litceysel.ru
добавить свой файл
1


Павлов А.Н.


Элективный курс

Изображение пространственных объектов

на плоскости экрана дисплея

(геометрия-информатика, 9 класс)


Пояснительная записка.


Характерной чертой современной научной картины мира является усиливающаяся интеграция наук, а еще точнее – интеграция знания. Происходит унификация понятийного и категориального аппарата, формализация и материализация отраслей, взаимопроникновение методов исследований. Обзор исследований различных авторов показывает, что реализация идей интеграции позволяет повысить качество знаний школьников, лучше подготовить их к будущей профессиональной деятельности.

Интеграция математики и информатики также предполагает системно-методическое единство двух учебных предметов, направленное не только на формирование внутридисциплинарных знаний, умений и навыков, а прежде всего – на построение целостного, энциклопедического взгляда на современный мир и место человека в этом мире.

В основе данной интеграции лежат:


  1. наиболее важные общие методы решения прикладных задач, разработанные в математике, как непрерывной, так и дискретной (общее);

  2. вопросы моделирования и алгоритмизации различных информационных процессов в обществе, природе и технике (особенное);

  3. правила составления компьютерных программ для решения конкретных практических задач, анализ полученных результатов (единичное).

Отсюда следует, что в содержательно-методическом плане любой интегрированный элективный курс должен предусматривать:

- более глубокое ознакомление школьников с вопросами алгебры и началом анализа, геометрии, связанных с математическим обоснованием основных методов прикладной математики;

- изучение базовых методов прикладной математики, как численных методов непрерывной математики, так и основных алгоритмических конструкций дискретной математики и информатики;


- изучение методики составления моделей объектов различной природы, умение подбирать к решению прикладных задач соответствующих методов и алгоритмов, проводить компьютерный эксперимент и анализировать полученные результаты;

- развивать и совершенствовать умения и навыки по применению полученных знаний в рамках практикума по моделированию и компьютерному программированию.


Предлагаемый элективный курс органично вписывается в школьные программы по геометрии и информатике, предусмотренные для 9 классов. Для его успешного прохождения не требуется никаких дополнительных знаний. Единственное требование: курс следует начинать после прохождения тем «Векторы» (геометрия) и «Графические операторы языка Бейсик» (ИВТ).

Постановка проблемы: как, зная координаты точки (группы точек, например, вершин многогранника), изобразить ее на экране компьютера. Точка на экране должна иметь всего две координаты, да и то значения которых находятся в определенных пределах.

Компьютер, как известно, может сыграть роль эффективного средства активного диалога в работе учащихся с моделями геометрических фигур и тел. При этом обеспечиваются следующие возможности:

- исследуется поведение модели в зависимости от изменения характеристик, положения фигур и тел к плоскости изображений и направлению проектирования;

- выделяются на компьютерной модели данной фигуры или тела составные части и исследуется поведение выделенных частей при изменении внешних и внутренних характеристик модели;

- исследуются плоские элементы геометрических тел методом перехода к их оригиналам;

- выполняются геометрические построения на компьютерной модели, идет преобразование данной модели в искомую согласно условиям задачи;

- вводятся результаты деятельности учащегося в оперативную память компьютера, проводится компьютерный анализ и контроль результатов этой деятельности;

- организуется компьютерная помощь.


Главная дидактическая задача курса - заложить в рамках предпрофильной подготовки девятиклассников основы работы с геометрическими моделями на компьютере.

Важно также отметить, что курс осуществляет пропедевтику изучения стереометрии в профильной школе. Одновременно курс способствует формированию основных компонентов информационной культуры, соответствующих знаний, организационных, учебно-информационных, интеллектуальных и коммуникативных умений и навыков, развитию восприятия, внимания, воображения, мышления, мотивации и общения девятиклассников.


Тематический план элективного курса

«Изображение пространственных объектов

на плоскости экрана дисплея

(сокращенная версия – 12 часов, полная версия – 18 часов)



Тема


теор. часы

практ. часы

1

Постановка проблемы. Этапы решения.

1

-

2

Векторы. Скалярное произведение векторов

2

-

3

Проецирование точки на плоскость экрана дисплея (этап 1)

1

1

4

Параллельный перенос (этап 2)

0,5

0,5

5

Масштабирование (этап 3)

1

1

6


Практикум по изображению основных геометрических тел

1

2

7

Проецирование объектов размерности k>3

-

1













8*

Творческое задание

3

3













Итого: 12/18 часов


Программа курса


1. Постановка проблемы. Этапы решения - 1 час.

Понятие проекции геометрического тела на плоскость. Проблема преобразования n координат точки в две координаты ее проекции. Сложности, связанные с ограниченностью размеров экрана. Этапы решения задачи.


2. Векторы. Скалярное произведение векторов - 2 часа.

Вектор в пространстве. Координаты вектора. Действия с векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Длина вектора. Скалярное произведение векторов. Базис на плоскости. Разложение вектора по базису.


3. Проецирование точки на плоскость экрана дисплея (этап 1) – 2 часа.

