litceysel.ru
добавить свой файл
1
Содержание курса


теория вероятностей и математическая статистика


Дискретная теория вероятностей. Предмет теории вероятностей.

Построение вероятностного пространства. Пространство элементарных исходов, вероятностная интерпретация множества и операций над множествами. Некоторые классические модели и распределения. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов: выбор с возвращением, выбор без возвращения, упорядоченный и неупорядоченный. Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по N ячейкам (статистика Максвелла-Больцмана, статистика Бозе-Эйнштейна, статистика Ферми-Дирака), дуализм с выниманием n шаров из урн.

Возникновение биномиального и мультиномиального (полиномиального) распределений в задачах выбора с возвращением. Возникновение геометрического и гипергеометрического распределений в задачах выбора без возвращений.

Геометрические вероятности. Парадокс Бертрана.

Условная вероятность, формула Байеса, априорная и апостериорная вероятности, формула полной вероятности, независимые события.

Простые случайные величины (с конечным числом значений), индикаторы. Математическое ожидание простых случайных величин и их свойства. Дисперсия. Неравенство Чебышева. Дисперсия суммы, понятие ковариации и коэффициента корреляции случайных величин.

Схема Бернулли. Закон больших чисел, локальная предельная теорема, интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, теорема Пуассона. Оценка вероятности успеха в схеме Бернулли (состоятельная, несмещенная эффективная, неравенство Рао-Крамера). Доверительные интервалы для оценки вероятности успеха в схеме Бернулли.

Аксиоматика Колмогорова. Измеримые пространства. Алгебры и -алгебры. Теоремы о существовании наименьшей алгебры и алгебры, содержащих множества из заданной системы множеств. Построение борелевской алгебры в R , Rn . Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах. Общее определение случайной величины.


Интеграл Лебега. Общее определение математического ожидания и его свойства (теоремы о неравенствах и о предельных переходах под знаком математического ожидания). Разные виды сходимости последовательности случайных величин.

Условные вероятности и условные математические ожидания относительно алгебр. Свойства условных математических ожиданий.

Распределения случайных величин: функция распределения, плотность распределения (в одномерном и многомерном случаях). Нормальное распределение.

Характеристические функции. Определение, основные свойства.

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.

Применение центральной предельной теоремы.

Основные понятия и задачи математической статистики.

Генеральная совокупность и выборка из нее. Эмпирическая (выборочная) функция распределения, гистограмма и эмпирические (выборочные) моменты.

Задача оценивания неизвестных параметров распределения. Статистики, статистические оценки и их основные свойства: состоятельность, несмещенность, эффективность. Построение точечных и интервальных оценок.

Статистическая проверка гипотез. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных. Общая логическая схема построения статистического критерия. Задача статистической проверки гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины. Критерии согласия.

Задачи регрессионного анализа.


ЛИТЕРАТУРА


  1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. М.: Финансы и статистика,1983.

  2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука,1969.

  3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1972

  4. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: БИНОМ, 2007.
  5. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1963.

  6. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1986

  7. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1972

  8. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1987

  9. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

  10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.Т.1. М.: Мир, 1984.