litceysel.ru
добавить свой файл
1
XX городская конференция-фестиваль творчества молодёжи и школьников.



Исследовательская работа

Уравнение Пелля




Автор: Садовой Иван

Чувашская Республика


г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

8 «А» класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

преподаватель математики

МОУ «Гимназия №1»


Чебоксары - 2005 год.


Содержание

Введение …………………………………………………………………………… 3

  1. Постановка задачи …………………………………………………………….. 3

  2. Способы отыскания всех решений …………………………………………... 4

  3. Способы отыскания наименьшего решения ………………………………… 5

  4. Литература …………………………………………………………………….. 6

Приложение 1. Уравнение Пелля в древнегреческой литературе

Приложение 2. Пакет программ для компьютера

Введение

Уравнение Пелля имеет большое значение в теории диофантовых уравнений. Например, было доказано, что любое диофантово уравнение сводится к уравнению четвёртой степени, которое в частных случаях сводится к уравнением Пелля. Таким способом с помощью уравнения Пелля Ю.В. Мятиясевичем была решена десятая проблема Гильберта. С помощью решений уравнения Пелля легче приближать "чистые" иррациональности, чем другими методами. Стоит отметить, что точность приближения действительных чисел очень важна в производстве механических часов (точность часов пропорциональна качеству приближения). Так же в кристаллографии используют представление чисел квадратичной формой, частным случаем которой и является уравнение Пелля.

Изучением данной проблемы интересовался сам Архимед. Сохранился текст задачи, которую он послал своему оппоненту Эратосфену. Она сводилась к уравнению Пелля с коэффициентом a = 4729494. Дальнейшее изучение было произведено в Индии, где впервые был сформулирован метод (индийский) нахождения наименьшего решения для любого коэффициента. Позже в Англии Броункнером был разработан другой метод (английский), аналогичный предыдущему, но более удобный. Но у известного математика Леонарда Эйлера осталось впечатление, что решение принадлежит другому английскому математику Пеллю, поэтому он и назвал это уравнение уравнением Пелля. В XIX-XX веках выяснилось, что решения уравнения Пелля являются числителями и знаменателями подходящих дробей к "чистым" иррациональностям. С тех пор изучением проблемы стали заниматься многие знаменитые математики. А.В. Виноградовым были исследованы обобщённые уравнения Пелля, но проблема актуальна и сейчас. В настоящее время появилась возможность использования компьютера для дальнейших построений оптимальных алгоритмов решения уравнения Пелля. В связи с этим стала актуальна проблема поиска "быстрых" алгоритмов, чему и посвящена данная работа.



1.Постановка задачи

Определение 1.1.

Уравнение вида x2ay2 = 1 (1), где a – целое положительное число, не являющееся квадратом, называется уравнением Пелля или неопределённым уравнением Ферма.

Определение 1.2.

Каждое уравнение Пелля имеет решение (±1;0), которое называется тривиальным. Все остальные решения называются нетривиальными.

Наименьшим нетривиальным решением уравнения Пелля называется такое решение, при котором двучлен принимает наименьшее значение из всех возможных.

Ограничение на a является естественным. Если а - квадрат, то разность двух квадратов равна 1 только тогда, когда первый из них единица, а второй ноль. Если же a - отрицательное число, то решения очевидны: если a = -1, то решениями являются пары (±1;0) и (0;±1), если , то только (±1;0).

Решений уравнения Пелля бесконечно много. Доказывается это с помощью бинома Ньютона следующим образом. Двучлен , где x0,y0 - наименьшее нетривиальное решение, возводится в n-ую степень и раскладывается по биному Ньютона. Если привести подобные слагаемые, то получается выражение вида , где хn, уn -целые числа. Далее надо провести аналогичные операции для сопряжённого двучлена. В результате получается следующая система уравнений:


Далее следует перемножить эти равенства и свернуть по формуле разности квадратов, в результате получается уравнение с переменными хn и уn (1). Получается, пара чисел хn, уn тоже является решением. Т.к. число n может принимать бесконечное множество значений, то решений уравнения (1) тоже бесконечное множество.



2.Способы отыскания всех решений

Существует три метода нахождения "всех" решений уравнения (1).

Способ 1.

Первый способ основан на формулах (2). Доказывается, что все абсолютно все решения получаются в результате возведения в n-ую степень двучлена . Этот способ удобен при нахождении решения "вручную", так как надо работать с целыми числами, выполняется "мало" операций и не требуется никаких данных, кроме наименьшего решения. Но при компьютерной реализации возникают проблемы. Во-первых, сложность представления. Требуется создавать множество дополнительных переменных, вводить треугольник Паскаля и n+1 слагаемых, возводить в степени "большие" числа, для чего на многих языках программирования требуется создавать отдельную функцию. Во-вторых, надо работать с n+1 "большими" числами (в данной работе число a называется "большим", если a > 4294967295), для чего требуется создавать новый тип чисел и разрабатывать для них все необходимые операции (суммирование, умножение, разность, деление, хранение). К тому же требуется найти наименьшее решения, что является проблематичным. Этот вопрос рассмотрен в следующем пункте.

Способ 2.

Второй способ основан на операции "гиперболический поворот", переводящей одну целочисленную точку на графике в следующую. Он основан на следующих формулах:



Верность этих формул легко доказывается с помощью математической индукции.

Способ 3.

Третий способ разработан преподавателем Самарского медико-технического лицея М.А. Кривовым. Он основан на методе нахождения наименьшего решения, поэтому подробное описание приведено в следующем пункте. Конечный результат имеет следующий вид:


где P - числители подходящей цепной дроби, Pn=x, t -"шаг", k - период, rtk, stk - коэффициенты, получаемые при умножении неполных частных бесконечной цепной дроби, rtk