Математическая постановка задачи. Использование скалярного произведения векторов для решения задачи. Задача на языке информатики. Реализация блока на компьютере. Анализ полученных результатов.


4. Параллельный перенос (этап 2) – 1 час.

Перемещение проекции точки внутрь прямоугольника (экрана дисплея). Реализация блока на компьютере.

5. Масштабирование (этап 3) – 2 часа.


Подбор размеров изображения с помощью масштабирования. Реализация блока на компьютере. Проблемы «неэстетичного» изображения.


6. Практикум по изображению основных геометрических тел – 3 часа.

Основные геометрические тела. Задание координат вершин куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды, усеченной пирамиды (по желанию – других тел). Изображение тел на компьютере.


7. Проецирование объектов размерности k>3 – 1 час.

Изображение проекции многомерного объекта (например, четырехмерного куба).


8*. Творческое задание «Сечения куба» - 6 часов.

Понятие сечения куба. Многоугольники, получаемые в сечении куба плоскостью. Изображение сечений куба на экране дисплея.


В целом курс способствует углубленной подготовке школьников по информатике и математике, и что особенно важно - ориентирует учащихся к поступлению в профильный математический класс, а в будущем - на профессии, связанные с прикладной математикой и наукоемкими информационными технологиями. Данный подход чрезвычайно актуален, ибо растущее значение информационной деятельности оказывает влияние на перераспределение в структуре рабочих мест: происходит «перекачивание» трудовых ресурсов из материальной сферы в информационную (в настоящее время в развитых странах число людей, занятых сельскохозяйственным производством, не превышает 4% трудоспособного населения, рабочие промышленных специальностей составляют около 16%, а так называемые «информационные» работники – более 60%).


Список литературы


1. А.Ю. Калинин, Д.А. Терешин «Стереометрия 11», М., МФТИ, 2001

2. З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», М., «Просвещение», 1990

3. Я.П. Понарин «Геометрия для 7-11 классов», Ростов-на-Дону, «Феникс», 1997


Приложение 1. Решение основной задачи.

Суть задачи в следующем. Плоскость экрана дисплея зададим двумя ортогональными векторами и . Поскольку в том же n-мерном пространстве находится точка М, заданная своими координатами (m1, m2, ..., mn), то и вектора и имеют n координат: (a1, a2, ..., an) и (в1, в2, ..., вn).




Т - проекция точки М на плоскость (,).

=  +  .

Плоскость (,) и будет взята нами в качестве плоскости экрана дисплея, а числа  и  - в качестве координат изображения точки М на данной плоскости. Математическая постановка задачи заключается в том, чтобы, зная координаты точки М и векторов и , найти числа  и .

Решается задача предельно просто, с использованием скалярного произведения векторов.

= OM∙a∙cos(MOA) = a∙ (OM∙cos(MOA)) = a∙OA = a∙∙a = a2.

Аналогично, = ОМ∙в∙cos(MOВ) = в∙ (ОМ∙cos(MOВ)) = в∙ОВ = в∙∙в = в2.

Итак,


Далее предлагается взять произвольные три точки М1, М2, М3, заданные в трех или четырехмерном пространстве. Задать координаты векторов и, так, чтобы а1в12в2+...+anвn=0. В случае четырехмерного пространства, например, можно задать: в12, в2=-а1, в34, в4=-а3.

Дабы не терять время на определение и инициализацию переменных, можно написать эту программу на Бейсике.

На языке информатики задача уже звучит так: даны координаты точек М1, М2, М3, векторов и. В соответствии с формулами для  и  написать программу для нахождения координат точек .

Учащиеся на компьютере выполняют это задание.

Анализируются полученные результаты. Хотя теперь мы имеем Т1Т2Т3, лежащий в плоскости экрана, но нужно, чтобы, во-первых, он был внутри прямоугольника, отображающего экран, а во-вторых, по возможности, занимал всю ширину экрана для лучшего визуального наблюдения. Учащиеся сами догадываются, что для этого последовательно надо сделать две операции: параллельный перенос и масштабирование.

При параллельном переносе крайняя верхняя точка DТ1Т2Т3 перемещается на уровень оси ОХ на экране (чуть ниже ее), а крайняя левая точка при этом - чуть правее оси ОУ:


Теперь треугольник находится в нужной «четверти» плоскости. Учащиеся пишут второй блок программы (перенос на вектор ). Теперь координаты точек Mi больше нуля, причем наименьшая из абсцисс и наименьшая из ординат точек близки к нулю. Можно помогать учащимся при реализации этого блока, ибо некоторые, даже сильные учащиеся, могут ошибиться хотя бы в вопросе - надо прибавлять или отнимать соответствующие числа.

Теперь необходимо совершить преобразование подобия, ибо треугольник может получиться либо слишком маленьким:



либо «вылезать» за пределы экрана:



Поэтому нужно масштабировать изображение, применив логическую цепочку:

Т1 (1, 1), Т2 (2, 2), Т3 (3, 3)

V - ширина экрана, L - длина экрана (в пикселях).



