litceysel.ru
добавить свой файл
1

УДК 51(06) Проблемы современной математики


А.В. НИКИШИН, Д.И. НИКОЛАЕВ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)


ВЫЧИСЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ НОРМАЛЬНЫХ

РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НА ГРУППЕ ВРАЩЕНИЯ

ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И МОДЕЛЬНЫХ

ПОЛЮСНЫХ ФИГУР


Возможность решения некорректно поставленной задачи количественного текстурного анализа [1] основывается на использовании дополнительной информации относительно самого решения. В качестве возможных решений (то есть, в качестве функции распределения зерен ФРО) был выбран класс функций, являющихся каноническими нормальными распределениями КНР на группе вращения трехмерного пространства SO(3).


Канонические нормальные распределения на группе вращения трехмерного пространства SO(3) [2] имеет следующий вид:

, (1)

где - обобщенные сферические функции[3,4].

До последнего времени использовались аналитические приближения для КНР в виде[5]:

. (2)

В работе реализован метод вычисления общего случая КНР(1).

Проведен анализ вычисленных матриц коэффициентов разложения для любого порядка веса :

. (3)

Распределения КНР f(g) были рассчитаны с помощью алгоритма Clenshaw [6]. Ценность этого алгоритма заключается в том, что ряды по многочленам вычисляются почти так же, как и многочлены. Следовательно, для вычисления отрезка ряда по многочленам преобразовывать этот отрезок в обычный многочлен не нужно.


Вычисление полюсных фигур ПФ от функции распределения (1) происходит по формуле[7]:

, (4)

где

. (5)

В результате проведенных работ сравнивались свойства для КНР и ПФ со свойствами кругового нормального распределения вида:



и полюсными фигурами от этого распределения. Был разработан вычислительный алгоритм расчета коэффициентов с программной реализацией, который дает точную оценку матриц при различных параметрах распределения ФРО.


Список литературы


  1. Bunge H.J. Texture analysis in materials science. Mathematical Method. – Gottingen: Cuvillier, 1993, 593p

  2. Савелова Т.И., Бухарова Т.И. Представление группы SU(2) и их применения.-Москва, 1996, 114с.

  3. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп SO(n). – М.:Наука, 1965, 588c.

  4. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации М.:Мир, 1980, 659с.

  5. Иванова Т.М. Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа. -Москва, 1996, 114с.

  6. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in Fortran. The Art of Scientific Computing. – Cambridge University Press, 1975, 2054p.

  7. Matthies S. Standard Distributions in Texture Analysis. Maps for the Case of Cubic Orthorhombic Symmetry. -Akademie-Verlag Berlin, 1987, 441p.




ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 7