litceysel.ru
добавить свой файл
1 2 3
Методическая разработка по теме


«Логарифмические уравнения и неравенства. Подготовка к ЕГЭ»

Маркина Л.В. учитель математики МОУ «СОШ № 49» г. Чебоксары


«Жизнь украшена двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием» С. Пуассон

Многие знают, как, в принципе, следует решать задачи по математике. Для этого надо, во-первых, получить саму задачу. Затем взять бумагу с ручкой и попробовать понять ее условие. После этого можно начинать решение. Самое главное при этом – максимально использовать то, чему тебя уже учили в школе и стараться не ошибаться. А уж если ошибся или выбрал не тот путь, то не расстраиваться, а «подниматься» – и начинать все сначала.

Введение


Анализ результатов выполнения заданий КИМ позволил описать состояние алгебраической подготовки выпускников, продемонстрировавших различные уровни математической подготовки.

Анализ результатов экзамена позволил выделить проблемы в обучении математике, которые явно проявляются при сдаче ЕГЭ выпускниками, которые продемонстрировали «удовлетворительный» уровень математической подготовки.

1. Выделяются разделы, темы, вопросы, усвоение которых вызывает серьезные затруднения учащихся. Они допускают грубые ошибки при выполнении заданий базового уровня сложности по следующим темам:

- преобразование логарифмических выражений;

- решение логарифмических неравенств с основанием 0 < a < 1.

2. Анализ ответов на задания базового уровня сложности выявил, что учащимися не усвоены стандартные алгоритмы выполнения изученных преобразований, основных методов решения уравнений и неравенств, элементарных методов исследования свойств функций. Так, например, допускаются следующие ошибки в преобразовании разности логарифмов в логарифм частного: до 25% участников - экзамена пишут в ответе логарифм разности, до 10% - разность чисел, стоящих под знаком логарифма, до 15% - частное чисел, стоящих под знаком логарифма уменьшаемого и вычитаемого.


При решении простейших логарифмических неравенств положение еще более плачевное. Около трети учащихся не учитывают область определения логарифма, еще треть учащихся не меняют знак неравенства на противоположный, когда основание логарифма 0 < a < 1.

3. Очень небольшой процент участников экзамена, получивших оценку «З», справляется только с отдельными заданиями повышенного уровня сложности. Обычно для решения таких задач нужно применить не одну формулу или одно свойство, а две формулы или два свойства или применить изученные знания (формулы, свойства) в несколько измененной ситуации.

С описанными заданиями повышенного уровня сложности справляются лишь около половины выпускников, получившие оценку «4». Им оказывается под силу лишь те задания, где требуется выполнить более сложные вычисления или преобразования, но школьные, «хорошисты» испытывают затруднения в тех заданиях, где нужно изменить стандартный алгоритм решения, согласуясь с данными задачи. Так, при нахождении наибольшего и наименьшего значений сложной функции на заданном отрезке (например, «Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [–З; 1]») условие задачи провоцирует выпускника на применение стандартного алгоритма исследования функции с помощью производной. Однако анализ условия показывает, что в силу монотонности логарифмической функции и с учетом значений функции на отрезке [–3; 1] задачу можно решить элементарными методами, найдя разность у(– 3) – у(0). Очевидно, что школьный «хорошист» имеет теоретическую базу достаточную, чтобы справиться с этой ситуацией. В ходе обучения необходимо ставить перед учениками такие проблемы, решение которых выходило бы за рамки стандартных алгоритмов, но ученики могли бы с ними справиться, применяя самостоятельно изученный ими материал.


Мною был проведен мониторинг по сдачи ЕГЭ выпускников 11 класса в 2006, 2007, 2008 годах по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства» в нашей школе (приложение).

Мониторинг показал, что, при решений заданий уровня А и В дела обстоят у нас не плохо, дело в том что, по статистике простейшие логарифмические уравнения в Части А решают около 65% выпускников по России, а для неравенств эта оценка уменьшается чуть ли не вдвое. На выполнение заданий части C, следует обратить особое внимание. Задания уровня C выходят за рамки стандартных алгоритмов, и поэтому необходимо как можно больше решать задач повышенного уровня сложности, при этом заниматься тренингом, а так же решать тесты, используя прием: «От простого к сложному». Поэтому в своей методической разработке предлагаю Тренинг по уровню, Тесты по уровню, которые помогут выпускнику систематизировать и углубить свои знания по теме, а также самостоятельно подготовиться к ЕГЭ.


Примеры задач из демоверсий и материалов ЕГЭ предыдущих лет


Год

Базовый уровень сложности

(К) – краткий ответ

Повышенный уровень сложности

(Р) – развернутый ответ

2003

демо

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения



(P) Решите уравнение



2003

ЕГЭ

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения


(P) Решите уравнение



2004

Демо

Какому промежутку принадлежит корень уравнения



Найдите область определения функции



(P) Решите систему уравнений



2004

ЕГЭ

Какому промежутку принадлежит корень уравнения



Укажите область определения функции




Решите уравнение



2005

демо

Укажите область определения функции




(Р) Найдите нули функции



2005

ЕГЭ

(К) Решите уравнение



Решите неравенство



Найдите наименьший корень уравнения



2006

демо

(К) Решите уравнение



(К) Решите уравнение




(Р) При каких значениях x соответственные значения функций

и

будут отличаться меньше, чем на 1?

2006

ЕГЭ

Решите неравенство



Укажите область определения функции



(К) Решите уравнение




(Р) Найдите все значения x, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций

и

меньше, чем 0,25.

