litceysel.ru
добавить свой файл
1 2


Многочлены


I. Классификация алгебраических выражений. Определение многочлена.

I I. Действия над многочленами.

III. Комплексные числа

IV. Разложение многочленов на множители и решение уравнений.

V. Возвратные уравнения.

VI. Задачи с использованием свойств многочленов


I. Классификация алгебраических выражений. Определение многочлена.


Алгебраические выражения разделяются на рациональные и иррациональные.

Алгебраическое выражение называется рациональным относительно переменной величины, входящей в это выражение, если над этой величиной производятся действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень.

Примеры рациональных величин.



Алгебраическое выражение называется иррациональным относительно переменной величины, входящей в это выражение, если оно содержит величину под знаком корня.

Примеры иррациональных величин.



Рациональные выражения бывают целые и дробные

Целое рациональное выражение по-другому называется многочленом (полиномом). Многочленом называется рациональное выражение, в котором над переменной величиной производятся только действия сложения, вычитания и умножения.

Примеры многочленов.



Многочлен n – й степени относительно х


Многочленом нулевой степени является любое не равное нулю число. Число нуль также многочлен только неопределённой степени. Каждый член многочлена называется одночленом. Степень переменной или сумма степеней переменных входящих в одночлен называется степенью одночлена.

Пример одночлена



Одночлен – частный случай многочлена. Наибольшая из степеней одночленов входящих в многочлен степенью многочлена. Другое определение многочлена. Многочлен – сумма одночленов.

Многочлен вида - многочлен от одной переменной.

Многочлен в состав, которого входят одночлены вида



Дробным рациональным выражением или алгебраической дробью называется отношение двух многочленов.

Пример алгебраической дроби


I I. Действия над многочленами


Определение. Два многочлена P(x) и Q(x) относительно х с любыми действительными коэффициентами будем считать равными P(x) = Q(x) лишь в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

Значения таких многочленов очевидно равны. Существует утверждение обратное этому: если значения двух многочленов равны при всех значениях х , то такие многочлены равны, их коэффициенты совпадают при одинаковых степенях х.

Многочлены можно складывать. Суммой двух многочленов P(x) и Q(x) называется многочлен, у которого коэффициент при каждой степени х равен сумме коэффициентов при той же степени в многочленах P(x) и Q(x).

Многочлены можно вычитать. Разностью двух многочленов P(x) и Q(x) называется многочлен, у которого коэффициент при каждой степени х равен разности коэффициентов при той же степени в многочленах P(x) и Q(x).


Многочлены можно умножать. Чтобы умножить два многочлена P(x) и Q(x), нужно каждый член многочлена P(x) умножить на каждый член многочлена Q(x) и полученные результаты сложить.

Сложение, умножение и вычитание многочленов – основные арифметические действия над многочленами.

Пусть P(x) = Q(x)S(x), P(x) и Q(x) два многочлена, причем степень многочлена P(x) не меньше степени многочлена Q(x) и, если существует такой многочлен S(x), что выполняется равенство

P(x) = Q(x)S(x), то говорят, что многочлен P(x) делится нацело на многочлен Q(x). P(x), Q(x), S(x) называются соответственно делимое, делитель, частное. Если такого многочлена не существует, то многочлен P(x) не делится на Q(x). В этом случае, как и при рассмотрении деления с числами производится деление с остатком.

Разделить многочлен P(x) на Q(x) с остатком это значит представить многочлен P(x) в виде равенства P(x) = Q(x)S(x) + R(x), где R(x) остаток, причём степень R(x) меньше степени Q(x).При делении многочленов с остатком справедлива следующая теорема.

Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) всегда можно найти и притом однозначно два многочлена S(x) и R(x), для которых справедливо равенство P(x) = Q(x)S(x) + R(x).

Деление двух многочленов осуществляется углом. Рассмотрим пример такого деления.

Задача 1. Выполнить деление P(x) = x3 – 1 на Q(x) = x + 1. Выполним деление углом.



_x3 – 1 x + 1

x3 + x2 x2 – x + 1

_- x2 – 1

- x2 – x

_x – 1

x + 1

- 2

Отсюда получаем x3 – 1 = ( x + 1)(x2 – x + 1) – 2. Частное S(x) = x2 – x + 1, остаток R(x) = - 2.


Задача 2. Выполнить деление P(x) = x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 на Q(x) = x2 +2x + 1. Выполним деление углом.

_x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 x2 +2x + 1

x4 + 2x3 + x2

_2x3 – 5x2 + x x2 + 2x – 9

2x3 + 4x2 + 2x

_- 9x2 – x + 1

- 9x2 – 18x – 9

17 x + 10


Отсюда получаем: x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)( x2 + 2x – 9) +17 x + 10.


Можно найти частное от деления двух многочленов методом неопределённых коэффициентов

x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)(ax2 + bx + c) + dx + e

x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 = ax4 +(2a + b)x3 +(c + 2b + a)x2 +(b + d + 2c)x + e + c

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях



Получаем тот же результат .

x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)( x2 + 2x – 9) +17 x + 10.


Коэффициенты частного многочлена на двучлен можно искать с использованием определения равенства двух многочленов.

