Методическая разработка
«Методы решения показательных и
логарифмических уравнений »
для организации уроков повторения и подготовки к ЕГЭ в 11 классе
Глава 1.
При подготовке и сдаче ЕГЭ по математике возникает необходимость систематизации знаний учащихся. Показательные и логарифмические уравнения входят единый и государственный экзамен, причем с решением логарифмических уравнений учащиеся справляются хуже, чем с решением показательных. Цель этой работы повторить и систематизировать знания , умения и навыки учащихся при решении показательных и логарифмических уравнений.
Показательные уравнения
Простейшее показательное уравнение- уравнение вида
, т.е. уравнение, в которых переменная содержится в показателе степени некоторого числа или алгебраического выражения.
Основными методами решения показательных уравнений являются методы группировки, разложения на множители и замены переменной.
Простейшее показательное уравнение при b
1 не имеет корней и имеет единственный корень x =
при b>0, если b является степенью числа а, т.е. b=
,то уравнение (1) имеет единственный корень х=с .
Уравнение вида
, a>0,a
1 равносильно уравнению f(х)=g(x)
Уравнение вида

,
a>0,a
1,b>0, равносильно каждому из уравнений
, f(х)=g(x)
.
Уравнения, непосредственно сводимые к простейшим
Пример 1. Решить уравнение.
.
Решение.
Ответ:2.
Пример 2.Решить уравнение
.
Решение.
;
. Ответ:3;9.
Пример 3.Решить уравнение
Решение.
;
Ответ:2;5.
Вынесение общего множителя за скобки
Этот метод применяют при решении уравнений вида
и сводимых к ним. После вынесения общего множителя за скобки приходим к уравнению
, откуда 
Пример 4.Решить уравнение.
.
Решение.
.
Ответ:2.
Группировка и разложение на множители
Основная идея решения задач этого типа отражена в названии: после группировки и вынесения общих множителей обычно удается привести к виду

, а последнее уравнение- к одному или двум простейшим показательным уравнениям.
Пример 5. Решить уравнение: 
Решение.
Перенесем выражение из правой части уравнения в левую и сгруппируем слагаемые:
. Вынесем за скобку общий множитель:
;
, откуда х-3=0 или
-1=0, значит х=3 или х=0. Ответ: 0;3.
Пример 6. Решить уравнение:
.
Решение.


Ответ:0;1.
Замена переменной
Большинство показательных уравнений, в которых используется замена переменной, сводится после этой замены к квадратному уравнению. Найдя корни квадратного уравнения и выполнив обратную замену, получаем одно или два простейших показательных уравнения. Уравнение
сводится к квадратному уравнению заменой
>0.
Для решения однородного уравнения вида

нужно обе его части разделить на

( по свойству показательной функции

0 ни при каких
х ). После деления получим уравнение

, которое заменой

>0, сводится к квадратному уравнению относительно
y.
Пример 7. Решить уравнение:
;
Решение: Пусть
, тогда уравнение примет вид

.
Ответ: 1,5.
Пример 8. Решить уравнение:
(1).
Решение: Пусть

, тогда уравнение примет вид

(2); разделив обе части уравнения на

, получим уравнение

(3), равносильное уравнению(2). Обозначим

=у, получим уравнение 3у²-5у+2=0, откуда

, уравнение (3) равносильно совокупности уравнений

=1,

=

, откуда

. Если t=0, то -

=0. Это уравнение не имеет корней.
Если t=1, то -
=1, откуда х=-1.
Ответ: -1.
Пример 9.
.
Решение: 
;
=t, t>0,
D=1+4*2*3=25,
;
;
не удовлетворяет условию t>0.
=1; 5х²-4ч-12=0,
;
.
Ответ: -0,6;2.
Пример 10. Найти произведение корней уравнения
.
Пусть

=t , получим t²-6t+5=0,

, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

=1 или

=5,


Произведение корней равно 1*
*3=1.
Ответ: 1.
Пример 11. Решить уравнение:
.
Решение. Воспользуемся равенством
и заменим
=t.
Получим уравнение
или
, откуда
. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
(1),
(2) Из (1) уравнения
, из (2)- учитывая
.получим
.
Ответ:-3;3.
Пример 12. Решить уравнение:
.
Решение.

при любом
х Разделим обе части уравнения на

, получим
, равносильное данному уравнению. Пусть
;
имеет два корня
, выполнив обратную замену, получим
или
.
Ответ:
.
Применение свойств функций
Пример13. Решить уравнение:
.
Решение. Число х=2 является корнем уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Функция f(x)=
является возрастающей. Поэтому f(x)< f(2)=41 при х<2 и f(x)>f(2) при х>2, т.е. функция f(x) не принимает значение, равное 41, при х
2. Это означает. Что х=2 –единственный корень уравнения.
Ответ: 2.
Пример 14. Решить уравнение:
.
Решение. Заметим, что

(*) Равенство является верным при всех х>0, так как логарифмы по основанию 3 его левой и правой частей совпадают. Используя равенство (*) получим


.
Ответ:9.
Пример 15. Решить уравнение:
.
Решение. Число х=1 является корнем уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Разделим обе части уравнения на
:Получим
Функция f(x)=
является монотонно убывающей( как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому каждое свое значение она принимает только один раз. Так как f(1)=1, то х=1 –единственный корень уравнения
, а значит и данного уравнения.
Ответ:1.
Пример 16. Решить уравнение:
Решение. Так как
, значит
, а |x |
0 при всех значениях переменной. Получим, что левая часть уравнения не меньше 2. Знак равенства возможен. Только, если каждое слагаемое левой части принимает свое наименьшее значение. откуда 
Ответ:0.
Пример 17. Решить уравнение: 
Решение.


