litceysel.ru
добавить свой файл
1
Министерство образования и науки Российской Федерации


Пермский институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

«Российский государственный торгово-экономический университет»


Кафедра высшей и прикладной математики


Математический анализ


Методические указания

и контрольные задания для студентов I курса

заочной формы обучения всех специальностей

и направлений


(2-й семестр)


Пермь 2011 г.

организационно-методические рекомендации


Правила оформления и зачета контрольных работ


  1. Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

  2. Каждую контрольную работу следует выполнить в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

  3. На обложке тетради должны быть разборчиво написаны факультет (институт), название дисциплины (математический анализ), фамилия, имя и отчество студента, номер контрольной работы, номер варианта, номер группы, шифр (номер зачетной книжки) студента, ФИО рецензента. В конце работы следует поставить датy ее выполнения и расписаться.

  4. Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, определяется по двум последним цифрам его шифра – номера зачетной книжки следующим образом.

Формирование исходных данных к задачам

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры своего шифра (номера зачетной книжки) (А – предпоследняя цифра, В - последняя) и выбрать из таблицы 1 параметр m, а из таблицы 2 – параметр n. Эти два числа m и n и нужно подставить в условия задач контрольной работы.


Таблица 1 (выбор параметра m)


А

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

m

4

3

5

1

3

2

4

2

1

5

Таблица 2 (выбор параметра n)

В

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

3

2

1

4

5

3


1

5

2

4

Например, если шифр студента 1097-037, то А=3, В=7, и из таблиц находим, что m=1, n=5. Полученные m=1 и n=5 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента (его вариант: 15)


  1. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.

  2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.

  • Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа π, е и т.д.

  • Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Так, например, вычислив неопределенный интеграл, нужно проверить, равна ли подынтегральная функция производной от полученной первообразной. Полезно также, если это возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

  1. Срок проверки контрольных работ 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.
  2. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. В связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений.


  • В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

  • При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.


решение типовых задач контрольной работы


  1. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных


1.1. Найти частные производные функций:

а)

Находим:



б)

Находим:




1.2. Найти дифференциал функции:



Полный дифференциал определяется как:



Найдем частные производные:



Тогда полный дифференциал будет равен:




  1. Приложения частных производных

2.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .



Решение. Проверим, принадлежит ли точка М поверхности:



следовательно, точка М принадлежит поверхности.

Уравнение касательной плоскости имеет вид:



Найдем значения частных производных в точке М:



и подставим в уравнение касательной плоскости:

или

Уравнение нормали берем в виде:

или или

2.2. Найти градиент и производную функции в точке

Решение. Градиент функции равен:



Найдем частные производные:



и их значения в точке :

.


Тогда градиент в точке А равен:



Производная функции z в направлении вектора вычисляется по формуле:



Найдем направляющий косинус вектора :



тогда



Следовательно,




2.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции



в замкнутой области D, заданной неравенствами:



Решение.

а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума):



Стационарная точка лежит в замкнутой области, так как:



Найдем вторые частные производные:



и их значения в стационарной точке М(2;2):


Так как , то в точке М функция имеет экстремум, а именно минимум, так как


б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 1)



Рис.1


Рассмотрим контур (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной: Исследуем ее на экстремум:



Из имеем или . И так как



то имеем минимум и

Далее рассмотрим контур или (прямая АВ). Имеем:



или


Найдем и из имеем или .


Так как то при имеем минимум и

На контуре или (прямая ОВ) имеем или Находим производную приравниваем ее к нулю или , отсюда

Так как , то в точке имеем минимум и

Найдем значение функции z в точках О(0;0), А(0;6) и В(4;2):



Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что


  1. Дифференциальные уравнения первого порядка


3.1. Найти общее решение уравнения:

Решение. Разделив уравнение на х



получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое сведем к уравнению с разделяющимися переменными введением функции , отсюда и

Подставим в исходное уравнение или или , или Разделяем переменные Числитель делим почленно на знаменатель и интегрируем

или

Все интегралы табличные, тогда

или

Подставляем сюда , получим

или


Это и будет общее решение исходного дифференциального уравнения.


3.2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна величине вклада. Коэффициент пропорциональности равен 3. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 2 миллиона рублей.

Решение. Если величину вклада обозначить через J = J(t), где t – время, то скорость роста вклада есть производная, т.е. и она пропорциональна величине вклада J с коэффициентом пропорциональности, равным 3, т.е. .

Разделяем переменные и интегрируем

или ,

ln J = 3t + C или J = e3t + C.

В начальный момент времени, т.е. при t = 0 начальный вклад J0 = 2 млн. руб. Тогда

J0 = e3 · 0 + C; eC = 2 и C · ln e = ln 2, т.е. C = ln 2.

Окончательно: J = e3t + ln2 или J = 2e3t.


