litceysel.ru
добавить свой файл
1


Департамент образования Владимирской области.

Муниципальное образовательное учреждение

средняя школа №10

с углублённым изучением иностранных языков.


Пальцевый счёт

и другие приёмы умножения.


Реферат


ученицы 8 класса «А»

Магазиной Евгении

руководитель - О.А. Киселёва

- учитель математики.


Владимир

2009


Содержание


1.Введение………………………………………………………………...3

2.Предпосылки появления пальцевого счёта…………………………...4

3.Пальцевый счёт в разных странах……………………………………..5

4.Различные приёмы умножения (в рамках пальцевого счёта)………..6

4.1.Умножение в древнем Риме………………………………………….6

4.2.Умножение в средневековой Европе………………………………..6

4.3.Старорусский приём. «Умножение крестиком».....................……...7

4.4.Древнеегипетский способ……………………………………………8

4.5.«Русский способ умножения»……………………………………….8

5.Практичесое применение пальцевого счёта в современной жизни…9

6.Список литературы…………………………………………………….10

Введение.


Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности, где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов, об их размерах и форме.

С глубокой древности накапливалось все больше сведений о числах. Начатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за 4 тыс. лет до н.э. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас египетские папирусы, вавилонские таблички, где встречаются решения арифметических, геометрических и алгебраических задач.

В 3 в. до н.э. Архимед нашёл способ определения площадей, объёмов и центров тяжести простых фигур. Во 2 в. до н.э. Птолемей изложил основы тригонометрии, дал таблицы синусов. Учёные народов Востока и Западной Европы делали сложнейшие математические вычисления без технических приспособлений.


Мне показалось интересным разобраться в древних способах счета. Теперь я понимаю, насколько мудры были древние математики. Изучать эти материалы действительно очень увлекательно. Подобные сведения не содержатся в школьных учебниках. Особенно интересно узнать о русском учёном Л.Ф.Магницком, который внёс большой вклад в развитие отечественной математики.

Цель реферата состоит в изучении пальцевого счёта и различных способов умножения, а также в применении их в современной практической жизни. Содержание реферата поможет легко делать сложные математические вычисления без использования технических приспособлений.

Предпосылки появления пальцевого счёта


Очень рано у людей появилась необходимость сообщать друг другу о том, что такое-то число предметов должно быть доставлено через столько-то дней или что каждое племя должно выставить такое-то число воинов. И даже те народы, у которых имелось только два числительных, умели в известном смысле «сосчитывать» довольно большое количество предметов.

До сих пор счёт у папуасов очень близок к построению чисел по принципу умножения. В Южной Африке считали стада следующим образом: один из африканцев считал каждую голову, второй-число десятков, сосчитанных первым, а третий- число десятков, сосчитанных вторым, т.е. число сотен. Считали они, используя пальцы рук. Некоторые племена до сих пор пользуются пальцевым счётом.

Счёт по пальцам широко применялся в старину. Пальцы и их суставы, а также загибания и разгибания пальцев, складывание и вытягивание рук давали возможность людям не только считать до десятков и сотен тысяч, и производить некоторые арифметические действия.


Пальцевый счёт в разных странах

В египетских математических папирусах содержатся таблицы разложения дробей на «единичные», правила вычисления площадей и объёмов некоторых геометрических фигур, задачи на определение веса обелисков, на нахождение количества дней и строительных материалов, требуемых для воздвижения статуй, и другие практические задачи.


Древние римляне умножали на пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10. Также пальцевый счёт был широко распространен в практической жизни и в средние века. Ирландский учёный монах Беда Достопочтенный (673-735), написавший книгу «О счёте времени», посвятил целую главу счёту на пальцах.

Также в средние века очень распространённым был способ умножения «решёткой», названный в Италии «Джелозия»(оконные жалюзи)

Начиная с римского автора Боэция (480-524), числа делились на «пальцы» (единицы), «суставы» (десятки) и «составные числа» (все прочие числа). Аналогичные названия встречаются и в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого: «персты» (числа первого десятка), «составы» (числа вида 30, 50 и др.) и «сочинения» (все прочие числа). При этом он разъяснял, что «сия числа сочинения называются, понеже они из перстов и составов сочиняются». Подробное деление чисел имелось ещё у древнеримских математиков и восходит к счёту при помощи пальцев, в котором единицы изображались пальцами, т.е. «перстами», а десятки – суставами пальцев.

Интересно, что цифры Магницкий называл «знаменованиями», т.е. обозначениями – знаками, словом «цифра» он согласно принятой терминологии обозначает нуль.

Французы поныне называют единицы «пальцами».

С давних пор практиковались многочисленные и разнообразные правила умножения и деления.

Пальцевый счёт, который постепенно исчезал после полного утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохранился в Европе до 18 века.


Различные приёмы умножения (в рамках пальцевого счёта)


Древние римляне следующим образом умножали числа, содержащиеся между 5 и 10:

Пусть требуется умножить 6 на 7. Считаем на пальцах левой руки, согнутой в кулак, до 6, разгибая по одному пальцу, а на правой то же до 7. Всего на обеих руках 3 согнутых пальца – это количество десятков (3 дес.=30).Количество разогнутых пальцев левой руки (4) перемножаем на количество разогнутых пальцев правой (3), получаем: 4*3=12.