Пусть P(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an ; Q(x) = x – с; S(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1. Получаем

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = (x – с)( b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1) + R, где R – число т.к. степень R меньше степени x – с . Умножим S(x) на Q(x) и получим


a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = b0xn + (b1 - c b0 )xn-1 + … +(bn-1 - c bn-2 )x + R - c bn-1

Отсюда получим b0 = a0; bk = cbk-1 + ak (k = 1, 2, 3,…, n), bn = R . R= сbn-1 + an

Таким образом, деление на двучлен можно осуществлять, не производя «деления углом», а определять коэффициенты частного по полученным формулам. Подобный способ определения коэффициентов называется схемой Горнера



a0

a1

a2



an

+

b0 c

b1 c



bn-1 c

b0

b1

b2




bn = R
с

Рассмотрим несколько примеров применения схемы Горнера и свойств коэффициентов равных многочленов.



Задача 3. Выполнить деление многочлена P(x)= 2x3– x + 3 на x + 1 = x –(– ­­­1)



2

0

- 1

3

+

- 2

2

- 1

2

- 2

1

2 = R
- 1


Получаем 2x3– x + 3 = (x + 1)(2x2 – 2x + 1) + 2

Задача 4. Выполнить деление многочлена P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 +4x – 4 на Q(x) = x – 1



1

2

-3

4

-4




1

3

0

4

1

3

0

4

0=R
1

В этом примере получаем x4 + 2x3 – 3x2 +4x – 4 = (x – 1)(x3 + x2 + 4) и остаток R(x)= 0.

Существует теорема Безу, дающая возможность вычислять остаток при делении многочлена на двучлен вида x – с.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x – с равен значению многочлена P(x) при x = с.

Определение. Число x0 называется корнем многочлена P(x), если P(x0) = 0.

Следствие1. Если остаток от деления многочлена P(x) на Q(x) = x – x0 равен нулю, то значение

x = x0 есть корень многочлена P(x).

Следствие2. Остаток от деления многочлена P(x) на Q(x) = ax + b равен значению многочлена P(x) при


Задача 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 на Q(x) = x – 2

На основании теоремы Безу R(x) = P(2) = 8 + 12 + 6 +1 = 27.


Задача 6. Найти остаток от деления многочлена P(x) = 3x3 – 2x2 + 6x – 4 на Q(x) = 3x – 2

На основании теоремы Безу . Значит значение корень многочлена.


III. Комплексные числа.


При решении уравнений различных степеней, начиная с линейного уравнения, корни могут быть как рациональными, так и иррациональными. Но при решении некоторых уравнений множества действительных чисел оказывается недостаточно. При рассмотрении уравнения x2 + 1 = 0 невозможно найти ни одного действительного числа, чтобы x2 + 1 = 0. Тогда вводится в рассмотрение число, которое является корнем этого уравнения. Число это называется мнимым и обозначается латинской буквой i и значение его таково, что i2 = –1 . Получим, что данное уравнение имеет два корня x = ± √- 1 = ± i.

Числа с мнимой единицей вида a + bi называются комплексными. Коэффициент a в записи числа называются действительной частью, а b – коэффициентом при мнимой части комплексного числа. Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i считаются равными, если а1 = а2 и b1 = b2. Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, извлекать корень по определённым правилам.


Разностью комплексных чисел a1 + b1i и a2 + b2i называется комплексное число такое, что

(a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1 – a2) + (b1 – b2)i

Суммой комплексных чисел a1 + b1i и a2 + b2i называется комплексное число такое, что

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Произведением комплексных чисел a1 + b1i и a2 + b2i называется комплексное число такое, что

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 – b1b2) + (b1a2 + b2a1)i

Частным комплексных чисел (a1 + b1i) : (a2 + b2i) называется комплексное число x + yi такое, что

a1 + b1i = (a2 + b2i)(x + yi). По определению произведения получаем

a1 + b1i = (a2x – b2y) + (a2y + b2x)i. Из определения равенства комплексных чисел получаем, что

a1= a2x – b2y и b1 = a2y + b2x. Решив совместно систему уравнений, получим значения x и y и найдём частное от деления комплексных чисел.




Два комплексных числа, которые имеют одинаковые действительные коэффициенты, и противоположные коэффициенты при мнимых частях называются сопряжёнными.

z = a + bi и = a – bi – сопряженные комплексные числа. Найдем произведение сопряжённых комплексных чисел. Получим z×= (a + bi)( a – bi) = a2 + b2.


Сумма двух сопряжённых чисел z += a + bi + a – bi = 2a – действительное число.

Разность двух сопряжённых чисел z += a + bi – (a – bi) = 2bi – чисто мнимое число.

Рассмотрим действие деления с использованием сопряжённого комплексному числу.





Задача 1. Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление двух комплексных чисел

x = -2 + 3i и y = 3 + 4i.

Решение.

1. x + y = -2 + 3i + 3 + 4i = - 2 + 3 + (3 + 4)i = 1 + 7i.

2. x – y = -2 + 3i – (3 + 4i) = - 2 – 3 + (3 – 4 )i = - 5 – i.

3. x×y = (-2 + 3i)( 3 + 4i) = -2×3 – 3×4 +(-8 + 9)i = - 18 + i.


4. x : y =


Для того, чтобы более удобно возводить в степень и извлекать корень из любого комплексного числа существует другой вид их представления . Сначала рассмотрим графический способ изображения комплексных чисел. Каждому комплексному числу соответствует точка на координатной плоскости XOY. Принято, что действительной части комплексного числа соответствует абсцисса (x), а коэффициенту при мнимой части ордината (y) координатной плоскости. Изобразим число z = a + bi в такой системе координат.

y

P( b) M

O x

N(a)

Координатная плоскость XOY называется комплексной плоскостью. Можно представить комплексное число z как вектор OM с началом в точке O(0; 0) и концом в M(b; a). Координату b оси OX можно выразить через длину вектора OM и угол MON. Пусть Ð MON = a.

a =


следующая страница >>