litceysel.ru 1

УДК 517.5



АННОТАЦИЯ


Найдена в явном виде альтернативная формула представления функционала - обобщенной функции (и всех его производных) в пространстве обобщенных функций медленного роста, что позволяет проводить в явном виде оценки функционалов всех производных, а также устанавливать новые соотношения этих функционалов с другими обобщенными функциями.

Найдены нечётные коэффициенты Фурье разложения функционала по ортонормальной системе функций Эрмита, четные коэффициенты равны нулю. Отмечается, что число слагаемых в сумме для ограничено и не превышает индекс k.

В трехмерном пространстве введен в рассмотрение функционал Pf , найдено его преобразование Фурье. Отмечается, что рассмотренные функционалы не являются положительно определенными обобщенными функциями.


Ключевые слова: Функционал - обобщенная функция


Н.В.ШИПОВ


СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ МЕДЛЕННОГО РОСТА

В теории обобщенных функций (см., например, [1,2] ) функционал D' возникает так же часто (например, при преобразованиях Фурье) как и другие общеизвестные универсальные функции, такие как функция Хевисайда (единичная ступенька), дельта-функция δ (x), функция знака sign(x) и ряд других [1, 3, 4]. В пространстве S' обобщённых функций медленного роста операция преобразования Фурье является линейным изоморфизмом, тогда как в пространстве D' обобщенных функций, определенных над множеством D финитных бесконечно дифференцируемых функций, эта операция (преобразование Фурье) таковой не является. В связи с этим преобразование Фурье в пространстве S' находит более широкое применение, в частности при решении задач математической физики. Поэтому представляется интересным более подробное изучение свойств функционала в пространстве S' обобщённых функций медленного роста. Пространство S основных функций состоит из бесконечно дифференцируемых функций, убывающих при | x | → ∞ вместе со всеми производными быстрее любой степени 1/| x |, причём пространство D плотно в пространстве S [2].



Дифференциальные свойства функционала в пространстве S' обобщённых функций медленного роста.


Производная от ln(x) в пространстве D' обобщённых функций совпадает с ,

(ln(x)', φ(x)) = (, φ(x)) = lim , (1)

є→ 0


где пределы + R, -R' интегрирования определяются размерами ограниченного носителя функции φ(x), принадлежащей пространству D [2].

Пусть теперь функция φ(x) принадлежит пространству S', поэтому интегрирование необходимо проводить по всей числовой оси.

Функция ƒ(x) = ln (x) локально суммируема (интегрируема по Лебегу на любом ограниченном борелевском множестве), и на всей числовой оси для неё (при некотором n ≤ 0 ) выполнено неравенство


∫ | ƒ(x)|(1+| x |)ⁿ dx < ∞. (2)


Таким образом функция ln(x) определяет регулярную обобщённую функцию медленного роста (линейный непрерывный функционал на множестве S ), причём из свойств этого функционала следует, что все производные этой функции (как обобщенные функции) существуют и непрерывны [2]. Для регулярных обобщенных функций, имеющих разрывы первого рода, существует универсальная формула, выражающая производную обобщенной функции через скачки в точках разрыва [2]. Для функций с разрывами второго рода универсальной формулы нет, так что вычисление производной от ln (x) проводим исходя из общего определения производной обобщенной функции:

(ln(x)', φ(x))= - (ln| x |, φ'(x) ) =


= lim ( φ(є) ln є – φ(-δ) ln δ) + ) , (3)

δ→ 0, є→ 0



где є > 0, δ > 0. Поскольку функционал в левой части существует, то конечное значение в правой части возможно только при δ = є. Отсюда получаем выражение


(ln(x)', φ(x)) = lim . (4)

є→ 0


Выделяя на действительной оси симметричный интервал интегрирования (- R, R), где R > 0, и переходя к пределу, получаем окончательное выражение


(, φ(x)) = (ln(x)', φ(x)) = lim . (5)

R → ∞

Используя формулу (5), для производной P ' имеем:


(P ' , φ) = - (, φ') = - lim .

