 20/30 = 2/3; б) Р = 10/30).

3. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число кратно 5?

4. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Определите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз – 11, а остальные карты – соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.


Список литературы


  1. А. А. Урман, И. Н. Вольхина, Е. В. Смирнова. Изучение теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики. – Новосибирск: НИПКиПРО, 2008.

  2. И. Н. Вольхина. Методика преподавания стохастической линии в школьном курсе математики. - Новосибирск: НИПКиПРО, 2008.

  3. В. Н. Студенецкая. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. – Волгоград: Учитель, 2005.

  4. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Под редакцией С. А. Теляковского. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
  5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под редакцией С. А. Теляковского. Алгебра. Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2009.


  6. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под редакцией С. А. Теляковского. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2009.

  7. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. Математика. Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.

  8. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.

  9. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7 -9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.

  10. Математика. Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – М.: Дрофа, 2003.

  11. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – М.: Дрофа, 2003.

  12. Н. Я. Виленкин, О. И. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. Алгебра и математический анализ.11 класс. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2001.

  13. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа.10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). Часть 1, 2. - М.: Мнемозина, 2009.

  14. Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2005.

  15. Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2006.


Интернет ресурсы

  1. teoriaver.narod.ru/1.htm

  2. doomatem1.narod.ru/seminar.html