litceysel.ru
добавить свой файл
1
Задачи повышенной трудности


(5 класс)



  1. Напишите наибольшее десятизначное число, в котором все цифры различны.

  2. Напишите наименьшее десятизначное число, в котором все цифры различны.

  3. Расставьте в записи 7 ∙ 9 + 12: 3 – 2 скобки так, чтобы значение этого выражения было равно: а) 23; б) 75.

  4. В записи 1 * 2 * 3 * 4 * 5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

  5. Составьте выражение, в каждое из которых входили бы лишь знаки действий и четыре раза цифра 2, так, чтобы их значение равнялось числам: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

  6. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.

  7. В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте между некоторыми цифрами знак «плюс» или «минус» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

  8. Сколькими способами можно представить число 50 в виде суммы двух четных чисел? Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считать совпадающими.

  9. Сколькими способами можно представить число 10 в виде суммы четырех нечетных чисел?

  10. В следующих записях некоторые цифры заменены буквами (одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами). Найдите, какой была запись раньше:

а) B D C E б) a 5 2 b

+ B D A E -b 2 5 a

A E C B E 8 x m x

11. В следующих записях некоторые цифры заменены звездочками. Восстановите записи:

а) * * б) * * * * в) 6 * г) 1 4 * * ! * 7

+* * _ * * * х.* * - * * 5 !* *

1 9 7 1 * * * *

+* * - * 1

* * 6 0


д.) * * * * * * * ! * *

- * * * ! * * 8 * *

* *

- * *

* * *

- * * *

1


  1. Какой цифрой оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 81?

  2. Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?

  3. У кассира имеются монеты в 5 р. и 10 р. Сколькими способами он может дать сдачу в 50 р.?

  4. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

  5. Каждые два из 20 городов соединены линией воздушного беспересадочного сообщения. Сколько всего линий воздушного сообщения?

  6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 так, чтобы в каждом числе все цифры были различны.

  7. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали и французский и немецкий языки?

  8. К берегу реки подошли 30 солдат. У берега была лодка и в ней двое ребят. Как переправить на другой берег весь отряд, если в лодке могут ехать или двое ребят или один солдат? Сколько раз лодка пересечет реку туда и обратно, если, в конце концов, она вернется на старое место и оба мальчика будут на том же берегу?

  9. Три сосуда заполнены (не доверху) водой. В одном сосуде 11 л, во втором 7 л, в третьем 6 л. В каждый сосуд можно налить из другого столько воды, сколько в нем было налито. Как разделить воду, чтобы во всех трех сосудах ее стало поровну?

  10. В первый сосуд входит 8 л, во второй – 5 л, а в третий – 3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л воды? Как отмерить 4 л воды?
  11. В подвале стоит 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных наполовину и 7 пустых бочек. Как распределить эти бочки между тремя грузчиками, чтобы на каждом грузчике было 7 бочек, и на всех грузчиках был одинаковый груз?


  12. Имеется 9 кг крупы и гири в 50 г и 200 г. Каким образом в три приема отвесить на чашечных весах 2 кг крупы?

  13. В один сосуд входит 3 л, а в другой – 5 л. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 л воды из водопроводного крана?

  14. Два поезда, каждый по 80 вагонов, встретились на одноколейном пути, имеющем небольшую тупиковую ветку. Как разойтись этим поездам, если тупиковая ветка может вместить тепловоз и 40 вагонов? (Поезда могут идти и задним ходом.)

  15. В пакете содержится 3 кг 600 г крупы. Как разделить с помощью двухчашечных весов и гири в 200 г крупу на два пакета, содержащие по 800 г, и пакет в 2 кг, сделав лишь три взвешивания?

  16. В одной сказочной стране поблизости один от другого находятся города А и В. Все жители города А говорят только правду, а жители города В всегда лгут. Жители этих городов ходят друг к другу в гости. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает в какой. Как он может, задав один вопрос первому попавшемуся жителю, узнать, в каком городе он находится?

  17. Есть пять обрывков цепи, в каждом из которых 3 кольца. Как соединить их в одну цепь, расклепав и заклепав лишь 3 кольца?

  18. В четырех классах школы учатся 60 человек. Докажите, что хотя бы двое из них празднуют день рождения в одну и ту же неделю.

  19. Имеются 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. Одна из пластинок легче других, но по виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластинку?

  20. Хозяйка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая – половину остатка и еще пол-яйца, а третья – последние 10 яиц. Сколько яиц принесла хозяйка на рынок?

  21. В ящике лежит сотня флажков – красные, зеленые, желтые и синие. Какое наименьшее число флажков надо взять не глядя, чтобы среди них оказалось не меньше чем десять одноцветных?
  22. Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?


  23. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

  24. Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый, но ни у одного нет волос того цвета, на который указывает его фамилия», - заменил брюнет. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

  25. Ученик за 37 р. купил книгу, тетрадь, ручку и карандаш. Тетрадь, ручка и карандаш стоят вместе 19 р. Книга, ручка и карандаш стоят 35 р. Тетрадь и карандаш стоят 5 р. Сколько стоит каждый предмет?

  26. Возраст мужа, жены, дочери и сына вместе составляет 73 года. Муж старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад всем вместе было 58 лет. Сколько лет сейчас каждому?

  27. Счетчик показал, что автомобиль проехал 15 951 км. Через 2 ч на счетчике было число, ближайшее к 15 951, которое опять читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

  28. Что быстрее – проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, который движется вдвое быстрее велосипеда, а вторую половину – пешком, что вдвое медленнее, чем ехать на велосипеде?

