litceysel.ru
добавить свой файл
  1 ... 4 5 6 7 8

10.2-06. Артиллерия

Запишем закон изменения во времени координат снаряда: , .

Условием достижения цели являются соотношения: , .

Выразим из этих уравнений тригонометрические функции неизвестного начального угла α, возведем их в квадрат и сложим:

,

то есть

(1)

Решая полученное биквадратное уравнение, находим искомое время полета снаряда:

.

Это выражение имеет физический смысл только при неотрицательных значениях подкоренного выражения, то есть условием попадания в цель является неравенство . Знаки «+» и «–» означают, что снаряд при одной и той же скорости может попасть в цель по двум различным траекториям – настильной (α < 45º) и навесной
(α > 45º).

Примечание: Можно найти еще более простое решение этой зада-
чи, если использовать векторные величины. Достаточно посмотреть на
рисунок, тогда из прямоугольного треугольника сразу получаем уравне-
ние (1).


10.3-06. Трос

Главное – в записи теоремы о кинетической энергии не ошибиться с начальным положением центра масс: здесь , а вот .


А дальше просто:

.

Выполним интегрирование:

.

Отсюда .

Этот же результат можно получить суммированием, если записать начальное выражение в теореме о кинетической энергии для элементарных перемещений:



Далее, при выполнении суммирования, нужно будет заметить аналогию между выражением и записью для работы упругой силы: , которая при суммировании на конечном перемещении дает выражение . Можно также выполнить графическое интегрирование.

Если трения нет, то задача становится совсем простой.

Примечание: на самом деле не такой и простой. Обсуждение проблем, возникающих при решении, можно найти в журнале «Квант» за 1993 год
(№ 1, с. 55–56).


10.4-06.
Компрессор

Запишем выражение первого начала термодинамики для элементарного процесса:


Для проведения суммирования по всему процессу заметим, что работа, совершенная газом, численно равна полезной работе компрессора (кпд, мощность, время соответственно), а изменение внутренней энергии пропорционально сумме , которую можно вычислить, зная площадь под графиком.


В нашем случае эта площадь оказывается равной 160 кг  °C.

Получаем (в единицах СИ):  114621 + + 150000  264 кДж.


10.1-07. Полет мешка

Обозначим как s1 расстояние от стены до места падения мешка. Тогда, очевидно, . Перед падением мешок имел горизонтальную составляющую скорости v и вертикальную . Рассмотрим процесс неупругого удара мешка о землю.

Во время удара на него действуют вертикальная сила нормальной реакции опоры N, сила трения T = μN и сила тяжести mg. По закону изменения импульса Δpy = (N mgt, Δpx = –μNΔt.

Из-за того, что удар происходит быстро, то есть Δt мало, а вертикальный импульс меняется на конечную величину Δpy = m, сила N достигает больших значений, и mg по сравнению с ней можно пренебречь (вообще говоря, сила N не остается постоянной за время удара, однако это не влияет на результат). Поэтому за время удара имеет место соотношение
Δpx = –μ; Δpy = –μm, и горизонтальная проекция скорости уменьшается до значения v1 = vμ.

Для момента остановки мешка из закона изменения кинетической энергии имеем




Окончательно: .


10.2-07. Бусинки

Для начального момента найдем мгновенный центр вращения O, который лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к проволоке из точек расположения бусинок (см. рисунок). Треугольник O12 является равносторонним. Относительно точки O момент инерции бусинок равен 2mL2, момент силы F равен FL, поэтому угловое ускорение нитки с бусинками будет равно , соответственно линейное ускорение бусинок равно a = F/(2m).
Из второго закона Ньютона для второй бусинки в проекции на проволоку (T – искомая сила
натяжения нити): ma = Tcos 30°, .

В момент перед ударом второй бусинки о место сгиба для скоростей бусинок v1 и v2 из условия нерастяжимости нити имеем v1 =
v2 cos 60°, то есть v2 = 2 v1.

Из закона сохранения энергии имеем: mv12/2 + mv22/2 = F(LL sec 30°/2) = = FL (1 – 1/), и окончательно: .


10.3-07. Схема с резистором

Сначала определим, каким должно быть сопротивление внешней цепи , чтобы при ее подключении в ней выделялась наибольшая мощность.