Учащиеся проделывают эти преобразования и с помощью оператора line чертят получившийся треугольник:



В заключение можно заметить, что, так как мы производим масштабирование, в формулах для  и  знаменатели дробей и при написании программы можно опустить.


Приложение 2. Листинг программы

«Сечение куба плоскостью ах + ву + сz + d =0»

10 DEFINT F, H-K, N, P-Q, S, V


20 DEFSNG A-D, T, W-Z

30 DIM A(12, 3), B(6, 2), C(12, 3), D(7)

40 A = 3: B = 2: C = 8: D = -1

50 V = 180 (ширина рисунка)

60 SW = 1 (если SW=0, то мы увидим один многоугольник; в противном случае мы увидим F многоугольников, получаемых при перемещении плоскости ах + ву + сz + d = 0 внутри куба)

70 F = 50

80 X1 = 1: Y1 = 2: Z1 = 3: X2 = -Y1: Y2 = X1: Z2 = 0

90 D(0) = -A: D(1) = -B: D(2) = -C: D(3) = -A - B: D(4) = -A - C:

D(5) = -B - C: D(6) = -A - B - C

100 IF SW = 0 THEN 230

110 D2 = D(0): I = 1

120 WHILE I <= 6

130 IF D2 < D(I) THEN D2 = D(I)

140 I = I + 1

150 WEND

160 D1 = D(0): I = 1

170 WHILE I <= 6

180 IF D1 > D(I) THEN D1 = D(I)

190 I = I + 1

200 WEND

210 D3 = (D2 - D1) / F

220 FOR D = D1 TO D2 STEP D3

230 N0 = 0: N1 = 1: N2 = 2: H = 0: P = 0

240 FOR I = 0 TO 2

250 IF C = 0 THEN 320

260 A(H, NO) = 0: A(H, N1) = 0: A(H, N2) = -D / C:

A(H + 1, N0) = 0: A(H + 1, N1) = 1: A(H + 1, N2) = (-D - B) / C:

A(H + 2, N0) = 1: A(H + 2, N1) = 0: A(H + 2, N2) = (-D - A) / C:

A(H + 3, N0) = 1: A(H + 3, N1) = 1: A(H + 3, N2) = (-D - A - B) / C

270 FOR K = H TO H + 3

280 IF (A(K, N2) >= 0) AND (A(K, N2) <= 1) THEN 290 ELSE 310

290 C(P, N0) = A(K, N0): C(P, N1) = A(K, N1): C(P, N2) = A(K, N2): P = P + 1

300 P = P

310 NEXT K

320 H = H + 4: N0 = N1: N1 = N2: N2 = 3 - N0 - N1:

A = B: B = C: C = -D(6) - A - B

330 NEXT I

340 FOR I = 0 TO P - 1

350 B(I, 0) = C(I, 0) * X1 + C(I, 1) * Y1 + C(I, 2) * Z1:

B(I, 1) = C(I, 0) * X2 + C(I, 1) * Y2 + C(I, 2) * Z2

360 NEXT

370 C0 = B(0, 0): I = 1

380 WHILE I <= P - 1

390 IF C0 > B(I, 0) THEN C0 = B(I, 0)

400 I = I + 1

410 WEND

420 FOR I = 0 TO P - 1

430 B(I, 0) = B(I, 0) - C0 + .2

440 NEXT

450 C1 = B(0, 1): I = 1

460 WHILE I <= P - 1

470 IF C1 > B(I, 1) THEN C1 = B(I, 1)

480 I = I + 1

490 WEND

500 FOR I = 0 TO P - 1

510 B(I, 1) = B(I, 1) - C1 + .2

520 NEXT

530 C3 = B(0, 0): I = 1

540 WHILE I <= P - 1

550 IF C3 < B(I, 0) THEN C3 = B(I, 0)

560 I = I + 1

570 WEND

580 C4 = B(0, 1): I = 1

590 WHILE I <= P - 1

600 IF C4 < B(I, 1) THEN C4 = B(I, 1)

610 I = I + 1

620 WEND

630 IF C3 >= C4 THEN C2 = C3 ELSE C2 = C4

640 W = V / (C2 + .1)

650 FOR I = 0 TO P - 1

660 FOR J = 0 TO 1

670 B(I, J) = W * B(I, J)

680 NEXT J

690 NEXT I

700 CLS

710 FOR I = 0 TO P - 2

720 FOR J = I + 1 TO P - 1

730 Q = 0

740 FOR K = 0 TO 2

750 IF (C(I, K) = C(J, K)) AND ((C(I, K) = 0) OR (C(I, K) = 1))

THEN Q = Q + 1

760 NEXT K

770 IF Q > 0 THEN SCREEN 2:

LINE (B(I, 0), B(I, 1))-(B(J, 0), B(J, 1))

780 NEXT J

790 NEXT I

800 IF SW = 0 THEN 830

810 INPUT K3

820 NEXT D

830 END