Итак, 30 + 12=42.

Аналогично:

6*8 = (1+3)*10+4*2=48

6*9 = (1+4)*10+4*1=54

7*7 = (2+2)*10+3*3=49

7*8 = (2+3)*10+3*2=56

7*9 = (2+4)*10+3*1=63

8*8 = (3+3)*10+2*2=64

8*9 = (3+4)*10+2*1=72

9*9= (4+4)*10+1*1=81

***

В средневековой Европе числа перемножались похожим способом.

Вот как производилось, например, умножение 13 на 14.

Известно:


  1. 10*10 = 100.

Далее:

  1. откладывают (загибают) на одной руке 3, на другой – 4 пальца;

  2. 3+4 = 7, это – десятки, т. е. 7*10 = 70.

  3. 3*4 = 12, это – единицы.


Итак:

  1. 13*14 = 10*10+7*10+3*4 = 182

***

В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся ещё в древней Индии под названием «молниеносного».

Пусть требуется, например, умножить 48 на 27.

  1. Пишем: 48

27

  1. Говорим: 7×8=56

  2. Пишем: 6, в уме 5 48

27

6

  1. Говорим:7×4=28; 28 + 5=33;

33 в уме, 2×8=16;

16+33=49;

  1. Пишем 9, в уме 4; 48

27

96
  1. Говорим: 2×4=8;8+4=12


  2. Пишем: 12 и получаем произведение 1296 48

27

1296


Этим способом удобно пользоваться и в настоящее время.

***

Изучая египетские папирусы, можно убедиться в том, что в основном арифметические действия сложения и вычитания натуральных чисел у египтян производились как и настоящее время, умножение же и деление египтяне сводили к последовательному удваиванию и сложению.

Приведём пример:15×13

Решение:

/1 15 15·13=(1+4+8)·15=15+60+120=195

  1. 30

/4 60

/8 120

Итак, составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а второго – множимое 15. Эти числа последовательно удваивается до тех пор, пока, складывая некоторые числа левого столбца, становится возможным получить множитель 13. Числа правого столбца, которые надо сложить, чтобы получить искомое произведение, соответствуют отмеченным косой чертой числам левого столбца.

Деление сводится к умножению в обратном направлении:

195: 15=(15+60+120): 15=1+4+8=13

***

К староегипетскому близок так называемый «русский способ умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной деревне. Он основан на последовательной замене произведения двух сомножителей, при котором один из них повторно удваивается, а второй раздваивается до единицы.

Пример:27×16. Один из сомножителей ставится во главе одного столбца и повторно удваивается, другой – во главе другого столбца – повторно раздваивается.

27 16

54 8

108 4

216 2

432 1

Итак, 27×16= 54×8= 216×2=432×1=432

***

Одним из старинных способов умножения девяти на однозначные числа является так называемый «способ девятки».

Предположим, нужно умножить 9 на 6.

Положите перед собой руки (в данный момент пальцев10), согните шестой палец слева. Всё, что слева, обозначает количество десятков (5), а справа-количество единиц (4). Итого, 54.

Практическое применение пальцевого счёта в современной жизни


Пусть потребуется решить задачу:

Для изготовления лимонного джема кондитерскому цеху понадобилось 42 кг лимонов, для изготовления цукатов 8 кг лимонов, а для начинки тортов понадобилось 16 кг. Сколько денег затратил кондитерский цех на покупку лимонов, если 1 кг стоит 54 рубля?

Составим таблицу:

54

42

16

8

108

24

8

4

216

12

4

2

432

6

2

1

864

3

1




2592

1








1. 54·42=2592(руб.)-для изготовления джема

2. 54·16=864(руб.)-для изготовления начинки тортов

3. 54·8=432(руб.)-для изготовления цукатов

4.2592+864+432=3888(руб.)-всего

Ответ: кондитерский цех потратил 3888 рубля.


Список литературы.


1.Галанин Д.Д. Магницкий и его арифметика, - М., -1914.

2.Глейзер Г.И. История математики в школе 4-6 классы, - М., - 1978.

3.Денисов А.Д. Л.Ф.Магницкий, - М.,-1967.

4.Депман И.Я. Мир чисел, - Л.,- 1963

5.Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т. 2, - М., -1964.

6.Савин А. Энциклопедия для детей. Математика. – М.:Аванта, 2001.

Рецензия

На реферат «Пальцевый счёт и другие приёмы умножения»

учащейся 8 класса Магазиной Евгении.


Данная работа есть первая попытка самостоятельного исследования темы «Пальцевый счёт и другие приёмы умножения». Содержание реферата является субъективно новым материалом для учащейся, так как пальцевый счёт не входит в школьную программу по математике.

Автор работы изучила сущность вопроса на основе подобранной литературы, провела анализ и классификацию источников.

Тема реферата достаточно актуальна, поскольку пальцевый счёт – занятие всегда доступное, простое и развивающее. В работе рассмотрены различные виды пальцевого счёта, которые позволяют использовать их в практической жизни. Тема работы раскрыта полностью в соответствии с планом.

Материал представлен в доходчивой форме, дают возможность ясно представить и понять рассматриваемые факты.

Соблюдены требования к объёму и оформлению реферата.

Практическая ценность данной работы заключается в возможности её применения на уроках и факультативных занятиях в школе.


Руководитель: Киселёва О.А.