litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 3

Математические модели техногенных и природных катастроф


Есипов Ю.В., Мишенькина Ю.С., Черемисин А.И.


Факторное моделирование и возможностная оценка ресурса систем

«защита-объект-среда»

1 Меры определенности возникновения предпосылок происшествий


При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных статистических выводов. В последнее время возрастает потребность в новых подходах к математическому описанию информации, характеризующейся высоким уровнем неопределенности. Один из возможных подходов может основываться на обобщении понятия меры и построении нечетких мер, свободных от ряда ограничений вероятностной меры.

Функция g, определяемая в виде , называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:

  1. g (  ) = 0;

  2. g ( X ) = 1;

  3. ; (1)

  4. {Fn} — монотонная последовательность, .


Тройка называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: . Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

«Предельными случаями» нечетких мер являются меры возможности Poss и необходимости Ness для которых выполняются соотношения:



(2)


При задании нечетких мер по аналогии с мерами вероятности возможно задание функции распределения нечеткости (рисунок 1, аналог закона распределения вероятностной меры).

Функция принадлежности нечеткого множества есть распределение плотности нечеткой меры возможности Poss:

h ( x ) = Poss ( x ).

Для построения нечетких мер используют следующее  – правило. Пусть . Тогда


.



Рисунок 1 – Функция распределения нечеткости

Мерой возможности называется функция , удовлетворяющая следующим аксиомам:


  1. П (  ) = 0;

  2. П ( X ) = 1; (3)

  3. .

Теория нечетких множеств использует в качестве функций принадлежности распределение нечеткой меры возможности Poss и в этом смысле является частным случаем теории нечетких мер.

Формально (в узком смысле) по Заде и Праду [1], возможностная мера – это степень принадлежности, например, значений переменной  нечеткому множеству , определяемая по функции принадлежности ().

Для нечетких мер существует взаимосвязь:


Poss ≥ Pl ≥ Pr ≥ Bel ≥ Ness. (4)



Рисунок 2 – Соотношение классов нечетких мер.



следующая страница >>