litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 ... 6 7

Глава 2. Числовые множества




§ 2.1. Множества: определение и основные свойства



Множество (по Тьюрингу) это объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью.

Можно привести другое определение множества:

Множество (по Кантору) – это совокупность объектов безразлично какой природы, неизвестно существующих ли, рассматриваемая как единое целое.


Дополнительные определения и операции над множествами

  1. Множество, которое не имеет ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.

  2. Единичное множество – множество, все элементы которого тождественны.

  3. Множество М1 называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда любой элемент множества М1 принадлежит множеству М.

  4. Множества называются равными, если они имеют одни и те же элементы.

  5. Подмножество М1 множества М называется собственным подмножеством множества М, если М1 является его подмножеством, но при этом существует хотя бы один элемент, принадлежащий М, но не принадлежащий М1.

  6. Пусть А и В – два множества. Множество М=А U В такое, что его каждый элемент принадлежит А или В (а возможно и А и В), называется суммой или объединением множеств А и В.

  7. Пусть А и В – два множества. Множество М=А ∩ В такое, что его каждый элемент принадлежит и А и В одновременно, называется пересечением множеств А и В.

  8. Пусть А и В – два множества. Множество М=А \ В такое, что оно состоит из тех элементов множества А, которых нет во множестве В, называется разностью множеств А и В, или дополнением В до А.
  9. Пусть А и В – два множества. Множество М=А × В такое, что оно образовано из всех пар (a, b) таких, что a принадлежит A и b принадлежит B, называется декартовым произведением множеств А и В.


Пусть А = {а,b}; В = {m,n}

Тогда А×В = {(a,m),(a,n),(b,m),(b,n)}

  1. Пусть А – множество. Множество М, элементами которого являются подмножества множества А, включая само А и пустое множество, называется множеством всех подмножеств множества А или булеаном А и обозначается Р(А).

Пусть А = {а,b,c}

Тогда M= Р(А)={Ø, (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b,c), (a,b,c)}

  1. Отображением f множества А в множество В называется некое правило, по которому каждому элементу множества А ставят в соответствие элемент множества В.

  2. Множество всех отображений множества А в В обозначается как ВА (В в степени А).

Пусть А = {а,b,c}; В = {m,n}

Тогда ВА это набор функций fi приведенных в таблице 2.1 (1).

Таблица 2.1 (1)

A

f1(A)

f2(A)

f3(A)

f4(A)

f5(A)

f6(A)

f7(A)

f8(A)

a

m

m

m

m

n


n

n

n

b

m

m

n

n

m

m

n

n

c

m

n

m

n

m

n

m

n



Каждая такая функция задана своими значениями в каждой из трех точек области определенности.



следующая страница >>