  29. 1) На одну чашку весов положен кусок мыла, а на другую чашку – 3/4 такого же куска и еще 50 г. Весы находятся в равновесии. Какова масса куска мыла? 2) На одной чашке весов 2 куска мыла, а на другой 3/2 такого же куска и еще 50 г. Весы находятся в равновесии. Какова масса куска мыла?

  30. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а другой – три картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 мин больше первого?
  31. Бригада, состоящая из 6 плотников и столяра, выполнила работу. Плотники получили по 20 000 р. каждый, а столяр – на 3 000 р. больше среднего заработка каждого в бригаде. Сколько получил за работу столяр?


  32. Сумма двух чисел равна 462. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

  33. В пять ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько раньше их было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике?

  34. Имеется 60 трехметровых бревен, которые надо разрезать на полуметровые части. Сколько разрезов придется сделать?

  35. Чтобы подняться на третий этаж дома, надо пройти 52 ступеньки. Сколько ступенек надо пройти, чтобы подняться на шестой этаж того же дома (число ступенек между всеми этажами одинаковое)?

  36. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 р. А на 15 тетрадей у него не хватит 7 р. Сколько денег было у школьника?

  37. На складе имеются гвозди в ящиках по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 100 кг гвоздей, не вскрывая ящики?

  38. По столбу высотой 10 м взбирается улитка. За день она поднимается по столбу на 5 м, за ночь опускается на 4 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину столба?

  39. В учреждении стоит 14 канцелярских столов с одним, двумя и тремя ящиками. Всего в столах 25 ящиков. Столов с одним ящиком столько, сколько с двумя и тремя ящиками вместе. Сколько столов с тремя ящиками?

  40. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них была 15 км/ч, а другого – 10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты встретились. Сколько километров пробежала собака?
  41. Два ученика решили купить по одинаковой книге. Одному из них не хватало на покупку книги 1 р., а другому – 42 р. Когда они сложили свои деньги, им все равно не хватило денег для покупки даже одной книги. Сколько стоила книга?


  42. Из одной отливки получается 6 деталей. Отходы от 6 отливок дают возможность получить из них одну отливку. Сколько деталей можно сделать из 36 отливок?

  43. Число выстрелов по мишени уменьшилось на 10, а число попаданий увеличилось на 3. Как изменилось число промахов?

  44. Из листа бумаги, размер которого 950х1200 мм, можно вырезать или квадраты со стороной 64 мм, или квадраты со стороной 46 мм. Какие квадраты надо вырезать, чтобы получилось меньше отходов?

  45. 1970 год начался с четверга. С какого дня недели начались 1976 и 1977 годы? Какое правило вы заметили?

  46. Из 24 спичек составьте фигуру, изображенную на рисунке.




Снимите 4 спички так, чтобы осталось 5 квадратов. Положите снятые спички на место и снимите 8 спичек так, чтобы осталось два квадрата.

  1. Из 15 спичек сложите фигуру, состоящую из пяти равных квадратов. Снимите 3 спички так, чтобы осталось три квадрата.

  2. Начертите изображенную на рисунке фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни одну линию дважды.








  1. Покажите все пути, которыми можно пройти из точки А в точку С, двигаясь по линии слева направо и сверху вниз.




  1. Квадрат разделен на 9 равных клеток. Расставьте в этих клетках числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и каждом столбике равнялась 15.

  2. Разделите сад на четыре равные части.



  1. Разрезать прямоугольник, длина которого 9 см, а ширина 4 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат.

  2. Какой из трех кубиков нарисован в развернутом виде?



  1. Ира, Таня, Коля и Митя собирали ягоды. Таня собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?



Ответы.

  1. 9876543210

  2. 1023456789

  3. (7 ∙ 9 + 12) : 3 – 2 = 23; 7 ∙ 9 + 12 : (3 – 2) = 75.

  4. (1 ∙ 2 + 3) – 4 ∙ 5 = 100.

  5. (2 – 2) ∙ (2 : 2) = 0 2 – 2 + 2 : 2 = 1

2 : 2 + 2 : 2 = 2 (2 ∙ 2 + 2) : 2 = 3

2 + 2 – 2 + 2 = 4 2 + 2 + 2 : 2 = 5

2 ∙ 2 ∙ 2 – 2 = 6 2 2 2 2 = 7

2 ∙ 2 + 2 ∙ 2 = 8 22 : 2 – 2 = 9

2 ∙ 2 ∙ 2 + 2 = 10

6. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 100.

7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100.

8. 12 способов. 50 = 2 + 48; 4 + 46; 6 + 44; 8 + 42; 10 + 40; 12 + 38; 14 + 36; 16 + 34; 18 + 32; 20 + 30; 22 + 28; 24 + 26.

9. 2 способа: 10 = 5 + 3 + 1 + 1; 10 = 3 + 3 + 3 + 1.

10. а) 5240 + 5210 = 10450; б) 9521 – 1259 = 8265.

11. а) 99 + 98 = 197; б) 1000 – 999 = 1; в) 1441 : 27 = 53;

г) 1089709 : 12 = 90809.

12. 0.

13. 5.

14. 6 способов: 5 ∙ 10; 5 ∙ 8 + 10; 5 ∙ 2 + 10 ∙ 4; 5 ∙ 4 + 10 ∙ 3; 5 ∙ 6 + 10 ∙ 2; 10 ∙ 5.

15. 21.

16. 190.

17. 1332.


18. 7.

19. 63.

20. 11 7 6; 4 14 6