(Р) Решите уравнение



2007

демо

Решите неравенство



(К) Решите уравнение



Найдите наименьший корень уравнения



2007

ЕГЭ

(К) Решите уравнение



(Р) Решите уравнение



2008

демо

Решите неравенство



(Р) Решите уравнение



2008

ЕГЭ

(К) Решите уравнение



(Р) Найдите все значения x, при каждом из которых выражения

и

принимают равные значения.

Общие сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ



Начиная с 2001 г., среди задач с выбором ответа были логарифмические уравнения, и вопрос звучал как «Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения...». Начиная с 2005 г., среди задач А1–А10 нет такой постановки вопроса, а логарифмических уравнений среди задач А1–А10 нет уже четвертый год. Здесь остались только неравенства. Наиболее типичные неравенства практически совпадают со многими неравенствами, регулярно предлагавшимися на письменных аттестационных экзаменах в традиционной форме. Это логарифмические неравенства вида loga(bx + c) > d, loga(bx + c) ≥ d, loga(bx + c)) < d, где d принимает значения ±1, ±2 и, значительно реже, значения ±3, ±0,5 и т.д. Случаи а > 1 и 0 < а < 1 встречаются почти в одинаковых пропорциях, но с более частым употреблением а > 1 для основания. Как уже говорилось, пропуск условия bx + x > 0 есть одна из наиболее типичных ошибок при решении этих неравенств. Второй, весьма распространенный, тип неравенств – это неравенства вида



в которых, как правило, е = 0. Те же самые неравенства зачастую формулируются и как задачи об отыскании области определения функций вида

и т.п.

Логарифмические уравнения среди В1–В3 довольно часто имеют вид loga (bx + c) ± logad = loga n. Случаи различных оснований логарифмов тут не наблюдались. Весьма популярна в КИМ запись линейных уравнений Ах + В = Сх + D с использованием логарифмов в виде Аlogaх) + В = Сх + D, или же в виде Случаев аналогичной трансформации квадратных уравнений пока не наблюдалось.

Как уже отмечалось, среди задач В4—В8 логарифмы чаще появляются в различного рода комбинированных уравнениях. В первую очередь речь идет о комбинациях с показательными выражениями. Например, «Укажите наименьший корень уравнения ». Подчеркнем, что постановка вопроса в виде «Укажите наименьший корень уравнения», «Укажите наибольший из всех корней уравнения», «Укажите сумму (произведение) корней уравнения», вместо школьного «Решите уравнение», весьма типична для КИМ ЕГЭ.


Вот еще одна «егэшная» комбинация показательных и логарифмических уравнений:

«ЕГЭ-2004. Решите уравнение

».

Сразу отметим весьма неприятную особенность заметного числа подобных уравнений. Многие из них можно решить «не решая», т.е. не проводя всей процедуры сведения к совокупностям систем и т.п., а самым нахальным образом подставляя несколько простейших чисел. Например, ясно, что в последнем примере составители КИМ имели в виду проверку условия равенства нулю произведения двух сомножителей, решение совокупности систем и т.п. Однако, если «в тупую» подставить х = 1, то получится верное числовое равенство. А раз ответ должен быть один, то всё!!! Задача решена.

Остается надеяться, что по мере накопления опыта составления вариантов КИМ, подобные казусы не будут повторяться. Например, даже простая переформулировка «Укажите наименьший (наибольший) корень уравнения



уже заставит решать не только уравнение , но и уравнение . Все же следует признать, что основной массив не самых простейших логарифмических уравнений и неравенств сосредоточен, как правило, в задачах С1— С3, С5.

Вернемся к логарифмическим неравенствам из А1—А10 и кратко прокомментируем возможности их решения «без решения». Например, «Укажите область определения функции . Варианты ответов:

1) (0; +∞); 2) (-∞; 64]; 3) (0; 1]; 4) (0; 64]».

Решение. Вариант 2) отпадает, так как х > 0. Вариант 1) отпадает, так как при огромных х подкоренное выражение, очевидно, отрицательно. Вариант 3) отпадает, так как число 64, очевидно, входит в область определения.


Ответ: 4.

Элегантность и простота этого решения – кажущиеся, так как в трех случаях использованы три «очевидных» факта, очевидность которых не вызывает сомнений лишь у достаточно подготовленного решающего. Для слабо подготовленного ученика все эти «очевидности» не только не очевидны, но даже не очевиден самый факт их наличия. В то же время, запись



вызовет большее доверие у значительно большего числа учеников и, что не менее важно, учителей. Дело в том, что надежной методики обучения решениям, подобных приведенному «решению без решения», не существует и, скорее всего, надежность тут может основываться лишь на уверенном знании базовых сведений о логарифмах. Но если эти базовые знания для кого-то уже не являются секретом, то он без труда решит эту задачу и традиционным способом, потратив примерно столько же времени, что и «решением без решения» и при этом не расширит поле для возможных ошибок.

Так что решения «без решений» для простейших неравенств, чаще всего, недоступны слабому ученику и не слишком значимы для сильных учеников. Попытки переучивания тут вряд ли могут принести ощутимую пользу, а вот запутать кого-то вполне могут.

Решение заданий « ЕГЭ 2008г.»


ЕГЭ 2008г.»

Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций и

Решение:


  1. Точки пересечения графиков функций имеют равные абсциссы и равные ординаты, поэтому должно выполняться условие =
  2. Ответ: –0,25.



следующая страница >>