litceysel.ru
добавить свой файл
1
УДК 539.4


Термоупругопластический Изгиб круговой Трехслойной пластины на упругом основании

Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко

Белорусский государственный университет транспорта, Гомель, Беларусь

Постановка задачи и ее решение проводятся в цилиндрической системе координат r, φ, z. Для изотропных несущих слоев, толщиной h1, h2, приняты гипотезы Кирхгофа. Несжимаемый по толщине заполнитель (h3 = 2с) легкий, то есть в нем пренебрегаем работой касательных напряжений σrz в тангенциальном направлении. Деформированная нормаль заполнителя остается прямолинейной, но поворачивается на некоторый дополнительный угол ψ. На границах слоев перемещения непрерывны. На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев.

Пусть в начальный момент времени на трехслойную круговую пластину, находящуюся на упругом основании, начинают действовать симметричная вертикальная нагрузка q0(r) и тепловой поток интенсивности qt, направленный перпендикулярно первому несущему слою. На границе заданы усилия . Задача определения соответствующего температурного поля рассмотрена в [1], поэтому считаем температуру T(z, t) известной.

Для рассматриваемой пластины теплотой, ушедшей на нагревание внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу малой теплоемкости). Его температура принимается равной температуре заполнителя в месте склейки: T(1) = T(3)(c, t). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время t, идет на нагревание полимерного заполнителя. Температура второго несущего слоя также принимается равной температуре заполнителя в месте их склейки T(2) = T(3)(–c, t). Температурное поле в заполнителе определено в [1]. При тепловом потоке qt = 5000 Дж/(м2·с) температура во внешнем слое достигает значения T1 = 597 К в момент времени t0 = 60 мин., что соответствует достаточному разогреву дюралюминия, но меньше температуры плавления заполнителя – фторопласта. Во втором слое температура постоянна.


Для описания зависимости модулей упругости материалов несущих слоев (металлов) от температуры используется формула, предложенная Беллом [2]:

,



где Tпл – температура плавления материала, G(0), K(0), E(0) – значения модулей при так называемой нулевой температуре.

Зависимость параметров упругости полимерных материалов (заполнителя) от температуры принимается в виде

, ,

где ΔT = T – T0, T0 – начальная температура, G0, K0 – значения параметров при температуре T0, B,  – параметры материала заполнителя, получаемые экспериментально.

В качестве заполнителя часто используются полимерные материалы. Механизм их объемного поведения при положительных средних напряжениях σ качественно и количественно отличается от такового при всестороннем сжатии. Функция нелинейности определена только в области отрицательных гидростатических напряжений.

В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют: uφ(k) = 0 (k – номер слоя), а прогиб пластины, относительный сдвиг в заполнителе и радиальное перемещение координатной плоскости не зависят от координаты φ, то есть u(r), ψ(r), w(r). В дальнейшем эти функции считаются искомыми.

Уравнения равновесия пластины выводятся из вариационного принципа Лагранжа


А – W = 0,

где А = А1 + А2 – вариация суммарной работы внешних нагрузок q0(r), реакции основания qR и контурных усилий

δA1 , ,

W – вариация работы внутренних сил упругости

δW .

Интеграл распространен по всей срединной поверхности заполнителя S.

Связь между реакцией основания и прогибом пластины описывается моделью Винклера (Winkler E.), согласно которой

, (1)

где 0 – коэффициент жесткости упругого основания.

Линейные обобщенные внутренние усилия и граничные условия выразим через искомые перемещения с помощью закона Гука. В результате система нелинейных дифференциальных уравнений равновесия с учетом (1) принимает в перемещениях вид

, ,

. (2)

где L2, L3 – дифференциальные операторы второго и третьего порядков

, ,

, , – нелинейные составляющие, коэффициенты аi определяются в (2) интегральными соотношениями, следующими из вывода зависимостей внутренних усилий от перемещений.

Задача отыскания функций u(r), ψ(r), w(r) замыкается присоединением к (2) силовых или кинематических граничных условий. При жесткой заделке контура пластины должны выполняться требования

. (3)

При шарнирном опирании

. (4)

Сформулированная краевая задача является существенно нелинейной, поэтому говорить о ее точном решении не приходится. Для ее решения применим метод упругих решений Ильюшина [3] к рассматриваемой задаче. С учетом ограниченности решения в центре пластины искомые перемещения принимают вид:

,

,

, (5)

где (i = 1, 2, .., 6) – константы интегрирования на n-ом шаге, , , называют «дополнительными» внешними нагрузками и на первом шаге полагают равными нулю, а в дальнейшем вычисляют по результатам предыдущего приближения; , – функции Кельвина нулевого порядка, – частное решение.


Частное решение в этом случае можно принять с использованием ядра Коши [4]

, (6)

Частное решение (6) и ядро Коши удовлетворяют условиям [4]:

,

,

штрихи вверху обозначают производные по r.

В результате для сплошной пластины искомое итерационное решение принимает вид

где и определяются из условия непрерывности решения в центре пластины:

, .

Константы интегрирования C1, C3, C5, C6 следуют из условий закрепления контура рассматриваемой трехслойной пластины, находящейся на упругом основании.

При жесткой заделке контура пластины решение (5) должно удовлетворять условиям (3). В результате

,

,

, . (7)

Если контур пластины шарнирно оперт, то константы интегрирования следуют из (4).

Таким образом, общее решение (5) с частным решением (6) и константами интегрирования (7) описывает термоупругопластическое деформирование лежащей на упругом основании круговой трехслойной пластины с легким заполнителем и жестко заделанным контуром.


Выводы. Приведенное в работе общее решение (5), (6) можно использовать для исследования любого случая изгиба на упругом основании симметричной термосиловой нагрузкой трехслойной круговой пластины с легким заполнителем при наличии отверстия или без него.

литература

1. Старовойтов Э.И., Яровая А.В., Леоненко Д.В. Деформирование трехслойных
элементов конструкций на упругом основании. – М.: Физматлит, 2006. – 379 с.

2. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых тел. В 2 ч. – М.: Наука, 1984. – 1027 с. 

3. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.

4. Тихонов А.Н. Васильева А.Б. , Свешников А.Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. – 231 с.