litceysel.ru
добавить свой файл
1
Урок №1. Тема: «Комплексные числа в алгебраической форме».


Цель: ввести понятие «мнимое число»

Оборудование: интерактивная доска , презентация темы .

План:

1. Повторение
: а). Цифры и числа (цифр десять, числа составлены из цифр); б). Множества чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные.

в). За счёт чего происходит расширение каждого из этих множеств, представление этого процесса с помощью кругов.

г). Все действительные числа расположены на числовой прямой и заполняют всё это одномерное пространство (свободных мест нет).

д). Каждой точке соответствует число и наоборот – А(4), С(-6).

е) Прямоугольная система координат – двумерное пространство, любая точка которого имеет уже две координаты А(1;2), В(-4;7) и так далее.


А как записать этот факт чем-то похожим на алгебраическое выражение?... С одной стороны появились векторы, а вместе с ними начала развиваться векторная алгебра, а с другой комплексные числа.


2.Объяснение нового материала. Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа

К мнимым числам приводит извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Будем говорить только о квадратном корне из отрицательного числа. Принято обозначать мнимое число одной буквой i (начальная буква французского слова imaqinaire, что означает мнимый) и называть мнимой единицей. Естественно допустить, что i
2 = -1 и .

Всякое мнимое число может быть выражено в виде произведения i на некоторое действительное число. Например,  = 4i .

Вообще i.


Комплекные числа

Определение. Числа вида а + в i, где а и в – действительные числа, называются комплексными числами (слово «комплексный» означает на русском языке «сложный», «составной»; такое название впервые было дано числам такого вида немецким математиком Гауссом (1777-1855). Название «мнимый» (imaqinaire) было введено французским математиком Рене Декартом в 1637 г). В нём «а» называется действительной частью, вi - мнимой частью.

При а=0 оно обращается в чисто мнимое число вi ; при в=0 получим число а + 0i, которое рассматривается как действительное число.


Комплексные числа вида а + вi и а - в i называются сопряженными.

Комплексные числа вида а + в i и -а - в i называются противоположными.

Например. Назовите сопряжённое и противоположное число для 3,4+ 45i.

Два комплексных числа а + вi и а1 + в1 i считаются равными если а = а1 и в = в1.

Из этого определения вытекает, что комплексное число а + вi равно нулю тогда и только тогда, когда а =0, в = 0.

Замечание: относительно комплексных чисел не принято никакого соглашения относительно того, какое из них считать больше другого.

Возведение в степень мнимой единицы: i 0= 1, i1 = i

i2 = -1 i5 = i4 i = i

i3 = i2 i = -1 i = - i i6 = i5 i = i2 = -1

i4 = i2 i2 = -1 (-1)= 1 i7 = i6 i = -i


Получается, таким образом, четыре чередующихся значения: 1; i; -1; - i.

Например Верно ли равенство: i7 + i18 + i25 + i35 + i97 + i100 =0.

д\з Выучить степени до десятой.


Повторить степени чисел до 20; Степени 2,3,4,5,6,7.

Урок №2.

Тема: «Арифметические операции над комплексными числами».

Цель: научить складывать, вычитать и умножать комплексные числа».

Оборудование: интерактивная доска , презентация темы .

План:

1. Повторение: а) Ответственные по рядам (о выполнении дом. эадания).

б) Устный счёт: степени двоек до 10й, степени 3,4,5,6,7.

Квадраты чисел от1 до 20.

Какие числа называются мнимыми, комплексными, сопряжёнными и противоположными, привести примеры. Равные комплексные числа.

в) Самостоятельная работа (5 -7 мин).

1. Перечислите новые понятия, изученные на предыдущем уроке.

2. Какой вид имеет число противоположное, сопряженное данному 3 -5 i. ( -7 + 6 i).

3. При каких значениях х и у равны числа х -8 i и 2 +у i. (3 + х i и у -2 i).


2. Новый материал: «Действия с комплексными числами».

Над комплексными числами условились производить алгебраические действия и преобразования по тем же правилам, по каким они производятся над числами действительными, принимая всегда

.

Это положение служит основой при операциях над комплексными числами. Чтобы произвести какое- нибудь действие над комплексными числами вида а + вi, надо произвести действия над двучленами такого вида по тем правилам, которые мы изучали ранее, применяя в том числе и формулы сокращенного умножения, при этом использовать степени i.

Сложение:


(а + вi ) + ( а1 + в1 i ) = (а + а1) + (в + в1) i;

(а + вi ) + ( а1 + в1 i ) + (а2 + в2 i) = (а + а1 + а2) + (в + в1 + в2 ) i;


(а + вi ) + ( а1 + в1 i ) +… + (аn + вn i) = (а + а1 + … + аn) + (в + в1 + … +вn ) i.

Вычитание:


(а + вi ) - ( а1 + в1 i ) = (а - а1) + (в - в1) i;

(а + вi ) - ( а1 + в1 i ) - (а2 + в2 i) = (а - а1 - а2) + (в - в1 - в2 ) i;

(а + вi ) - ( а1 + в1 i ) -… - (аn + вn i) = (а - а1 - … - аn) + (в - в1 - … -вn ) i.

Деление:


При делении числитель и знаменатель дроби нужно домножить на число, сопряженное знаменателю.

Например: 1. = = .


2. Выполнить действия или упростить: а) ()2

б)

в) г) ( д) )


3.Обозначив для краткости = р; = х; 1 = у, проверить равенства 1) р3 = х3 = у3 = 1, 2) р + х + у = 0, 3) рху = 1, 4) р2 = х,


5) х2 = у, 6) 1 + р + р2 =0.


Д\з. (д), выучить теорию.


Мнимая единица i. Отсюда i2 = -1  

 

Возведение в степень.

 

i2 = -i5 = i4 i = i 1

 

i3 = i2 i = -1 i =- i i6 = i5 i = i2 = -1

 

i4 = i2 i2 = -1 (-1) = 1 i7 = i6 i = -i

   

 

Получается, таким образом, четыре чередующихся значения: i; - i; -1; 1.

 

Например

 

(а + вi)2= а2 + 2ав i + в2 i2 = (а – в) + 2ав i