R → ∞


Вводя функцию ψ(x) = φ(x) - x φ'(0) – φ(0), после интегрирования по частям получаем:

(P' , φ) = - (P, φ), (6)

где

(P, φ) = lim . (7)

R → ∞


Аналогичным образом продолжая процесс, приходим к окончательному выражению для функционала производной порядка n ( n = 0, 1, 2, 3… ):

( , φ) = (-1)ⁿ n! (P, φ), (8)



(P, φ(x)) = lim . (9)

R → ∞


Полученные выражения могут быть использованы в расчётах для оценок производных функционала, а также для установления и проверки различных соотношений между обобщёнными функциями в пространстве


S'. Например, функционал (8) удовлетворяет в S' уравнению


xⁿ P = 1, (10)

поскольку все производные от функции xⁿ φ(x) порядка не выше n - 1 обращаются в ноль при x = 0.


Разложение функционала по ортонормальной системе функций

Эрмита


Ортонормальные функции Эрмита (волновые функции гармонического осциллятора) принадлежат пространству S и могут быть представлены в виде [5] :


(x) = exp (- /2 ) . (11)


Для произвольной обобщенной функции ƒ из S ' числа


(ƒ) = (ƒ, ) (12)


называются коэффициентами Фурье, а формальный ряд

(ƒ) (x) (13)



называется рядом Фурье по ортонормальной системе функций Эрмита.

Для того, чтобы ƒ принадлежала S ', необходимо и достаточно, чтобы её коэффициенты Фурье удовлетворяли условию: существуют числа p ≥ 0 и C такие, что


|(ƒ) | ≤ C , n = 0, 1, … (14)


При этом ряд Фурье ƒ единственен, сходится к ƒ в S ' (в смысле слабой сходимости) [2].


Как следует из формул (5), (12), при вычислении коэффициентов Фурье (ƒ) для функции ƒ(x) = , только нечётные степени будут обеспечивать ненулевой вклад в интеграл по действительной оси. По этой причине в (11) приведены только нечётные функции Эрмита, содержащие конечное число нечетных степеней x. Опуская детали интегрирования, приведём окончательный результат:


() = , k = 0, 1, 2,… (15)


где для унификации удобно считать (-1)! = 1.

Отметим, что число слагаемых в сумме для ограничено и не превышает индекс k.

Выражения (14), (15) могут быть использованы для вычисления коэффициентов Фурье по ортонормальной системе функций Эрмита

для других обобщенных функций, связанных с , а также для установления принадлежности этих обобщенных функций пространству S'.



Функционал Pf для n = 3 и его преобразование Фурье


Введем для n = 3 (по аналогии [2] с n = 2 ) обобщенную функцию Pf из S', действующую по правилу


(Pf , φ) = + . (16)


Непосредственной проверкой убеждаемся, что эта обобщенная функция удовлетворяет уравнению


Pf = . (17)


Вычисляем преобразование Фурье от обобщенной функции Pf , где основная функция φ(x) принадлежит S:


(F(Pf ), φ) = (Pf , F(φ)) =

= 2π + 2π =



= , (18)

где


c = + . (19)


Таким образом, как следует из (18),


F(Pf ) = c - 4π ln |ξ | . (20)


Функция (20) не является неотрицательной. Таким образом исходная обобщенная функция Pf не является положительно определенной обобщенной функцией. Напомним, что согласно теореме Бохнера-Шварца [2] для этого необходимо и достаточно, чтобы она являлась преобразованием Фурье неотрицательной меры медленного роста.

Точно также обобщенная функция не является положительно определенной обобщенной функцией, поскольку её преобразование известно [2], и является чисто мнимой функцией.


Литература


  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и

Функционального анализа. М., Наука, 1976.


  1. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической

Физике. М., Наука, 1979.



  1. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической

Физики. М., Физико-математическая Литература, 2001.


4. Выск Н.Д., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения

волнового уравнения по неточным начальным данным. -

Математические Заметки, т. 81, вып. 6, 2007, с. 803 - 815.


  1. Корн Г., Корн Г. Справочник по математике для научных


работников и инженеров. М., Наука, 1980.