; ; тогда при Включим дополнительный резистор параллельно резистору с сопротивлением 1 кОм и получим искомое соотношение сопротивлений. Тогда Wmax = 2 мВт.

Перебором, рассмотрев в общем 6 вариантов подключений, можно получить тот же ответ.


10.4-07. ТЭЦ на реке

Для цикла Карно справедливо соотношение между совершенной работой A и полученным от котла теплом , температурой нагревателя (пар) и холодильника (вода в реке): . Кроме того, ясно, что , причем отдаваемое тепло в конечном счете (через цепочку преобразований «нагревание – пар – конденсация – охлаждение») нагревает воду на , что можно оценить как

Используя эти соотношения, а также выражение для мощности , получаем:   7,5 °С.


Значит, вода забирается при температуре 12,5 °С.


10.1-08. Шарик

При установившейся скорости падения тела сила сопротивления воздуха равна силе притяжения земли, но направлена вертикально вверх, то есть выполняется равенство Нарисовав рисунок, нетрудно увидеть, что сразу после удара обе силы будут направлены вниз, так как скорость тела изменилась на противоположную. Сила сопротивления зависит только от скорости шарика, поэтому, предполагая, что эта скорость не меняется существенно за 0,1 с, можно считать эту силу приблизительно постоянной. Тогда при движении вверх Таким образом, ускорение торможения станет равным . Считая, что это соотношение останется приближенно верным в течение некоторого времени, получаем для оценки:

м/с.

Примечание: Поощряется проверка правомерности допущения о примерном постоянстве силы сопротивления в течение 0,1 с.


10.2-08. Две бусинки

Пусть скорость первой бусинки равна u, тогда по закону сохранения импульса горизонтальная проекция скорости второй бусинки также равна u. Пусть вертикальная проекция этой скорости равна v. Тогда из кинематической связи (нерастяжимость нити) , откуда . Из закона сохранения энергии

,

откуда получаем


, .

Скорость первой бусинки равна u, а второй

.


10.3-08. Нарезаем резьбу

Сила, приложенная к вороту метчика, уравновешивает силу трения и совершает работу, равную работе силы трения. Практически одновременно работа силы трения преобразуется во внутреннюю энергию, идущую на нагрев пластины. Пренебрегая потерями тепла (процесс быстрый), запишем: . Здесь R – радиус (плечо) действия силы,  – полный угол поворота метчика при нарезании резьбы. Его можно приближенно оценить как . Тогда перепишем формулу: , где Н – толщина пластины.

Отсюда получаем:

ºС.

Здесь стоит отметить, что момент может создавать не одна сила, а несколько (так и есть на самом деле) и плечи этих сил могут быть разными, однако работа при повороте остается равной .


10.4-08. Поршень

Пусть количество газа в каждой части сосуда равно , температура до нагревания равна Т1, после нагревания – Т2. Тогда, записывая условие равновесия поршня до и после нагревания, получим: , откуда , .


Изменение внутренней энергии газа в сосуде равно .

Работа газа равна изменению потенциальной энергии поршня: .

Из первого начала термодинамики .



Экспериментальный тур

8-05. Пластилин

Задание: Определить плотность пластилина.

Оборудование: кусок пластилина, цилиндрический стеклянный сосуд, вода, линейка, динамометр.


8-06. Стакан

Задание: Определить массу и плотность стеклянного стакана известной емкости.

Оборудование: Цилиндрический прозрачный сосуд, стеклянный стакан известной емкости (емкость указана на наклейке), вода, линейка (цена деления 1 мм).


8-07. Пшено

Задание: Определить число зернышек в стакане. Придумать метод, пригодный для измерений при любом объеме емкости (например, вагон).

Оборудование: Cтакан пшена, пустой стакан, крышка от пластиковой бутылки.


8-08. Дробь

Задание: Определить массу металлической дробинки.

Оборудование: Пластиковая емкость для воды, вода, 15 одинаковых дробинок, 2 пластмассовые соломинки, ножницы, 2 линейки, кусочек пластилина.

Указание: Соломинки можно разрезать на любое количество частей.



<< предыдущая страница   следующая страница >>