.
Ответ: 2.
Глава 2
Логарифмические уравнения
Простейшее логарифмическое уравнение- уравнение вида
где a>0, a
1,
имеет единственный корень
.
Методы решения - равносильные преобразования, переход к уравнению-следствию, разложение на множители, замена переменной, применение свойств функций. Решение большинства логарифмических уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических уравнения вида
;
;
.
Пример 1. Укажите наибольший корень уравнения 
Решение. По определению логарифма получаем
12-наибольший корень.
Ответ:12.
Пример 2. Решить уравнение: 
Решение. 

.
Ответ:

.
Пример 3. Решить уравнение: 
Решение. 
, так как каждое слагаемое суммы, заключенной в скобки, положительно, то сумма не равна 0. Поэтому уравнение равносильно уравнению
, имеющему единственный корень х=1.
Ответ:1.
Алгебраические преобразования
Применение свойств логарифма и основного логарифмического тождества.
a>0,
, x, y >0
1.
, 2.
, 3.
, 4.
, 5.
,
6.
.
7. 
Пример 4. Решить уравнение:
.
Решение.

Ответ:

.
Пример 5: Укажите наименьший целый корень уравнения 
Решение.
К уравнению можно применить основное логарифмическое тождество при выполнении необходимых условий
наименьшим целым корнем будет 4.
Ответ:4.
Пример 6: Укажите целое решение уравнения
.
Решение. Заменим 5

получим уравнение

, целое х=7. Ответ:7.
Пример 7. Решить уравнение:
.
Решение.
.
Ответ:100.
Пример 8. Решить уравнение:
.
Решение.


.
Ответ:2.
Пример 9. Решить уравнение: 
Решение. По свойствам логарифмов запишем уравнение в виде
, откуда 
Ответ:-4;4.
Пример 10. Решить уравнение:
.
Решение.
.
Ответ: 9.
Пример 11. Решить уравнение:
Решение.
.
Ответ:8.
Пример 12. Укажите наименьший корень уравнения
.
Решение. Область определения данного уравнения:2х-1>0; x>
.


или
или
Все найденные корни входят в область определения. Наименьший корень
. Ответ:
.
Замена переменной
Пример 13. Решить уравнение: 
Решение. Пусть
, тогда получим уравнение
;
;
или 
Ответ:0,1;
.
Пример 14. Решить уравнение:
.
Решение.

;

;

;

х=27.
Ответ:
.
Отбор корней в логарифмических уравнениях
Пример 15. Решить уравнение:
.
Решение.


Если х>4, то |4-x|=4-x|, (x-4)(2x-1)=9
2x²-9x-5=0; D=121; x=-0,5 или x=5 x=-0,5 не удовлетворяет условию х>4
Если х<4, то |4-x|=x-4, (4-x)(2x-1)=9
2x²-9x+13=0; D<0; корней нет.
Ответ:5.
Пример 16. Решить уравнение: 
Решение.
;
х-9=0 или х+2 =0 или 
х=9 х=-2

х=-2 не удовлетворяет условию
Ответ: 9.
Пример 17. Решить уравнение:
.
Решение. Обе части уравнения имеют смысл, если
; т.е. при 
; 
Данное уравнение равносильно
;
При
получаем уравнение
; разложим на множители, обозначим
= a,
=b, а b+ b²-4-2а=0, (b-2)( b+2)+а(b-2)=0;
(b-2)( b+а+2)=0; 
=0 или
=0


.
Из чисел
только
удовлетворяет условию
.
Ответ:
.
Пример 18 Решить уравнение.
Решение.
Используя тождество
, заменим данное уравнение равносильным уравнением
,
потенцируя получим
;
.
верно;
верно;
верно;
неверно.
Ответ:0;
.
Применение свойств функций
Пример19. Решить уравнение.
.
Решение.

.На этом промежутке функция f(x)=

монотонно возрастает, а функция g(x)=

монотонно убывает. Поэтому уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. Так как f(5)=g(5),х=5 единственный корень уравнения. Ответ:5.
Пример 20. Решить уравнение.
.
Решение. Так как
получим
,
Но
, поэтому уравнение имеет решение только в том случае, если

,
Проверка:
верно.
единственный корень.
Ответ:3.
Тренировочная работа 1 Тренировочная работа 2
Решить уравнение:
1.
. 1.
.
2.
. 2.
.
3.
3. 
4.
. 4.
.
5.

. 5.

.
6.
. 6.
.
7.
. 7.
.
8.
. 8.
.
9.
. 9.
.
10..
. 10.
.
11.
. 11.
.
12.
. 12.
.
13.
. 13. 
14.
. 14.
15.

. 15.

.
Список литературы
Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс, авторы С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин;
Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс, авторы С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин;
Дидактические материалы по алгебре и началам математического анализа 10 класс; М.К. Потапов, А.В. Шевкин;
Готовимся к ЕГЭ математика изд. Дрофа 2004 год авторы Л.О. Денищева, Е.М.Бойченко…;
ЕГЭ 2011 Математика задача С1 Уравнения и системы уравнений авторы С.А. Шестаков, П.И.Захаров;
Уравнения лекции для старшеклассников и абитуриентов М Шабунин Библиотечка «Первого сентября» математика №1 2005;
Книга для учителя К «Сборнику задач по алгебре и началам анализа для проведения и подготовки итоговой аттестации за курс средней школы» под редакцией С.А. Шестакова.
2>