  1. Линейные уравнения высших порядков


4.1. Решить задачу Коши:

(a)

Решение. Находим общее решение однородного дифференциального уравнения (дифура), соответствующего исходному дифуру (а):

(b)


Его характеристическое уравнение а корни Тогда общее решение дифура (b) будет:

(с)

Частное решение исходного дифура (а) берем в виде:

(d)

тогда

,

подставляем в (а) и группируем: , отсюда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем:

и ,

т.е. , а выражение (d) принимает вид:

(е)

Суммируя (с) и (е), найдем общее решение неоднородного диф. уравнения (а):

(f)

Найдем и, используя начальные условия (а), имеем:



отсюда

Найденные значения С1 и С2 подставляем в (f), и тогда частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:





4.2. Решить задачу Коши:

(а)

Решение. Однородное дифуравнение

(b)

имеет характеристическое уравнение , а его корни будут . Тогда общее решение дифура (b) будет:

(с)

Частное решение дифура (а) ищем в виде:

(d)

Определив и и подставив в (а), после группировки имеем



отсюда или и Подставляя А и В в (d) и суммируя с (с), найдем общее решение дифура (а):

(е)

Найдем и, используя начальные условия (а), имеем


отсюда

Подставляя найденные С1 и С2 в (е), будем иметь решение исходного дифференциального уравнения (а), удовлетворяющего начальным условиям:




  1. Двойной интеграл


5.1. Изобразить и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение. Построим две параболы и найдем точки пересечения:



отсюда или , его корни x1 = 4, x2 = 12. На чертеже (рис. 2) изображена заштрихованная фигура, площадь которой определяем:



(кв. ед.)



Рис. 2


  1. Числовые ряды

6.1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

Решение. Имеем

Исследуем сходимость ряда по признаку Даламбера:




Следовательно, ряд расходится.


  1. Степенные ряды


7.1. Найти область сходимости степенного ряда:



Решение. Согласно признаку Даламбера искомый ряд сходится при тех значениях х, для которых:



т.е.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получаем числовой ряд



Это знакочередующийся ряд, для которого



т.е. по признаку Лейбница ряд расходится.

При имеем числовой ряд с положительными членами



который расходится, так как предел общего числа не равен нулю.

Итак, область сходимости данного ряда


Задания контрольной работы

1. Найти частные производные функций:

а) ;

б) .


2. Найти дифференциал функции

3. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

4. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами:

6. Найти общее решение уравнения

7. Скорость роста банковского вклада пропорциональна величине вклада. Коэффициент пропорциональности равен m. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла n миллионов рублей.

8. Решить задачу Коши: .

9. Решить задачу Коши: .

10. Изобразить и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .


11. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами .

12. Найти область сходимости степенного ряда

Вопросы к экзамену


  1. Понятие множества. Числовая ось. Окрестность точки.

  2. Понятие функции. Основные свойства функции. Способы задания функций.

  3. Элементарные функции. Обратная и сложная функция.

  4. Предел числовой последовательности. Использование предела в экономике.

  5. Предел функции в бесконечности и в точке.

  6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

  7. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.

  8. Замечательные пределы.

  9. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.

  10. Производная. Непрерывность и дифференцируемость функции.

  11. Производная сложной и обратной функций.

  12. Экономический смысл производной. Использование производной в экономике.

  13. Основные теоремы дифференциального исчисления (без доказательств).

  14. Возрастание и убывание функции. Поиск интервалов монотонности.

  15. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Поиск экстремума.

  16. Экстремум функции. Достаточные условия экстремума. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции.

  17. Выпуклость функции. Точки перегиба.

  18. Асимптоты графика функции.

  19. Общая схема исследования функции.

  20. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

  21. Первообразная и неопределенный интеграл.

  22. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом разложения.

  23. Интегрирование методом замены переменной.

  24. Метод интегрирования по частям.


  25. Интегрирование простейших рациональных дробей.

  26. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.

  27. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

  28. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей плоских фигур.

  29. Вычисление объемов тел вращения с использование определенного интеграла.

  30. Несобственные интегралы.

  31. Функция Кобба-Дугласа. Кривая Лоренца.

  32. Функции нескольких переменных. Линии уровней. Функции нескольких переменных в экономике.

  33. Частные производные и дифференциал функции.

  34. Производная по направлению. Градиент функции.

  35. Экстремум функции нескольких переменных.

  36. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных.

  37. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

  38. Двойные и тройные интегралы.

  39. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

  40. Неполные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

  41. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

  42. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

  43. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

  44. Числовые ряды. Сходимость ряда. Признак Даламбера.

  45. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

  46. Знакопеременные ряды. Абсолютно сходящийся и условно сходящийся ряды.

  47. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда.

  48. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

  1. Красс М.С, Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2011.
  2. Журбенко Л.Н. и др. Математика в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2009.


  3. Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. – РУДН. – М.: ИНФРА-М, 2006.

  4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер и др. // под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

  5. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер и др. // под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 423 с.

Дополнительная

  1. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах, – СПб.: Лань, 2008.

  2. Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: Учебник для вузов / Ю.И. Клименко. – М.: Изд-во «Экзамен», 2005. – 736 с.

  3. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 2003.

  4. Опарин Н.П., Югова С.Б. Высшая математика. Часть I:Учебное пособие (сборник задач). – Пермь: ОТ и ДО. 2010.

  5. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – СПб.: Лань, 2008.

  6. Красс М.С, Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.